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1、专题八：均值不等式和不等式的证明选讲一、基础梳理1常用的基本不等式和重要的不等式：（1）当且仅当取“”号； （2）；（3），则。2均值不等式：两个正数的均值不等式：； 三个正数的均值不等式：；个正数的均值不等式：。3四种均值的关系：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的关系是：。小结：“算数平均数几何平均数”的多种表达形式：整式形式根式形式分式形式倒数形式4.均值不等式求最值：（1）如果（定值），由_，当时，有_；（2）如果（定值），由_，当时，有_；注：上述方法对三个正数也成立。利用均值不等式求最值必须注意：“一正、二定、三相等”。三者缺一不可！5不等式的证明方法：（
2、1）比较法：作差比较：；作商比较：。作差（商）比较的步骤：作差（商）：对要比较大小的两个数（或式）作差（商）；变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和（对商式进行因式分解或约分等）；判断差的符号（商与1的大小）：结合变形的结果及题设条件判断差的符号（商与1的大小）。注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。（2）综合法：由因导果。（3）分析法：执果索因。基本步骤：要证只需证，只需证“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表
3、达。（4）反证法：正难则反。（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：添加或舍去一些项，如：；将分子或分母放大（或缩小）；利用基本不等式，如：；利用常用结论：）；）；（程度大）。（程度小）（程度更小）真分式放缩：；假分式放缩：（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如：已知，可设；已知，可设；已知，可设；已知，可设。（7）构造法：通过构造函数、图象与图形、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法、放缩法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。要依据题设
4、、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。二、能力巩固考点一：均值不等式与最值1.已知，则的最小值_。2设，最大值是（ ）A. 1 B. C. D. 3.已知，且，若，则的最大值为_。4.已知都在区间内，且，则函数的最小值是（ ）A B C D5.若是与的等比中项，则的最大值为（ ）A. B. 1 C. D. 6设是定义其中分别是的面积，的最小值是_。7若a,b均为正实数，且恒成立，则m的最小值是_。变式：（1）若不等式对任意正实数、都成立，则的最大值是（ ）A1 B2 C3 D5（2）若对于任意的实数且，不等式恒成立，则实数
5、的最大值是_。8. 设都是整数，且满足，则的最大可能值为（ ）A. 32 B. 25 C. 18 D. 16 9. 函数的值域为（ ）A. B. C. D. 练习：使关于的不等式有解的实数的最大值是（ ）A B C D10若实数满足，则的最小值为_。11已知且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 练习：若且，则的最小值为_。12.已知不等式对于恒成立，则的取值范围_。13.若实数满足,则的最大值是（ ）A. B. C. D. 14已知实数不全为零，设正数满足，令的最大值为，则的最小值为_。考点二：数列与不等式的证明选讲1已知数列的前项和满足。（1）写出数列的前三项；（2）求数列的通项公式
6、；（3）证明：对任意的整数，有。设各项为正的数列满足：令()求()求证：3.在数列中，已知，。（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求证：，。4.已知。（）求的值； （）设为数列的前项和，求证：；（）求证：。5已知数列中，a1=1，且满足递推关系（1）当m=1时，求数列的通项（2）当时，数列满足不等式恒成立，求m的取值范围；（3）在时，证明6古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在柱上，现要将套在柱上的盘换到柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子可供使用.(二)知识与技能：现用1.正切：表示将6 确定圆的条件:其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。个圆盘全部从当a0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。(一)情感与态度：柱上移到(二)空间与图形柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：（2）顶点式：(1)写出(1)如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.（圆心向弦作垂线）七、学困生辅导和转化措施并求出(2)记求和(其中表示所有的积的和)(3)证明：