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1、宁夏银川一中2018届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试卷（含答案）绝密?启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理 科 数 学 (银川一中第一次模拟考试) 本试卷分第?卷(选择题)和第?卷(非选择题)两部分，其中第?卷第22,23题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1(答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2(选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号;非选择题答案使
2、用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3(考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。 4(保持卡面清洁，不折叠，不破损。 5(做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 第I卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的( 101(已知复数z,2i (其中i为虚数单位)，则|z|, 3，iA(33 B(32 C(23 D(22 22x2(设集合A,(x，y)|x，y,1，B,(x
3、，y)|y,3，则A?B的子集的个数是 A(4 B(3 C(2 D(1 3(古代数学著作九章算术有如下问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何,”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少,”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为 20382A( B( C( D( 315153?1? 4(已知正三角形ABC的边长为a，那么?ABC的平面 直观图?ABC的面积为 3322A(aB(a 486622C(aD(a 816115(阅读程序框图，如果输出的函数值在区间，内， 42则输入的实数x的取值范围是 A(,?，,2
4、 B(,2，,1 C(,1,2 D(2，?) 6(如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A(96 B(80，42 C(96，4(2,1) D(96，4(22,1) 7(上海某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲 博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博 物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的 方案有 4242A(种 B(5种 A，AA，6564242C(种 D(5种 C，AC，6568(根据需要安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天( 甲说:我在1日和3日都有值班; 乙说:我在8日和9日都有值班; 丙说:我们三人各自值班的日期之
5、和相等(据此可判断丙必定值班的日期是 A(2日和5日 B(5日和6日 C(6日和11日 D(2日和11日 x,y，2?0，,323x,y,6?0，9(设x，y满足条件,若目标函数z,ax，by(a0，b0)的最大值为12，则，的最ab ,x?0，y?0，小值为 25811A( B( C( D(4 63322xy?10(设F，F是双曲线,1(a0，b0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(OP1222ab?，OF)?FP,0(O为坐标原点)，且|PF|,3|PF|，则双曲线的离心率为 22122，13，1A( B(2，1 C( D(3，1 22?AB?BCBC?CACA?AB11(在
6、?ABC中，,，则sinA:sinB:sinC, 321?2? A(5 : 3 : 4 B(5 :4 :3 C(5 :3 :2 D(5 :2 :3 3212(若函数f(x),x,3x在(a,6,a)上有最小值，则实数a的取值范围是 A(,5，1) B(,5，1) C(,2,1) D(,5，,2 第?卷 本卷包括必考题和选考题两部分(第13题,第21题为必考题，每个试题考生都必须做答(第22题,第23题为选考题，考生根据要求做答( 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分. a,a 13(若a,log3，则2，2,. 4214(函数f(x),2sin(，x),3cos2x (?x?)的值域为. 4
7、4222015(已知圆x，y,4, B(1,1)为圆内一点，P,Q为圆上动点，若PBQ=90，则线段PQ中点的轨迹，方程为. 216(设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y,2px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|,2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为. 三(解答 17(本小题满分12分) 2设S为数列a的前n项和，已知a,0，a，2a,4S，3. nnnnnn(1)求a的通项公式: n1(2)设b,，求数列b的前n项和( nnaa，nn118(本小题满分12分) 人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间0,10内的一个数
8、来表示，该数越接近10表示满意度越高(为了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示: 幸福感指数 0,2) 2,4) 4,6) 6,8) 8,10 男居民人数 10 20 220 125 125 女居民人数 10 10 180 175 125 (1)在图中绘出频率分布直方图 (说明:将各个小矩形纵坐标标注 在相应小矩形边的最上面)，并估算 该地区居民幸福感指数的平均值; (2)若居民幸福感指数不小于6， 则认为其幸福(为了进一步了解居 民的幸福满意度，调查组又在该地 区随机抽取4对夫妻进行调查，用 X表示他们之中幸福夫妻(夫妻二人 都感到幸福)的
9、对数，求X的分布列及期望(以样本的频率作为总体的概率)( 19.(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P,ABCD中，PA?面ABCD，AD?BC， ?BAD,90?，AC?BD，BC,1，AD,PA,2，E，F分别为PB， ?3? AD的中点. (1)证明:AC?EF; (2)求直线EF与平面PCD所成角的正弦值( 20(本小题满分12分) 22xy3已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为，,1(0ab)e,222ab4. (1)求椭圆的方程. l(2)设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为()，点在线段AABQy(0,)AB,a,00的垂直平分线上，且，求的值. yQA
10、,QB,4021.(本小题满分12分) 2已知函数f(x),lnx,ax，(a,2)x. (1)若f(x)在x,1处取得极值，求a的值; 2(2)求函数y,f(x)在a，a上的最大值( 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分( 22(本小题满分10分) 选修4-4:坐标系与参数方程 ,x,2，2cos，,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，曲线C的参数方程12 ,y,2sin,x,2cos，,为(为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. ,y,2，2sin,(1)求曲线C和曲线C的极坐标方程; 12(2)已知射线l:,(00，b0)过
11、直线x,y，2,0与直线3x,y,6,0 ?5? 的交点(4,6)时，目标函数z,ax，by(a0，b0)取得最大值12， ?4a，6b,12，即2a，3b,6( 2a，3b9b4a9b4a32321?，,(，)?,(12，)?4，当且仅当,， abababab66332即a,，b,1时，等号成立(?，的最小值为4，故选D( ab2?2210.D 解析 ?(OP，OF)?FP,0，?(OP，OF)?(OP,OF),0，?OP,OF,0，OP,OF222222,c,OF，?PF?PF，Rt?PFF中，?|PF|,3|PF|，?PFF,30?.由双曲线的定义得PF11212121212a2aPF3
12、,1ac12,PF,2a，?PF,，sin30?,，?2a,c(3,1)，?,3，1，22a2FF2c123,1c(3,1)故选D( 222222211. C解析 由条件利用两个向量的数量积的定义可得2a，2c,2b,3a，3b,3c,6b，226c,6a,k，由此求得a、b、c的值，利用正弦定理可得sinA:sinB:sinC的值(解:?ABC中，?AB?BCBC?CACA?ABAB?BC?cos(,B)BC?CA?cos(,C)CA?AB?cos(,A)ac?cosB?,，?,即,3213213222222222?cosCabbc?cosAaca，c,baba，b,cb，c,a222222
13、,，即?，2c,2b,3a，3b,3c,?,bc，即2a2132ac22ab2bc,6b，6c,6a，设2a，2c,2b,3a，3b,3c,6b，6c,6a,k，求得a,5k，b,3k，c,4k，?a,5k，b,3k，c,4k,2k，?由正弦定理可得a:b:c,sinA:sinB:sinC,5 :3:2，故选C( 212(C 解析 f(x),3x,3,0，解得x,?1，且x,1为函数的极小值点，x,1为函数的22极大值点(因为函数f(x)在区间(a,6,a)上有最小值，所以函数f(x)的极小值点必在区间(a,6,a)内，2323即实数a满足a16,a，且f(a),a,3a?f(1),2.由a1
14、6,a，解得,5a1.不等式a,3a?f(1)3322,2，所以a,3a，2?0，所以a,1,3(a,1)?0，所以(a,1)(a，a,2)?0，所以(a,1)(a，2)?0，即a?,2.故实数a的取值范围是,2,1)(故选C. 二(填空 143log3,log34413(解析 原式,2，2,3，,. 3314. 解析 依题意，f(x),1,cos2(，x),3cos2x,sin2x,3cos2x，1,2sin(2x,)，1.当43421?x?时，?2x,?，?sin(2x,)?1，此时f(x)的值是2，3 263323?6? 15.解。设PQ的中点为N(x，y)(在Rt?PBQ中，|PN|,
15、|BN|，设O为坐标原点，连接ON，222222222则ON?PQ，所以|OP|,|ON|，|PN|,|ON|，|BN|，所以x，y，(x,1)，(y,1),4.故线段22PQ中点的轨迹方程为x，y,x,y,1,0. 2tp，2t2ptp16.解析 设P(，)，当t,0时，直线，t)，易知F(，0)，则由|PM|,2|MF|，得M(2p233t1112OM的斜率k,0，当t?0时，直线OM的斜率k,，所以|k|,?,，2pttp|t|p|t|2，p，2?t2p2p|t|2p|t|2pp|t|2当且仅当,时取等号，于是直线OM的斜率的最大值为， |t|2p2三(解答 17(本小题满分12分) 解
16、析 (1)根据数列的递推关系，利用作差法即可求a的通项公式: n1(2)求出b,，利用裂项法即可求数列b的前n项和( nnaa，nn122分10 解:(1)由a，2a,4S，3，可知a，2a,4S，3 ，nnnn1n1n122两式相减得a,a，2(a,a),4a， 2分 ，n1nn1nn122即2(a，a),a,a,(a，a)(a,a)，?a,0，?a,a,2， ，n1nn1nn1nn1nnn1n2?a，2a,4a，3，?a,1(舍)或a,3， 4分 11111则a是首项为3，公差d,2的等差数列， n?a的通项公式a,3，2(n,1),2n，1: 6分 nn11111(2)?a,2n，1，?
17、b,(,)， 8分 nnaa(2n，1)(2n，3)22n，12n，3，nn1?数列b的前n项和 nn1111111111T,(,，,，,),(,),( 12分 n235572n，12n，3232n，33(2n，3)18.(本小题满分12分) 解析 (1)频率分布直方图如图所示(所求的平均值为0.0121，0.01523，0.225，0.1527，0.12529,6.46. 2分 ?7? 5分 125，125(2)男居民幸福的概率为,0.5， 500175，125女居民幸福的概率为,0.6，故一对夫妻都幸福的概率为0.50.6,0.3. 500因此X的可能取值为0,1,2,3,4，且X,B(4
18、,0.3)， kk4,k于是P(X,k),C0.3(1,0.3)(k,0,1,2,3,4)，X的分布列为 4X 0 1 2 3 4 10分 P 0.240 1 0.411 6 0.264 6 0.075 6 0.008 1 ?E(X),np,40.3,1.2. 12分 19.(本小题满分12分) 解:(1)易知AB，AD，AP两两垂直(如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系( 设AB,t，则相关各点的坐标为:A(0,0,0)，B(t,0,0)，C(t,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)， tt?E(，0,1)，F(0,1,0)(从而EF
19、,(,，1，,1)，AC,(t,1,0)，BD,(,t,2,0)( 22?2因为AC?BD，所以AC?BD,t，2，0,0.解得t,2或t,2(舍去)( 3分 2?于是EF,(,，1，,1)，AC,(2，1,0)( 2?因为AC?EF,1，1，0,0，所以AC?EF，即AC?EF. 5分 ?(2)由(1)知，PC,(2，1，,2)，PD,(0,2，,2)( ?8? 2x，y,2z,0,设n,(x，y，z)是平面PCD的一个法向量，则 ,2y,2z,0令z,2，则n,(1，2，2)( 10分 设直线EF与平面PCD所成角为， 11?则sin,|cos,n，EF,|,.即直线EF与平面PCD所成角
20、的正弦值为. 12分 5520.(本小题满分12分) c322解:(1)由，得， 1分 34ac,e,a2222ab,2再由cab,，得， 2分 1由题意可知，,224,2abab即. 3分 22ab,2,x，2，,y1解方程组得 a=2,b=1，所以椭圆的方程为. 4分 ,4ab,2,(2)由(1)可知A(-2,0).设B点的坐标为(x,y),直线l的斜率为k， 1,1则直线l的方程为y=k(x+2), 5分 ykx,，(2),，,2于是A,B两点的坐标满足方程组 ,x2，,y1,42222由方程组消去整理，得, 6分 y(14)16(164)0，,kxkxk22284,kk164k,xy,
21、从而,2,x由得 1112221414，kk14，k.282kk(,),设线段AB的中点为M，则M的坐标为. 8分221414，kk 以下分两种情况: (1)当k=0时，点B的坐标为(2,0).线段AB的垂直平分线为y轴，于是 9分 ?9? (2)当k,0时，线段AB的垂直平分线方程为 令x=0，解得10分 由 2,2(28)646kkkk QAQBxyyy ,，2()=4，kkkk424(16151)kk，,. =,422(14)，k142141421422整理得，. 11分72,=kky,故所以72,=kky,故所以007575 214综上. 12分. yy=22=,或00521.(本小题
22、满分12分) 2解析 (1)因为f(x),lnx,ax，(a,2)x，所以函数的定义域为(0，?)( 2ax，(a,2)xx,1)(ax，1)1,2,(21所以f(x) ,2ax，(a,2),. xxx因为f(x)在x,1处取得极值，即f(1) ,(2,1)(a，1),0，解得a,1. 1当a,1时，在(，1)上f(x)0， 2此时x,1是函数f(x)的极小值点，所以a,1. (2x,1)(ax，1)2(2)因为aa，所以0a0，所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，?)上单调递减( 221232?当0，,212112?当，)上单调递增，在(，a)上单调递减， 即a时，f(x)在(a,222
23、212 a，,2aa,2a1所以f(x),f(),ln2,，,1,ln2; max2424定义：在RtABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，12222532?当?a，即?a1时，f(x)在a，a上单调递减，所以f(x),f(a),2lna,a，a,2a. max221232综上所述，当0a?时，函数y,f(x)在a，a上的最大值是lna,a，a,2a; 2(1)定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.?10? a122当a时，函数y,f(x)在a，a上的最大值是,1,ln2; 22422532当?a0，当x时，y随x的增大而增大。
24、所以C的极坐标方程为,4cos 2分 1函数的增减性：22曲线C的直角坐标方程为x，(y,2),4， 3分 2圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。所以C的极坐标方程为,4sin. 4分 2(2)设点P的极坐标为(，)， 5分 1即,4cos，点Q的极坐标为(，(,)，即,4sin(,)， 6分 1226631则|OP|?|OQ|,4cos?4sin(,),16cos?(sin,cos) 12622,8sin(2,),4.?(0，)， 8分 625?2,?(,，)(当2,，即,时，|OP|?|OQ|取最大值4. 10分 666623(一)情感与态度：23. (4)面积公式:(hc为C边上的高);2 7.三角形的外接圆、三角形的外心。?11?