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1、2014届新课标高考压轴卷 理科数学试题及答案2014届新课标II高考压轴卷 理科数学 一、 选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A=0，1，2，B=x|x=2a，a?A，则A?B中元素的个数为( ) A( 0 B( 1 C( 2 D( 3 2. 已知复数z满足zi=2,i，i为虚数单位，则z的共轭复数为( ) A( ,1+2 i B( l+2i C( 2,i D( ,1,2i 3. 由y=f(x)的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin的图象，则 f(x)为( ) 2sin
2、 2sin 2sin 2sin A( B( C( D( 4.已知函数，则的值是( ) A( 9 B( ,9 C( D( PXp(4),XN5. 设随机变量(3，1)，若，则P(2X4)= 11 ( A) ( B)lp (C)l-2p (D) ，p,p226. 6(运行右面框图输出的S是254，则?应为 (A) ?5 n(B) ?6 n(C)?7 n(D) ?8 n7. 若曲线在点(a，f(a)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a=( ) - 1 - A( 64 B( 32 C( 16 D( 8 22,AOBP8.已知、是圆上的两个点，是AB线段上的动点，当的面积ABOxy:1，,
3、2最大时，则的最大值是( ) APAOAP,10A. B. C. ,181D. 2O,xyz9.一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(0，0，0)，yOz(1，2，0)，(0，2，2)，(3，0，1)，则该四面体中以平面为投影面的正视图的面积为 57A(3 B( C( D( 222210. .已知函数，且，则 afnfn,，()(1)aaaa，,？fnnn()cos(),n1231000,10010010200A( B( C( D( 11(设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by(a,0，b,0)的最大值为12，则+的最小值为( ) A( 4 B( C( 1 D( 2 12
4、(设双曲线,=1(a,0，b,0)的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=+(，?R)，=，则该双曲线的离心率为( ) A( B( C( D( 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分(把答案填在答题卡的相应位置( - 2 - 13.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间5，40中，其频率分布直方图如图所示(从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，则其( 棉花纤维的长度小于20mm的概率为1cos2,1tan(2),1tan(
5、)14.已知，则的值为 ( sincos3,4(3)x,15.函数的最小值是 ( yx,，x，3316.已知函数f(x),x，x，对任意的m?,2,2，f(mx,2)，f(x)0恒成立，则x的取值范围为_( 三、解答题:本大题共6小题，共70分(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(解答写在答题卡上的指定区域内( 2x,R17.已知函数，( f(x),2sinxcosx，23cosx,3yfx,，(3)1(?)求函数的最小正周期和单调递减区间; ABC,abc,ABC(?)已知中的三个内角所对的边分别为，若锐角满足A133A,a,7,ABCsinsinBC，,，且，求的面积( f()3,14
6、2618.随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下列联表: 性别与读营养说明列联表 男 女 总计 - 3 - 读营养说明 16 8 24 不读营养说明 4 12 16 总计 20 20 40 ?根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系, ?从被询问的16名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到男生,人数的分布列及其均值(即数学期望)( 2n(ad,bc)2K,(a，b)(c，d)(a，c)(b，d)n,a，b，c，d(注:，其中为样本容量() 19.已知正四棱柱中，. ABCDABCD,A
7、BAA,2,411111(?)求证:; BDAC,1(?)求二面角的余弦值; AACD,11CP(?)在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出P,PBDCCACD111PC1的值;若不存在，请说明理由. 222220.已知动圆P与圆Fxy:(3)81，,相切，且与圆Fxy:(3)1,，,相内切，记圆21QCCO心的轨迹为曲线;设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，Px- 4 - MN,OQC过点作的平行线交曲线于两个不同的点. F2(?)求曲线C的方程; 2|MN(?)试探究和的比值能否为一个常数,若能，求出这个常数，若不|OQ能，请说明理由; S(?)记的面积为，的面积为，令，求
8、的最大值. ,OFNSSS,，,QFMSS212212xt,t,021.已知，函数fx(),. xt，3fx()t,1(1)时，写出的增区间; fx()gt()gt()(2)记在区间0,6上的最大值为，求的表达式; yfx,()(3)是否存在，使函数在区间(0,6)内的图象上存在两点，在该两点处的t切线互相垂直,若存在，求的取值范围;若不存在，请说明理由( t请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号. 22.选修4,1:几何证明选讲 如图，AB是?O的直径，AC是弦，直线CE和?O切于点C，AD丄CE，垂足为D( (I) 求证:AC平分?BA
9、D; (II) 若AB=4AD，求?BAD的大小( 23.选修4,4:坐标系与参数方程 22将圆x+y=4上各点的纵坐标压缩至原来的，所得曲线记作C;将直线3x,2y,8=0绕原点逆时针旋转90?所得直线记作l( (I)求直线l与曲线C的方程; - 5 - (II)求C上的点到直线l的最大距离( 24. 选修4,5:不等式选讲 设函数，f(x)=|x,1|+|x,2|( (I)求证f(x)?1; (II)若f(x)=成立，求x的取值范围( - 6 - 2014新课标II高考压轴卷 理科数学参考答案 1. 【 答案】A. 【 解析】由A=0，1，2，B=x|x=2a，a?A=0，2，4， 所以A
10、?B=0，1，2?0，2，4=0，2( 所以A?B中元素的个数为2( 故选C( 2. 【 答案】A. 【 解析】由zi=2,i，得， ?( 故选:A( 3. 【 答案】B. 【 解析】由题意可得y=2sin的图象上各个点的横坐标变为原来的，可得函数y=2sin(6x,)的图象( 再把函数y=2sin(6x,)的图象向右平移个单位，即可得到f(x)=2sin6(x,),)=2sin(6x,2,)=2sin 的图象， 故选B( 4. 【 答案】C. ,2,2 【 解析】=f(log)=f(log2)=f(,2)=3=， 22故选C( - 7 - 5. 【 答案】C. PXPXp(4)(2),【 解
11、析】因为， 1(4)(2)12,PXPXp所以P(2X0恒成立， ?f(x)在R上是增函数( 又f(,x),f(x)，?y,f(x)为奇函数( 由f(mx,2)，f(x)0得f(mx,2),f(x),f(,x)， - 11 - ?mx,2,x，即mx,2，x0在m?,2,2上恒成立( 记g(m),xm,2，x， 217. 【 解析】(?) fxxxx()2sincos3(2cos1),，,？,2,，,，sin23cos22sin(2)xxx3分 , ？,，,，,，yfxxx(3)12sin(6)12sin(6)1332,？,，yfx(3)1的最小正周期为 3,T63分 ,115,k,Z由得:，
12、 262kxk,，,，kxk,232336336115,？,，yfx(3)1k,Z的单调递减区间是， 6分 ,，,kk,336336A3,(?)?，?，? 7分 sinA,f()3,2sin()3A,，,22633bc，,?，?A(由正弦定理得:， 0,A,sinsinsinBCA，,32a1333bc，bc，,13即，? 9,，1472分 22222abcbcA,，,2cos由余弦定理得:， abcbcbcA,，,()22cos491693,bcbc,40即，? 11分 - 12 - 113?SbcA,，,12分 sin40103,ABC222 240，(16，12,8，4)k,6.67,6
13、.63524，16，20，2018. 【 解析】?由表中数据，得4分(列式2分，计算1分，比较1分)， 因此，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为性别与读营养说明有关5分 ,的取值为0，1，26分 ?1122C，CC2C111124124(1)(0)(2)P,P,P,22220520CCC161616，12分 ,的分布列为 ,012 1112P 20520 13分 11211,0，1，2，,E,205202的均值为14分( 19. 【 解析】证明:(?)因为为正四棱柱， ABCDABCD,1111ABCDABCD所以平面，且为正方形. 1AA,1分 ABCD因为平面， BD,所以. B
14、DAABDAC,12分 因为, AAACA:,1- 13 - 所以平面BD,. 3分 AAC1因为平面, AC,AAC11所以. 4BDAC,1分 Dxyz,(?) 如图，以为原点建立空间直角坐标系.则 DDABCAB(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),115分 CD(0,2,4),(0,0,4)11uuuuruuurDADC,(2,0,0),(0,2,4) 所以. 111设平面的法向量. ADCn,(,)xyz11111uuuur,n,DA0,x,0,111 所以 .即6分 uuur,240yz,11n,DC0,1,令，则. z,1
15、y,211n,(0,2,1) 所以. 由(?)可知平面的法向量为 AAC1uuurDB,(2,2,0). - 14 - 7分 uuur410 所以. cos,DBn5522,8分 因为二面角为钝二面角， AACD,1110,所以二面角的余弦值为. AACD,1159分 uuruuurCPPC,(01)(?)设为线段上一点,且. Pxyz(,)CC12221uuruuurCPxyzPCxyz,(,2,),(,2,4) 因为. 2221222所以. 10分 (,2,)(,2,4)xyzxyz,2222224,即. ,xyz0,2,222，1,4,所以. 11分 P(0,2,)，1,设平面的法向量.
16、 PBDm,(,)xyz333uuuruuur4,因为， ,DPDB(0,2,),(2,2,0)，1,uuur4,m,DP0,20,yz，,33 所以 .即. 1，uuur,m,DB0,220xy，,33,12分 1，, 令，则. y,1xz,1,3332,所以1，,. 13分 m,(1,1,)2,mn,0若平面平面，则. ACD,PBD111，,1即，解得. ,20,32,- 15 - CP1所以当,时，平面平面. 14分 ,ACDPBD11PC31(,)xy20. 【 解析】(I)设圆心的坐标为，半径为 PR2222由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动 PFxy:(3)81，,Fxy:(
17、3)1,，,2122圆与圆只能内切 PFxy:(3)81，,1|9PFR,1？ 2分 ,，,|8|6PFPFFF,1212|1PFR,2,28, 26ac,圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，其中， PFF, ？12222 ？,acbac4, 3, 7C故圆心的轨迹:P22xy，,1 4分 167OQxmy:,MNxmy:3,，(II)设，直线，则直线 MxyNxyQxy(,), (,), (,)11223322,112m112m22xmy,x,x,3,22,716m，716m，22？由可得:， ,xy112112，,122,y,y,167,322,716m，716m，,22112112112(1)m
18、m，222 6分 ？,，,，,|OQxy33222716716716mmm，xmy,，3,2222由可得: (716)42490mymy，,xy，,1,167,4249m ？，,yyyy,121222716716mm，22222,，,myy1|()()(3)(3)()MNxxyymymyyy,，,，,，,？212121212122 ,，,myyyy1()412122424956(1)mm，22,，,m1()4()8分 222716716716mmm，- 16 - 256(1)m，2|1MN716m， ,？22112(1)m，|2OQ2716m，2|MN和的比值为一个常数，这个常数为|OQ？19
19、分 2？MNOQ/(III)，的面积的面积， ,QFM,OFM？,，,SSSS？2212,OMN3？OMNxmy:3,，到直线的距离 d,2m，1221156(1)3841mm， 11分 ？,，,SMNd|22222716716mm，m，1222mt,1mt，,1(1)t,令，则 848484tt S,2297(1)1679tt,，7t，t993149？72767tt，,(当且仅当，即t,，亦即m,时取等号) 7t,tt7t714Sm,当时，取最大值27？713分 (,3),(1,),，,21. 【 解析】(1); tx,xt, (2)当0?x?t时，f(x),;当x,t时，f(x),. xt
20、，3xt，3,4t因此，当x?(0，t)时，f(x),0，f(x)在(0，t)上单调递减; 2，xt34t当x?(t，?)时，f(x),0，f(x)在(t，?)上单调递增( 2，xt31?若t?6，则f(x)在(0,6)上单调递减，g(t),f(0),. 3?若0,t,6，则f(x)在(0，t)上单调递减，在(t,6)上单调递增( 所以g(t),mtxf(0)，f(6)( - 17 - 1624,tt6,t而f(0),f(6),，故当0,t?2时，g(t),f(6),; ,63，t36363，tt6,t,02,t,1,63，t当2,t,6时，g(t),f(0),.综上所述，g(t), ,13,
21、2.t,3,(3)由(1)知，当t?6时，f(x)在(0,6)上单调递减，故不满足要求( 当0,t,6时，f(x)在(0，t)上单调递减，在(t,6)上单调递增( 若存在x，x?(0,6)(x,x)，使曲线y,f(x)在(x，f(x)，(x，f(x)两点12121122处的切线互相垂直，则x?(0，t)，x?(t,6)，且f(x)?f(x),1， 1212,44tt4t即,1.亦即x，3t,.(*) 122xt，3，xtxt332124t4t,由x?(0，t)，x?(t,6)得x，3t?(3t,4t)，?. ,1121,xt，363，t,2,4t故(*)成立等价于集合T,x|3t,x,4t与集
22、合B,的交集非xx,1,63，t,4t1,空(因为,4t，所以当且仅当0,3t,1，即0,t,时，T?B?. 363，t综上所述，存在t使函数f(x)在区间(0,6)内的图象上存在两点，在该两点处的1,0,切线互相垂直，且t的取值范围是. ,3,22. 【 解析】证明:(?)连接BC，?AB是圆O的直径，?ACB=90?( ?B+?CAB=90? ?AD?CE，?ACD+?DAC=90?， 2、在教师的组织和指导下，通过自己的主动探索获得数学知识，初步发展创新意识和实践能力。?AC是弦，且直线CE和圆O切于点C， 如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则?ACD=?B ?DAC=?CAB，即A
23、C平分?BAD; tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。（2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。2(?)由(?)知?ABC?ACD，?，由此得AC=ABAD( 43.193.25观察物体2 生活中的数1 P22-232?AB=4AD，?AC=4ADAD?AC=2AD，于是?DAC=60?， - 18 - 故?BAD的大小为120?( 23.53.11加与减（一）4 P4-122223. 【 解析】(?)设曲线C上任一点为(x，y)，则(x，2y)在圆x+y=4上， （2）圆是轴对称图形，直径所在的直
24、线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。22于是x+(2y)=4，即( （2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。直线3x,2y,8=0的极坐标方程为3cos,2sin,8=0，将其记作l， 0设直线l上任一点为(，)，则点(，,90?)在l上， 0于是3cos(,90?),2sin(,90?),8=0，即:3sin+2cos,8=0， 故直线l的方程为2x+3y,8=0; (?)设曲线C上任一点为M(2cos，sin)， （3）二次函数的图象：是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线，二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。它到直线l的距离为d=， 其中满足:cos=，sin=( 00024. 【 解析】(?)证明:由绝对值不等式得: f(x)=|x,1|+|x,2|?|(x,1),(x,2)|=1 (5分) (?)?=+?2， ?要使f(x)=成立，需且只需|x,1|+|x,2|?2， 即，或，或， 解得x?，或x?( 33.123.18加与减（一）3 P13-17故x的取值范围是(,?，?，+?)(10分) - 19 -