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1、第6章“状态反馈和状态观测器”习题与解答6判断下列系统能否用状态反馈任意地配置特征值。1)2)解1)Ab=，秩系统完全能控,所以可以用状态反馈任意配1特征值02)叫二bAb A-b-2，秩叫二2,系统不完全能控，所以不能通过状态反惯任意配置特征值。62已知系统为大2兀3Xj=一*-Xj+3w试确是线性状态反馈控制律，使闭环极点都是-3,并画出闭环系统的结构图。解根据题意，理想特征多项式为($)二(+3)3?+9r+275+27kykX.01X=00-1-1并带入原系统的状态方程，可得01-10X+QU31一3k13kr13k其特征多项式为QG)=F+(l+3R3)r+(l+3s+(1+33,通
2、过比较系数得1+3&二9,1+3-2=27,1+3*3=27.即，二二y 斗,闭环系统的结构图:2626TT63给定系统的传递函数为cj)=$(s+4)($+8)试确是线性状态反馈律，使闭环极点为-2.-4,-7。解根据题意，理想特征多项式为0 1X 二 000 -32sis+4)(5+8)$+12$+32$可写出原系统的能控标准形00k32_k123令u=-仅/k,并带入原系统的状态方程，可得其特征多项式为a(s)=$+(12+他)s+(32+)$+3k通过比较系数得二 56, 32 + -2 = 50, 12 + kj = 13,即 /=56, 2二1&他二 1。64给定单输入线性；0常系
3、统为:00-12试求出状态反馈二%:使得闭环系统的特征值为/!；=-2,石二-1+Z舟=-1-70解易知系统为完全能控，故满足可配苣条件.系统的特征多项式为det (5/ - A)= det 0s- + | s-+l2s12进而il算理想特征多项式3()二 U ($才)= G + 一y + 始+65 + 4 j-i2)一 j) (s+l+y)于是，可求得a； Zp 0； _仪2二4,-66, -14再来il算变换阵P 二 bAba.并求出其逆72 1812从而，所要确定的反馈增益阵k即为: 1-672IS18001k=kQ=4.-66,-1401-12二-14,186,-1220-181446
4、5给定系统的传递函数为(5-1)(5+2)g)_($+1)($-2)a+3)试问能否用状态反馈将函数变为：/、_V-($T)(5+2)g*$一($+2)($+3)和M($+1)($+3)若有可能，试分别求出状态反馈增益阵A，并画出结构图。解当给宦任意一个有理真分式传递函数G0)时，都可以得到它的一个能控标准形实现，利用这个能控标准形可任意配直闭环系统的极点。对于传递函数如、意所对应的能控标准型为利用上而两题中方法可矢1x = 0 0_6 5通过状态反馈H=-18 21 5$-)$+ 2)卜能将极点配置为3,此时所对应的闭环传递数为班g冶治。通过状态反馈一34lx能将极点配置为1,-1,-3,此
5、时所对应的闭环传递数为W-($+2)。从而，可看出状态反馈可以任意配置传递函数的极点，但不能任意配*($+1)($+3)置其零点。闭环系统结构图6 6刈断卜列系统能否用状态反馈和输入变换实现解耦控制。1) G(s)二_s+2s2) 0325 +2 S- +5+14S +00 u1X+11)=minlj-l=0,=413 24 1非奇异，所以能用状态反惯和输入变换实现解耦控制。2）因为0 o cfB = 2-1 1 i o 0 1二-1 11,c.B = _0 2 1 O O1 00 1=2 1所以二小二0,换实现解耦控制。f.又因为非奇异，所以能用状态反惯和输入变.2L68给定双输入一双输出的
6、线性崔常受控系统为0300试判世该系统用状态反馈和输入变换实现解耦？若能，试泄出实现积分型解耦的K和最后将解耦后子系统的极点分别配置到益二-2,人；=7；码二-2+人兀=-2-八解易知该系统完全能控能。1）判立能否解耦因为c,B=0000 o珂1 01八o10o30020001_0-200_=0010010000c,AB=001-200于是可知d=1.“2=1；M=E10今0异，因此可进行解耦。2）导出积分型解耦系统计算!OC.A-A=A-BEF1000003）确总状态反惯增益矩阵&令则可得10r二0100lo因为=nL。1非奇30-2002-200R=M-*200o,10222a-BkS_对
7、解耦后的两个子系统分别求出理想特征多项式(s + 2- j (s + 2 + 7)=($)=($+2)($+4)=$2+6$+8方($)5+，+5进而，可求出u二&从而=6;卜祁二&“21=44）确；4-受控系统实现解耦控制和极点配置的控制矩阵对/Io01K=EF+E，K=F+R5）确；4-出解耦后闭环系统的状态空间方程和传递函数矩阵000x=(A-BK)x+BLv=800-6o000-50254_O0V01y=Cx=5 +6s + 8传递函数矩阵则为:G1(s)=C(sl-A+BKrBL=s+4s+5_69给定系统的状态空间表达式为-2-320-11x+0/0-1J，卜y=110x1设计一个
8、具有特征值为4设计-4-5的全维状态观测器：-4小一个具有特征值为-3,画出系的降维状态观测器：5统结构图。1）设il全维状态观测器方法1det(5/-4T)=-1“3=6观测器的期望特征多项式为z*(S)=G+3)($+4)(5+5)=$+12r+47s+60：=12,；=47,“；二60_24一二54419”2()00Y210120_-24eJ护p=状态观测潜的状态方程为23二_922x=A-ECxBu+Ey521 23252A10272923,26nTT ,21-9V-I-2-30-I10 -1 -2 -30-111 0 -1Ef 1 1 0方法2P0o,detAI(AFC)QA0A+1
9、+二det*1E?2+E,3A+1+E、二才+(|+E-i+3)儿2+(2Ei2耳+6)/1+(2目+2E、4E3+6）与期望特征多项式比较系数得=122,-2-3+6=472；+24耳+6=60解方程组得-902）设计降维观测状态器令 X =Px =0OT1 0X,则有pT =01 0110依题意可知降维观测器的期望特征多项式为y=cP*x=001石Is）=G+3）（5+4）=$2+7$+12设二（无-瓯）二1 _L2石一 1 2石一 1一 2舄- 2石 r-2e2+12-1.于是=$det5/_(AH_EAj,)+52G|$+52勺+112竹det-2M_1S-2石+L40惠20+S2舄+1+2cs4幻+1201二下+（2-2召一2石）S4召+2比较系数得方程组2-2百一2的7-4石+2=12解方程组知：可二一，召二0,于是降维状态观测器的方程为I2-二(儿一丽2jw+(E-EM)+无-丽22+(瓦-丽2|)3)闭环系统结构图：全维If匚 0(j) -6 -61 -1状态观测器结构图:U