《最新届江苏高三理科数学二轮复习解题技巧提炼专题检测：专题一第3讲优秀名师资料.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新届江苏高三理科数学二轮复习解题技巧提炼专题检测：专题一第3讲优秀名师资料.doc（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2014届江苏高三理科数学二轮复习解题技巧提炼专题检测：专题一第3讲第3讲 函数与方程及函数的应用 【高考考情解读】 1.本讲主要考查函数的零点，常以分式、绝对值不等式、对数式、三角函数为载体;考查确定零点的个数、存在区间及应用零点存在情况求参数值或取值范围;函数的实际应用常以实际生活为背景，与最值、不等式、导数、解析几何等知识交汇命题.2.函数的零点主要是以填空题的形式考查，以基础知识为主，而函数的实际应用则主要以解答题的形式出现，属中、高档题( 1( 函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数f(x)，我们把使f(x),0的实数x叫做函数f(x)的零点( (2)函数的零点与方程根的关
2、系 函数F(x),f(x),g(x)的零点就是方程f(x),g(x)的根，即函数y,f(x)的图象与函数y,g(x)的图象交点的横坐标( (3)零点存在性定理 如果函数y,f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)?f(b)0，且a?1)(当2a3b0，,(2)函数f(x),的零点个数是_( 2x，1，x?0，,答案 (1)2 (2)3 解析 (1)?2a3?f(x),logx，x,b为定义域上的单调函数(f(2),log2，2,bf(3)aa,log3，3,b. alg 2lg 2?lg 2lg alg 3?3?,b,3?2,b,1 ?log2，2,b0即f(2)0. a
3、lg 3lg 3?13b4?,13,b0?f(3)0即f(2)?f(3)0时在同一个直角坐标系中分别作出y,ln x和y,x,2x,(x,1),1的图象可知它们有两个交点,当x?0时作出y,2x，1的图象可知它和x轴有一个交点(综合知函数y,f(x)有三个零点( (1)函数零点(即方程的根)的确定问题常见的有?函数零点值大致存在区间的确定,?零点个数的确定,?两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定(解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解( (2)提醒:函数的零点不是点是方程f(x),0的根即当函数的自变量取这个实
4、数时其函数值等于零(函数的零点也就是函数y,f(x)的图象与x轴的交点的横坐标( x3 (1)(2012?天津改编)函数f(x),2，x,2在区间(0,1)内的零点个数是_( xab(2)已知函数f(x),a，x,b的零点x?(n，n，1)(n?Z)，其中常数a、b满足2,3,30,2，则n,_. 答案 (1)1 (2),1 x2解析 (1)因为f(x),2ln 2，3x0 x3所以函数f(x),2，x,2在(0,1)上递增 且f(0),1，0,2,10 所以有1个零点( xx(2)f(x),a，x,b的零点x就是方程a,x，b的根( 0x设y,ay,x，b 12故x就是两函数交点的横坐标如图
5、 01当x,1时y,log2y,1，b,1，log2 1323a?,1x0?n,1. 0考点二 与函数有关的自定义问题 例2 若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数(?R)使得f(x，)，f(x),0对任意实数都成立，则称f(x)是一个“,伴随函数”(有下列关于“,伴随函数”的结论:?f(x),0是常数函数中唯一一个“,伴随函数”;?f(x),x是12“,伴随函数”;?f(x),x是“,伴随函数”;?“,伴随函数”至少有一个零点( 2其中正确结论的个数是_( 先理解新定义“,伴随函数”的意义然后对给出的函数逐一用定义检验从而判断所给命题的正确性( 答案 1 解析 对于?
6、若f(x),c?0取,1 则f(x,1),f(x),c,c,0 即f(x),c?0是一个“,伴随函数”故?不正确( 对于?若f(x),x是一个“,伴随函数” 则(x，)，x,0求得,0且,1矛盾故?不正确( 2对于?若f(x),x是一个“,伴随函数” 22则(x，)，x,0求得,0且,1矛盾故?不正确( 1对于?若f(x)是“,伴随函数” 211则f(x，)，f(x),0取x,0 2211则f()，f(0),0 221若f(0)f()任意一个为0函数f(x)有零点, 21若f(0)f()均不为0 21则f(0)f()异号由零点存在性定理 21知f(x)在(0)内存在零点x 02所以?正确( 函
7、数的创新命题是高考命题的一个亮点此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义如本题中的“,伴随函数”要求在短时间内通过阅读、理解后解决题目给出的问题(解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义把从定义和题目中获取的新信息进行有效的整合并转化为熟悉的知识加以解决即检验f(x，)，f(x),0对任意实数都成立( 若平面直角坐标系内两点P，Q满足条件:?P，Q都在函数f(x)的图象上;?P，Q关于y轴对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的图象上的一个“镜像点对”(点对(P，Q)与点对(Q，P)看作同一个“镜像点对”)( ,cos x，x0，,3答案 3 解析 依题意设点P(xy)Q(,xy
8、)(其中x0) 00000若点对(PQ)是函数f(x)的图象上的一个“镜像点对” ,y,logx,030,则有 y,cos ，,x，,cos x,000所以logx,cos x即x是方程logx,cos x的根( 30003在同一个直角坐标系中画出函数y,logx与y,cos x的图象可知这两个图象共有33个交点即函数f(x)的图象的“镜像点对”共有3对( 考点三 函数模型及其应用 例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境x2综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x),|,a|，2a，x?0,24，其2x，131中a是与气象有关的参数，且a?
9、0，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性2污染指数，并记作M(a)( x(1)令t,，x?0,24，求t的取值范围; 2x，1(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标, (1)分x,0和x?0两种情况当x?0时变形使用基本不等式求解( 2(2)利用换元法把函数f(x)转化成g(t),|t,a|，2a，再把函数g(t)写成分段函数后求3M(a)( 解 (1)当x,0时t,0, 1当0x?24时x，?2(当x,1时取等号) xx111?t,?(0即t的取值范围是0( 2x，1122x，x12(2)当a?0时记g(t),|t,a|，2a，
10、 232,t，3a，0?t?a,3则g(t), ,21 t，a，at?.,321?g(t)在0a上单调递减在(a上单调递增 2217且g(0),3a，g(),a， 32611g(0),g(),2(a,)( 2411g，0?a?,24故M(a), ,11 g，0，a?.,4271a，0?a?,64),即M(a ,211 3a，a?.,34217当0?a?时M(a),a，2显然成立, 4623a，?2,314得a? 由,4911 a?,424?当且仅当0?a?时M(a)?2. 9441故当0?a?时不超标当a?时超标( 992(1)解答函数应用题的关键 将实际问题中的数量关系转化为函数模型常见模型
11、有:一次或二次函数模型,分式函数模型,指数式函数模型等( (2)对函数模型求最值的常用方法 单调性法、基本不等式法及导数法( (3)本题中的函数与方程思想:?在求t的范围时把t看作是x的函数在求M(a)时把综合放射性污染指数看作是t的函数(?在确定综合放射性污染指数是否超标时用到了方程的思想( 某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药2x，2，04，,2x,2在水中的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化;当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化( (1)如
12、果投放的药剂质量为m,4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天, (2)如果投放药剂质量为m，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值( 解 (1)由题意得当药剂质量m,4时 2x，8，04，. ,x,12x当04时?4解得4x?16. x,1综上0x?16. 所以自来水达到有效净化一共可持续16天( 2mx，2m，04， ,2x,22mx当0x?4时y,，2m在区间(0,4上单调递增即2m4时y,0 2，2x,2，7m?函数在区间(4,7上单调递减即?y3m 47m综上知?y?3m 47m为使4?y?10恒成立只要?4且3m?10即可
13、 41610即?m?. 7316所以应该投放的药剂量m的最小值为. 71( 函数与方程 (1)函数f(x)有零点?方程f(x),0有根?函数f(x)的图象与x轴有交点( (2)函数f(x)的零点存在性定理 并且有f(a如果函数f(x)在区间ab上的图象是连续不断的曲线)?f(b)0那么函数f(x)在区间(ab)内有零点即存在c?(ab)使f(c),0. ?如果函数f(x)在区间ab上的图象是连续不断的曲线并且函数f(x)在区间ab上是一个单调函数那么当f(a)?f(b)0那么函数f(x)在区间(ab)内不一定没有零点( ?如果函数f(x)在区间ab上的图象是连续不断的曲线那么当函数f(x)在区
14、间(ab)内有零点时不一定有f(a)?f(b)0. 2( 函数综合题的求解往往应用多种知识和技能(因此必须全面掌握有关的函数知识并且严谨审题弄清题目的已知条件尤其要挖掘题目中的隐含条件(要认真分析处理好各种关系把握问题的主线运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决( 3( 应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题建模求解反馈? ，文字语言，数学语言，数学应用，检验作答，与函数有关的应用题经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题(解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答. 1x1( 已知函数
15、f(x),(),logx，实数a，b，c满足f(a)?f(b)?f(c)0(0abc)，若实数x为方203程f(x),0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是_(填序号) ?xb;?xc. 0000答案 ? 1x解析 函数f(x),(),logx 23在其定义域(0，?)上是减函数 ?0abf(b)f(c)( 又?f(a)f(b)f(c)0 则f(a)0f(b)0f(c)0f(b)0f(c)0. 若f(a)0f(b)0f(c)0则x0f(b)0f(c)0则bxc不可能成立故填?. 012( 若f(x)，1,，当x?0,1时，f(x),x，若在区间(,1,1内，g(x),f(x),mx,m有
16、f，x，1，两个零点，则实数m的取值范围是_( 1答案 (0， 2解析 设x?(,1,0)则x，1?(0,1) 11?f(x),1,1 f，x，1，x，1?画出f(x)在(,1,1上的图象(如下图) g(x),f(x),mx,m在(,1,1上有两个零点即f(x),m(x，1)有两个不同根 即y,f(x)与y,m(x，1)有两个不同交点( 如上图当过(,1,0)的直线处于l与x轴之间时 1满足题意则00 2x所以f(x)是增函数由条件可知f(1)f(2)0 即(2,2,a)(4,1,a)0即a(a,3)0 解之得0a3. x3( (2013?天津改编)函数f(x),2|log x|,1的零点个数
17、为_( 0.5答案 2 1xx,x,解析 当0x1时f(x),2logx,1,2logx,1 0.521x,令f(x),0得logx, 2,21x,由y,logxy,的图象知在(1，?)上有一个交点即f(x)在(1，?)上有一个零2,2点故有2个零点( c，xA，,x4( 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x), ,c，x?A ,A(A，c为常数)(已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是_( 答案 60,16 解析 因为组装第A件产品用时15分钟 c所以,15 ? Acc所以必有40成立，则实数x的取值范围_( ,2,
18、答案 x|x ,322解析 由ax，(a,2)x,20得(x，x)a,2(x，1)0. 2令f(a),(x，x)a,2(x，1)( 方法一 (补集法) 2,f，1，?0x,x,2?0,由题意得即 2 ,f，3，?0.3x，x,2?0,2解得,1?x? 32所以所求范围为该集合的补集即为x. 3方法二 (直接法)由题意得f(1)0或f(3)0解得( 26( 若关于x的方程4cos x,cosx，m,3,0恒有实数解，则实数m的取值范围是_( 答案 0,8 2解析 设cos x,t?,1,1则t,4t，3,m,0 2得m,t,4t，3在,1,1上是单调递减的 所以m?0,8( ,|lg x|，x0
19、，,2,( 设定义域为R的函数f(x),7则关于x的函数y,2f(x),3f(x)，1的2 ,x,2x，x?0，,零点的个数为_( 答案 7 2解析 由y,2f(x),3f(x)，1,0得 1f(x),或f(x),1 21如图画出f(x)的图象由f(x),知有4个根 2由f(x),1知有3个根故共有7个零点( ,logx，x0，2,8( 已知函数f(x),且关于x的方程f(x)，x,a,0有且只有一个实根，则实x 3，x?0，,数a的取值范围是_( 答案 (1，?) 解析 画出函数y,f(x)与y,a,x的图象如图所示所以a1. 22229( (2013?辽宁改编)已知函数f(x),x,2(a
20、，2)x，a，g(x),x，2(a,2)x,a，8.设H(x)1,maxf(x)，g(x)，H(x),minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的较大值，minp，2q表示p，q中的较小值)(记H(x)的最小值为A，H(x)的最大值为B，则A,B,_. 12答案 ,16 2解析 f(x),x,(a，2),4,4a 2g(x),x,(a,2)，12,4a 在同一坐标系内作f(x)与g(x)的图象(如图)( 依题意知函数H(x)的图象(实线部分) 1函数H(x)的图象(虚线部分)( 2?H(x)的最小值A,f(a，2),4,4a 1H(x)的最大值B,g(a,2),12,4a 2因此A,B
21、,(,4,4a),(12,4a),16. 二、解答题 n10(2012?陕西改编)设函数f(x),x，bx，c(n?N，b，c?R)( ，n1,(1)设n?2，b,1，c,1，证明:f(x)在区间，1内存在唯一零点; n,2(2)设n,2，若对任意x，x?,1,1，有|f(x),f(x)|?4，求b的取值范围( 122122n(1)证明 b,1c,1n?2时f(x),x，x,1. n111,?ff(1),10 n,21,?f(x)在1上是单调递增的 n,21,?f(x)在1内存在唯一零点( n,22(2)解 当n,2时f(x),x，bx，c. 2对任意xx?,1,1都有|f(x),f(x)|?
22、4等价于f(x)在,1,1上的最大值与最小值之1221222差M?4. 据此分类讨论如下: b,?当1即|b|2时 ,2M,|f(1),f(,1)|,2|b|4与题设矛盾( 22b?当,1?,0即0b?2时 2bb2,M,f(1),f,，1?4恒成立( 22,22b?当0?,?1即,2?b?0时 2bb2,M,f(,1),f,1?4恒成立( 22,22综上可知,2?b?2. 11(某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a(3?a?5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9?x?11)时，一年的销售量为(12元2,x)万件( (1)求分公司一年的利润L(万元)
23、与每件产品的售价x的函数关系式; 2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a)( (2解 (1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L,(x,3,a)(12,x)x?9,11( 2(2)L(x),(12,x),2(x,3,a)(12,x) ,(12,x)(18，2a,3x)( 2令L,0得x,6，a或x,12(不合题意舍去)( 3228?3?a?5?8?6，a?. 332在x,6，a两侧L的值由正变负( 329所以?当8?6，a9即3?a时 322L,L(9),(9,3,a)(12,9),9(6,a), max2289?当9?6，a?即?a?5时
24、 332222123,，,，,L,L6，a,6，a,3,a12,6，a,43,a max,，,，,333399，6,a，3?a,2所以Q(a), ,193, 43,a?a?5.,329故若3?a0，则当x=时，；若a1时，判断f(x)在0,2m上零点的个数，并说明理由( 9.直角三角形变焦关系：x,m解 (1)f(x),e,1 令f(x),0得x,m. 4、根据学生的知识缺漏，有目的、有计划地进行补缺补漏。x,m故当x?(,?m)时e1f(x)1f(x)0f(x)单调递增( ?当x,m时f(m)为极小值也是最小值( 令f(m),1,m?0得m?1 即;即若对任意x?R有f(x)?0成立则m的取值范围是(,?1( (2)由(1)知f(x)在0,2m上至多有两个零点当m1时f(m),1,m0f(0)f(m)1时g(m),e,20 二次函数配方成则抛物线的?g(m)在(1，?)上单调递增 化简后即为： 这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。?g(m)g(1),e,20即f(2m)0. (二)知识与技能：?f(m)?f(2m)0?f(x)在(m,2m)上有一个零点( 故f(x)在0,2m上有两个零点(