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1、2014届安徽省皖南八校高三第二次模拟考试 理科数学试题及答案2014届皖南八校高三第二次联考 数学(理科)参考答案 一、 选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 号 答 A C B A A D B C D C 案 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11( ,51202,a12( 421，13( 14( (,1224,),，,15( ? 三、解答题(本大题共6小题，共75分) 16(本题满分12分)已知中，、是三个内角、的对边，,ABCabcABC2关于x的不等式的解集是空集( xCxCcos4sin60，,(?)求角C
2、的最大值; 73c,S,3 (?)若，的面积，求角取最大值时的值( ,ABCCab，22cos0C,解:(?)显然 不合题意， 则， cosC,0,0,cos0C,cos0C,1,cosC,即， 即 解得: ,1,22cos2cosCC,或16sin24cos0CC,2故角的最大值为( - C60:6分 133 (?)当=时，?， C60:ab,6SabCab,sin3,ABC2422222 由余弦定理得:， cababCabababC,，,，,2cos()22cos1211122ab，,()3abcab，,，, ?，?( - 1224分 17(本题满分12分)从正方体的各个表面上的12条面对
3、角线中任取两条，设为两条面对角线所成的角(用弧度制表示)，如当两条面对角线垂直时，,( ,2(?)求概率; P(0),(?)求的分布列，并求其数学期望( ,E(),解:(?)当,0时，即所选的两条面对角线平行(则P(,16,0)=(- 4分 211C12,(?),0，; 321,8,264812P(,0)=， P(, )=， P(, )=; 222111111C3C2C121212, 0 32182 P 111111- 10分 182,，,，,0E,( - 11311211312分 AE18(本题满分12分)已知是正方形，直线?平面，且ABCDABCDBAB,AE,1， C(?)求二面角的大小
4、; A,CE,DAEPDE(?)设为棱的中点，在的内部或边上 ,ABEPD是否存在一点，使，若存在， HPHACE,面求出点的位置，若不存在说明理由( H解:方法一: CE,(,1,1,1)(?)因为， AC,(1,0,1)x，z,0,设平面的法向量为n,(x,y,z)，则， ACE,1,x，y,z,0,令，得，同理得平面的法向量为， n,(1,0,1)CDEn,(1,1,0)x,112:所以其法向量的夹角为，即二面角为60A,CE,D,60(- 6分 1111H(0,y,z)y,0y，z,1P(,0)PH,(,y,z)(?)?，设，(，)，则( z,022221,PH,AC,0,，z,0,1
5、2,PH,y,z,由面ACE，得( ,11,2PH,CE,0,，y,z,022,11PH,H(0,)?存在点(即棱的的中点)，使面(- BEACE2212分 方法二: BI (?)连结交于，则面， AC,BDODO,ACEG CM H DMM作于，连结，则就是 OM,CE，OMDO AE二面角的平面角( A,CE,DP2OD3,2DF (=， sin，OMD,60，OMDDM223,?二面角为( 60A,CE,DBE(?)存在的中点，使?平面( HPHACEPHBDEBD,是?中位线，而面，故?平面( PHACEPH/BDACE2a19(本题满分13分)数列:满足，aaanN,，,42,(*)
6、 a,6,nnnn，11C(?)设，求证是等比数列; Ca,，log(2),nnn2a(?)求数列的通项公式; ,n117b,T,1(?)设，数列的前n项和为，求证:( b,T,nnnn230a,2a，4annn2*2解:aaanN,，,42,()a，2,(a，2)(?)由得，n，nnnn，11 ，即， log(2)2log(2)aa，,，CC,2212nn，nn，1?是以2为公比的等比数列; Cn- 4分 n,1n,132C,3C,32 (?) 由， 即， a，,221nnn,132a,22? - 8分 n1111 (?) b,n2a,2a,2a,2a，4annn，1nn1111,Tnn3,
7、2a,2a,242,4n1，1 71 ?( - 13,Tn304分 20(本题满分13分) 222已知命题“若点是圆上一点，则过点的圆的切线方程MMxy(,)xyr，,002为”( xxyyr，,0022xy，,1(0)ab(?)根据上述命题类比:“若点是椭圆上一点，Mxy(,)0022ab则过点的切线方程为 (”(写出直线的方程，不M必证明)( 22xy，,1(0)ab(?)已知椭圆:的左焦点为，且经过点(1，CF(1,0),122ab3)( 2(?)求椭圆的方程; C(?)过的直线交椭圆于、两点，过点、分别作椭圆的CABABlF1两条切线，求其交点的轨迹方程( xxyy00，,1解:(?)
8、; - 322ab分 22xy，,1(?)(?); 43- 7分 (?)当直线l的斜率存在时，设为k，直线l的方程为ykx,，(1)， 设A，B， (,)xy(,)xy1122xxyy11，,1则椭圆在点A处的切线方程为: ? 43xxyy22，,1椭圆在点的切线方程为: ? B434()4()yykxx,2121联解方程? ?得:， x,4xyxyxkxxkx,，,，(1)(1)12211221即此时交点的轨迹方程:( x,4- 11分 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， x,1ll33(1,),B(1,),此时，经过两点的切线交点为 (4,0),AAB22综上所述，切线的交点的轨迹方程为
9、:( x,4- 13分 lnxfxax()1,，21(本题满分13分)已知函数，() aR,x(?)若在定义域上单调递增，求实数的取值范围; fx()a(?)若函数有唯一零点，试求实数的取值范围( gxxfx()(),a21lnln1,，xaxx,fxa(),，,解:(?)， 22xx2,?，?， fxx()0,0,axxx,，,ln10,0ln1x,a,?， - 22x分 12xxx,2(ln1)3ln1x,32ln,xx2,hx(),xe,令，则有根:， hx()0,0243xxx,，hx()0,，函数hx()单增; xx,(0,)0,，hx()0,，函数hx()单减; xx,，,(,)0
10、- 5分 1ahxhx,()()?; - 6分 max032e(?)方法一: ,xxln2a,由题，即有唯一正实数根; gxxfxaxxx()()ln0,，,2x,xxln,()x,令，即函数与函数有唯一交点;- yx,(),ya,2x9分 12,(1)(ln)2xxxx,，xx12lnx,; ,()x43xx2,Rxx()10,0,，,再令，且易得， Rxxx()12ln,，R(1)0,x,故，当时，函数单调递减; Rx()0,()0x()xx,(0,1),当时，函数单调递增; x,，,(1,)Rx()0,()0x()x,yx=(),即， ()(1)1x,又当时， ()x,，,x,0,x1O
11、x,，,而当时，且， ()0x,()0x,1草图 |0,1aaa,或故满足条件的实数的取值范围为:( a - 13分 方法二: 2有唯一正实数根， gxxfxaxxx()()ln0,，,2121axx，,gxax()21,，,，记,18a; xxx，1,gxx()0,0,(?)若，即函数ygx,()在定义域上单调递a,0x增， ,22g(1)10,ygx,()又，即函数有唯一零点; gee()20,12,a,(?)若即，则，从而， gxx()0,0,0210,0axxx，,8又当时，而当时，; x,，,gx()0,x,0gx()0,故函数有唯一零点; ygx,()|a|的越大，抛物线的开口程度
12、越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；120,a(?)若，则，但方程的两根满足: ,180a210axx，,81,xx，,012,2a ，即两根均小于0， ,1,xx,012,2a,2,故，从而， gxx()0,0,210,0axxx，,4.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。由(?)同理可知，仍满足题意; 186.257.1期末总复习及考试2(?)若，同样，则方程的两根为: a,0,0210axx，,，,118a,118ax,0，(舍); x,0214a4a,当时，故在为增函数， gx()0,gx()xx,(0,)(0,)x11sin,当时，故在为减函
13、数， gx()0,gx()xx,，,(,)(,)x，,11故，当时，取得最大值; gx()xx,gx()11分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:2,axxx，,ln0gx()0,1111则，即， ,2,gx()0,210axx，,1,11所以，即; ,，,2ln10xx2ln10xx，,11112、第四单元“有趣的图形”。学生将经历从上学期立体图形到现在平面图形的过程，认识长方形，正方形，三角形，圆等平面图形，通过动手做的活动，进一步认识平面图形，七巧板是孩子喜欢的拼图，用它可以拼出很多的图形，让孩子们自己动手拼，积累数学活动经验，发展空间观念能设计有趣的图案。2,()10,0xx,，,令()2ln1xxx,，,，则，即()x为定义域上增函数， ,x（7）二次函数的性质：又，所以方程有唯一解， ,(1)0,2ln10xx，,x,1111,118ax,1故，解得a,1; 14a(1) 弧长公式: 弧长 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)|0,1aaa,或综上，实数的取值范围为:( a