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1、2014届江苏高三理科数学二轮复习解题技巧提炼专题检测：专题七 第4讲第4讲 不等式选讲 【高考考情解读】 本部分主要考查绝对值不等式的解法，求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点(从能力上主要考查学生的基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想(考查形式为解答题，难度中等(分值为10分( 1( 算术几何平均不等式 a，a，an12naa(a0，a0，a0)( ?a12n12nn2( 绝对值三角不等式 定理1 如果a，b是实数，则|a，b|?|a|，|
2、b|，当且仅当ab?0时，等号成立( 定理2 如果a，b，c是实数，那么|a,c|?|a,b|，|b,c|，当且仅当(a,b)?(b,c)?0时，等号成立( 3( 绝对值不等式的解法 (1)|x|a?,axa?xa或x,a. (2)|ax，b|?c?,c?ax，b?c，|ax，b|?c?ax，b?,c或ax，b?c. (3)|x,a|，|x,b|?c和|x,a|，|x,b|?c的解法有三种:?根据绝对值的意义结合数轴直观求解;?用零点分段法去绝对值，转化为三个不等式组求解;?构造函数，利用函数图象求解( 4( 证明不等式的基本方式 (1)比较法 作差或作商比较( (2)综合法 根据已知条件、不
3、等式的性质、基本不等式，通过逻辑推理导出结论( (3)分析法 执果索因的证明方法( (4)反证法 反设结论，导出矛盾( (5)放缩法 通过把不等式中的部分值放大或缩小的证明方法( (6)数学归纳法 证明与正整数有关的不等式( 5( 一般形式的柯西不等式 22222设a，a，a，a，b，b，b，b是实数，则(a，a，a)(b，b，123n123n12n1222b)?(ab，ab，ab)，当且仅当b,0(i,1,2，n)或存在一个数k，使得an1122nnii,kb(i,1,2，n)时，等号成立. i版权所有:中华资源库 考点一 含绝对值不等式的解法 例1 (2013?辽宁)已知函数f(x),|
4、x,a|，其中a,1. (1)当a,2时，求不等式f(x)?4,|x,4|的解集; (2)已知关于x的不等式|f(2x，a),2f(x)|?2的解集为x|1?x?2，求a的值( ,2x，6x?2,22,x,4解 (1)当a,2时f(x)，|x,4|, ,2x,6x?4.,当x?2时由f(x)?4,|x,4|得,2x，6?4解得x?1, 当2,x,4时f(x)?4,|x,4|无解, 当x?4时由f(x)?4,|x,4|得2x,6?4解得x?5, 所以f(x)?4,|x,4|的解集为x|x?1或x?5( (2)记h(x),f(2x，a),2f(x) ,2ax?0,4x,2a0,x,a则h(x),
5、,2ax?a.,a,1a，1由|h(x)|?2解得?x?. 22又已知|h(x)|?2的解集为x|1?x?2 a,1,1,2所以于是a,3. ,a，1 ,2,2(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤: ?求零点,?划区间、去绝对值号,?分别解去掉绝对值的不等式,?取每个结果的并集注意在分段时不要遗漏区间的端点值( (2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式使得代数问题几何化既通俗易懂又简洁直观是一种较好的方法( (2013?课标全国?)已知函数f(x),|2x,1|，|2x，a|，g(x),x，3. (1)当a,2时，求不等式f(x),1，且当x?时，f(x)?g(x)，求a的取值范围
6、( 22，,解 (1)当a,2时不等式f(x)g(x)化为|2x,1|，|2x,2|,x,30. 版权所有:中华资源库 设函数y,|2x,1|，|2x,2|,x,3 1,5xx1其图象如图所示由图象可知当且仅当x?(0,2)时y0 所以原不等式的解集是x|0x,1则, 22?f(x),|2x,1|，|2x，a| a,x,4x，1,a 2,a1,?x,a，1 ,22,1 ,x?4x，a,1 ,2,a1，,当x?时f(x),a，1 22，,a1，,即a，1?x，3在x?上恒成立( 22，,a4?a，1?,，3即a? 234,，,1?a的取值范围为. 3,，考点二 证明不等式 例2 已知a，b为正
7、实数( 22ab(1)求证:，?a，b; ba22，1,x，x(2)利用(1)的结论求函数y,，(0x0b0 2233abab22222,，?(a，b)，b，b，2ab,(a，b). ,a，?aba,ba22ab?，?a，b当且仅当a,b时等号成立( ba332222，b,ab,abaab方法二 ?，,(a，b), baab3223a,ab,，ab,b，, ab版权所有:中华资源库 22，a,b，,b，a,b，a, ab2,b，a，b，a,. ab2，a,b，a，b，又?a0b0?0 ab当且仅当a,b时等号成立( 22ab?，?a，b. ba(2)解 ?0x0 22，1,x，x由(1)的结
8、论函数y,，?(1,x)，x,1. x1,x1当且仅当1,x,x即x,时等号成立( 222，1,x，x?函数y,，(0x1)的最小值为1. x1,x(1)作差法应该是证明不等式的常用方法(作差法证明不等式的一般步骤:?作差,?分解因式,?与0比较,?结论(关键是代数式的变形能力( (2)注意观察不等式的结构利用基本不等式或柯西不等式或绝对值不等式的性质证明( (1)(2013?课标全国?)设a、b、c均为正数，且a，b，c,1，证明: 2221abc?ab，bc，ca?;?，?1. 3bca222222证明 ?由a，b?2abb，c?2bcc，a?2ac得 222a，b，c?ab，bc，ca.
9、 2由题设得(a，b，c),1 222即a，b，c，2ab，2bc，2ca,1. 1所以3(ab，bc，ca)?1即ab，bc，ca?. 3222abc?因为，b?2a，c?2b，a?2c bca222abc故，(a，b，c)?2(a，b，c) bca222222abcabc即，?a，b，c.所以，?1. bcabca115(2)(2012?江苏)已知实数x，y满足:|x，y|，|2x,y|，求证:|y|. 3618证明 因为3|y|,|3y|,|2(x，y),(2x,y)|?2|x，y|，|2x,y| 11由题设知|x，y|2x,y| 36版权所有:中华资源库 2155从而3|y|，,所以
10、|y|. 36618考点三 不等式的综合应用 例3 (1)(2013?陕西改编)已知a，b，m，n均为正数，且a，b,1，mn,2，求(am，bn)(bm，an)的最小值( 22222解 由柯西不等式(a，b)(c，d)?(ac，bd)当且仅当ad,bc时“,”成立得(am22，bn)(bm，an)?(am?an，bmbn),mn(a，b),2. 1112222(2)已知a，b，c均为正数，证明:a，b，c，(，)?63，并确定a，b，c为何abc值时，等号成立( 证明 方法一 因为abc均为正数由算术几何平均不等式得 2222a，b，c?3(abc) ? 31111，?3(abc), abc
11、311122所以(，)?9(abc),. ? abc3111222222故a，b，c，(，)?3(abc)，9(abc),. abc3322又3(abc)，9(abc),?227,63 ? 33所以原式成立( 当且仅当a,b,c时?式和?式等号成立( 22当且仅当3(abc),9(abc),时?式等号成立( 331故当且仅当a,b,c,3时原不等式等号成立( 4方法二 因为abc均为正数由算术几何平均不等式得 22a，b?2ab 22b，c?2bc 22c，a?2ac. 222所以a，b，c?ab，bc，ac. ? 111111同理，?， ? 222abcabbcac1112222故a，b，c
12、，(，) abc111222222,a，b，c， 222abcabbcac333?ab，bc，ac， abbcac版权所有:中华资源库 ?63. ? 所以原不等式成立( 222当且仅当a,b,c时?式和?式等号成立当且仅当a,b,c(ab),(bc),(ac),3时?式等号成立( 1故当且仅当a,b,c,3时原不等式等号成立( 4利用算术几何平均不等式或柯西不等式求最值时首先要观察式子特点构造出算术几何平均不等式或柯西不等式的结构形式其次要注意取得最值的条件是否成立( 已知函数f(x),|x,2|，|x,4|的最小值为m，实数a，b，c，n，p，q满足222222a，b，c,n，p，q,m.
13、 (1)求m的值; 444npq(2)求证:，?2. 222abc2x,6，x?4，,2，2x4，(1)解 方法一 f(x),|x,2|，|x,4|,可得函数的最小值为2.故m,2x，6，x?2，,2. 方法二 f(x),|x,2|，|x,4|?|(x,2),(x,4)|,2 当且仅当2?x?4时等号成立故m,2. 222222npqnpq2222222，,，,?a，?b，?c(2)证明 ，?(a，b，c)? abcabc，,，,444npq2222,，222即2?(n，p，q),4 abc,444npq故，?2. 222abc1( 对于带有绝对值的不等式的求解要掌握好三个方法:一个是根据绝对
14、值的几何意义借助于数轴的直观解法,二是根据绝对值的意义采用零点分区去绝对值后转化为不等式组的方法,三是构造函数通过函数图象的方法(要在解题过程中根据不同的问题情境灵活选用这些方法( 2( 使用绝对值三角不等式求最值很方便如|x，2|，|x,4|?|(x，2),(x,4)|,6. 3( 易错点:解绝对值不等式时忽视去掉绝对值的分界点,在使用算术几何平均不等式、柯西不等式求最值时忽视讨论等号成立的条件. 版权所有:中华资源库 1( 若不等式|x，1|，|x,3|?|m,1|恒成立，求m的取值范围( 解 ?|x，1|，|x,3|?|(x，1),(x,3)|,4 ?不等式|x，1|，|x,3|?|m
15、,1|恒成立 只需|m,1|?4即,3?m?5. 2( 设函数f(x),|x,3|，|x,a|，如果对任意x?R，f(x)?4，求a的取值范围( 解 若a,3则f(x),2|x,3|不满足题设条件, 若a3 ,2x，a，3 x?a,3,a ax3 ,2x，a，3 x?3,a,3 3x0. 所以m,2即实数m的取值范围为(,2，?)( (推荐时间:60分钟) 1( 若不等式|ax，2|4的解集为(,1,3)，求实数a的值( 解 由,4ax，24得,6ax0时,x与解集(,1,3)不符, aa26当a0时x,?a,2. aa故实数a的值为,2. 2( (2013?江西改编)在实数范围内，求不等式|
16、x,2|,1|?1的解集( 解 由|x,2|,1|?1得,1?|x,2|,1?1 ,|x,2|?0,解得0?x?4. ,|x,2|?2,?不等式的解集为0,4( 23( 不等式|x，3|，|x,1|?a,3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围( 解 由绝对值的几何意义知|x，3|，|x,1|的几何意义为数轴上点x到点,3,1的距离的和 则|x，3|，|x,1|的最小值为4 2?不等式|x，3|，|x,1|?a,3a对任意实数x恒成立 2只需a,3a?4解得,1?a?4. ?a的取值范围为,1,4( 14( 已知集合A,x?R|x，3|，|x,4|?9，B,x?R|x,4t，,6，t?(0，
17、?)，求集合tA?B. 解 由|x，3|，|x,4|?9 当x,3时,x,3,(x,4)?9即,4?x4时x，3，x,4?9即4x?5. 版权所有:中华资源库 综上所述A,x|,4?x?5( 1又?x,4t，,6t?(0，?) t11?x?24t?,6,2当且仅当t,时取等号( t2?B,x|x?,2?A?B,x|,2?x?5( 5( 已知关于x的不等式|x,1|，|x,a|?8的解集不是空集，求a的最小值( 解 |x,1|，|x,a|,|x,1|，|a,x|?|a,1|要使关于x的不等式不是空集则|a,1|?8?,7?a?9即a的最小值为,7. 1226( 设f(x),x,bx，c，不等式
18、f(x)f(1，t)，求实数t的取a值范围( 12解 ?x,bx，c0且,1,3是x,bx，c,0的两根( aa1ab2则函数f(x),x,bx，c图象的对称轴方程为x,1 a2且f(x)在1，?)上是增函数 2又?7，|t|?71,1，t?1 22则由f(7，|t|)f(1，t)得7，|t|1，t 2即|t|,|t|,60亦即(|t|，2)(|t|,3)0 ?|t|3即,3t3. 7( 设a，b，c为正数，且a，2b，3c,13，求3a，2b，c的最大值( 解 由柯西不等式可知 1，,，2222(a，2b，3c)?，3，1，?(3a，2b，c) 3，,，?a，2b，3c,13 1692?(3
19、a，2b，c)? 3133?3a，2b，c? 3a2b3c当且仅当,时取等号 1133又?a，2b，3c,13 31?a,9b,c,时 23版权所有:中华资源库 1333a，2b，c取得最大值. 331*8( (2013?福建)设不等式|x,2|a(a?N)的解集为A，且?A，?A， 22(1)求a的值; (2)求函数f(x),|x，a|，|x,2|的最小值( 31解 (1)因为?A且?A 2231,2,2所以a且?a 22,13*解得0; (2)若f(x)，3|x,4|m对一切实数x均成立，求m的取值范围( 解 (1)当x?4时由f(x),2x，1,(x,4),x，50得x,5所以x?4,
20、 1当,?x0 2得x1所以1x4, 1当x0 2得x,5所以x1或x,5( 1(2)f(x)，3|x,4|,|2x，1|，2|x,4|?|2x，1,2x，8|,9当,?x?4时等号成立(所以2m9. 故m的取值范围是(,?9)( 11110(设a，b，c均为正实数，求证:，abc?23. 333abc证明 因为abc是正实数由算术几何平均不等式可得 3111111，?3? 333333abcabc1113即，?. 333abcabc1113所以，abc?，abc. 333abcabc版权所有:中华资源库 2、100以内的进位加法和退位减法。33而，abc?2?abc,23 abcabc11
21、1所以，abc?23 333abc6当且仅当a,b,c,3时取等号( 互余关系sinA=cos(90A)、cosA=sin(90A)11(已知f(x),|x，1|，|x,1|，不等式f(x)4的解集为M. (1)求M; （1) 与圆相关的概念：(2)当a，b?M时，证明:2|a，b|4，ab|. 面对新的社会要求，教师与学生应首先走了社会的前边，因此我们应该以新课标要求为指挥棒，采用所有可行的措施，尽量体现以人为本，培养学生创新，开放的思维方式。另一方面注意处理好内容与思想的衔接，内容要在学生上学期的水平之上发展并为以后学习打下基础，思想上注意新思维与我国传统的教学思想结合,2xx1.,弦和直
22、径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。当x,1时由,2x4得,2x,1, 当,1?x?1时f(x),21时由2x4得1x2. 7.三角形的外接圆、三角形的外心。?综上可得,2x2即M,(,2,2)( 锐角A的正弦、余弦和正切都是A的三角函数当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。(2)证明 ab?M即,2a2,2b2 （1）二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一22222222?4(a，b),(4，ab),4(a，2ab，b),(16，8ab，ab),(a,4)(4,b)0 2、第三单元“生活中的数”。通过数铅笔等活动，经历从具体情境中抽象出数的模型的过程，会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。22?4(a，b)(4，ab) ?2|a，b|4，ab|. 1.圆的定义：版权所有:中华资源库