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1、2014届江苏高三理科数学二轮复习解题技巧提炼专题检测：专题五第1讲第1讲 直线与圆 【高考考情解读】 本讲考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题(直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中等，一般以填空题的形式出现，有时也会出现解答题，多考查其几何图形的性质或方程知识( 1( 直线方程的五种形式 (1)点斜式:y,y,k(x,x)(直线过点P(x，y)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y11111轴的直线)( (2)斜截式:y,kx，b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)( y,yx,x11(3)两点式:,(直线过点P(x，y)，P
2、(x，y)，且x?x，y?y，不包括1112221212y,yx,x2121坐标轴和平行于坐标轴的直线)( xy(4)截距式:，,1(a、b分别为直线的横、纵截距，且a?0，b?0，不包括坐标轴、ab平行于坐标轴和过原点的直线)( (5)一般式:Ax，By，C,0(其中A，B不同时为0)( 2( 直线的两种位置关系 当不重合的两条直线l和l的斜率存在时: 12(1)两直线平行l?l?k,k. 1212(2)两直线垂直l?l?k?k,1. 1212提醒 当一条直线的斜率为0另一条直线的斜率不存在时两直线也垂直此种情形易忽略( 3( 三种距离公式 22(1)A(x，y)，B(x，y)两点间的距离:
3、AB,，x,x，y,y，. 11222121|Ax，By，C|00(2)点到直线的距离:d,(其中点P(x，y)，直线方程为:Ax，By，C,0)( 0022A，B,C|C21(3)两平行线间的距离:d,(其中两平行线方程分别为l:Ax，By，C,0.l:11222A，BAx，By，C,0)( 2提醒 应用两平行线间距离公式时注意两平行线方程中xy的系数应对应相等( 4( 圆的方程的两种形式 222(1)圆的标准方程:(x,a)，(y,b),r. 2222(2)圆的一般方程:x，y，Dx，Ey，F,0(D，E,4F0)( 5( 直线与圆、圆与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系:相交、相切、
4、相离，代数判断法与几何判断法( (2)圆与圆的位置关系:相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法. 考点一 直线的方程及应用 例1 (1)过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是_( :(a,2)x，3y，2a,0平行，则l与l间的距离为_( (2)若直线l:x，ay，6,0与l212182答案 (1)2x，y,12,0或2x,5y,0 (2) 3xy解析 (1)当直线过原点时方程为2x,5y,0不过原点时可设出其截距式为，,1a2a再由过点(5,2)即可解出2x，y,12,0. (2)由l?l 122知3,a(a,2)且2a?6(a,2)2a?18 求得a,1 2,
5、6,23所以l:x,y，6,0l:x,y，,0两条平行直线l与l间的距离为d,12122231，,1，82,. 3(1)要注意几种直线方程的局限性(点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直(而截距式方程不能表示过原点的直线也不能表示垂直于坐标轴的直线( (2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件即“斜率相等”或“互为负倒数”(若出现斜率不存在的情况可考虑用数形结合的方法去研究( (1)直线l:kx，(1,k)y,3,0和l:(k,1)x，(2k，3)y,2,0互相垂直，12则k,_. (2)过点(1,0)且倾斜角是直线x,2y,1,0的倾斜角的两倍的直
6、线方程是_( 答案 (1),3或1 (2)4x,3y,4,0 解析 (1)?l?l?k(k,1)，(1,k)(2k，3),0 12,1.?k,3或1. 解得k,3k12(2)设直线x,2y,1,0的倾斜角为则所求直线的倾斜角为2. 1由已知得tan , 2122tan 24则tan 2, 21,tan1321,，24所以所求直线方程为y,0,(x,1) 3即4x,3y,4,0. 考点二 圆的方程及应用 例2 (1)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上(直线l:y,x,1被圆C所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为_( 22(2)已知A(,2,0)，B(0,2)，实数
7、k是常数，M，N是圆x，y，kx,0上两个不同点，P22是圆x，y，kx,0上的动点，如果M，N关于直线x,y,1,0对称，则?PAB面积的最大值是_( 答案 (1)x，y,3,0 (2)3，2 解析 (1)设圆心坐标为(x0)(x0)由于圆过点(1,0)则半径r,|x,1|.圆心到直线l0,00|x,1|x,1|00,222的距离为d,.由弦长为22可知,(x,1),2整理得(x,1),4. ,00,22?x,1,?2?x,3或x,1(舍去)( 000因此圆心为(3,0)由此可求得过圆心且与直线y,x,1垂直的直线方程为y,(x,3)即x，y,3,0. kk22(2)依题意得圆x，y，kx,
8、0的圆心(,0)位于直线x,y,1,0上于是有,1,220即k,2因此圆心坐标是(1,0)半径是1.由题意可得AB,22直线AB的方程|1,0，2|xy32是，,1即x,y，2,0圆心(1,0)到直线AB的距离等于,点P,222232，2321到直线AB的距离的最大值是，1?PAB面积的最大值为22,3，2. 222圆的标准方程直接表示出了圆心和半径而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系在求解圆的方程时要根据所给条件选取适当的方程形式(解决与圆有关的问题一般有两种方法:(1)几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系进而求得圆的基本量和方程,(2)代数法即用待定系数法先设出圆
9、的方程再由条件求得各系数( 22 (1)已知圆C:x，(y,3),4，过点A(,1,0)的直线l与圆C相交于P、Q两点，若PQ,23，则直线l的方程为_( 2(2)已知圆C的圆心与抛物线y,4x的焦点关于直线y,x对称，直线4x,3y,2,0与圆C相交于A，B两点，且AB,6，则圆C的方程为_( 22答案 (1)x,1或4x,3y，4,0 (2)x，(y,1),10 解析 (1)当直线l与x轴垂直时易知x,1符合题意, 当直线l与x轴不垂直时设直线l的方程为y,k(x，1)线段PQ的中点为M由于PQ,23易得CM,1. |,3，k|44又CM,1解得k,此时直线l的方程为y,(x，1)(故所求
10、直线l的方233k，1程为x,1或4x,3y，4,0. 2(2)设所求圆的半径是r依题意得抛物线y,4x的焦点坐标是(1,0)则圆C的圆心0,31,2|4AB222坐标是(0,1)圆心到直线4x,3y,2,0的距离d,1则r,d，()2224，,3，22,10故圆C的方程是x，(y,1),10. 考点三 直线与圆、圆与圆的位置关系 例3 (2013?江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y ,2x,4.设圆C的半径为1，圆心在l上( (1)若圆心C也在直线y,x,1上，过点A作圆C的切线，求切线的 方程; (2)若圆C上存在点M，使MA,2MO，求圆心C的横坐标a的取值
11、范围( 解 (1)由题设圆心C是直线y,2x,4和y,x,1的交点解得点C(3,2) 于是切线的斜率必存在( 设过A(0,3)的圆C的切线方程为y,kx，3 |3k，1|3由题意,1解得k,0或, 24k，1故所求切线方程为y,3或3x，4y,12,0. (2)因为圆心在直线y,2x,4上所以圆C的方程为 22(x,a)，y,2(a,2),1. 222222设点M(xy)因为MA,2MO所以x，y,3，,2 x，y化简得x，y，2y,322,0即x，(y，1),4所以点M在以D(0,1)为圆心2为半径的圆上( 由题意点M(xy)在圆C上所以圆C与圆D有公共点则2,1?CD?2，1 22即1?a
12、，2a,3，?3. 2由5a,12a，8?0得a?R, 122由5a,12a?0得0?a?. 512，所以点C的横坐标a的取值范围为0. ，5(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时要注意数形结合充分利用圆的几何性质寻找解题途径减少运算量(研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现两个圆的位置关系判断依据两个圆心距离与半径差与和的比较( (2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式所以求切线方程时主要选择点斜式(通过过圆外一点的圆的切线条数可以判断此点和圆的位置关系(过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离利用勾股定理处理(
13、2 (1)(2013?江西改编)过点(2，0)引直线l与曲线y,1,x相交于A、B两点，当?AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于_( O为坐标原点，2222(2)(2013?重庆改编)已知圆C:(x,2)，(y,3),1，圆C:(x,3)，(y,4),9，M，N12分别是圆C，C上的动点，P为x轴上的动点，则PM，PN的最小值为_( 1222(3)(2013?山东改编)过点P(3,1)作圆(x,1)，y,1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为_，?PAB的外接圆方程为_( 31522答案 (1), (2)52,4 (3)2x，y,3,0 (x,2)，(y,), 3241解析 (
14、1)?S,OA?OB?sin?AOB ?AOB211,sin?AOB?. 22当?AOB,时S面积最大( ?AOB22此时O到AB的距离d,. 2设AB方程为y,k(x,2)(k0)上有且只有两个点到直线x,y,2,0的距离为1，则实数r的取值范围是_( 答案 (2,1，2，1) 解析 注意到与直线x,y,2,0平行且距离为1的直线方程分别是x,y,2，2,0、x,y,2,2,0要使圆上有且只有两个点到直线x,y,2,0的距离为1需满足在两条直线x,y,2，2,0、x,y,2,2,0中一条与该圆相交且另一条与该圆相离|2,2|,2,2|所以r即2,1r2，1. 22222( 过点O(0,0)作
15、直线与圆C:(x,45)，(y,8),169相交，在弦长均为整数的所有直线中，等可能地任取一条直线，则弦长不超过14的概率为_( 9答案 32解析 已知圆C的半径为13C(458) 22?CO,，45，8,1213 ?O点在圆C的内部且圆心到直线的距离d?0,12 22?直线截圆所得的弦长AB,2r,d?10,26其中最短和最长的弦各有一条长为11到25的整数的弦各有两条共有32条其中弦长不超过14的有1，8,9(条) 9?所求概率P,. 32(推荐时间:70分钟) 一、填空题 21( “a,0”是“直线l:(a，1)x，ay,3,0与直线l:2x，ay,2a,1,0平行”的_12条件( 答案
16、 充要 解析 当a,0时l:x,3,0l:2x,1,0 12此时l?l所以“a,0”是“直线l与l平行”的充分条件( 12122当l?l时a(a，1),2a,0解得a,0或a,1. 12当a,1时l:2x，y,3,0l:2x，y,3,0 12此时l与l重合所以a,1不满足题意即a,0. 12所以“a,0”是“直线l?l”的必要条件( 122( 已知两条直线ax，by，1,0和ax，by，1,0都过点A(1,2)，则过两点P(a，b)，1122111P(a，b)的直线方程为_( 222答案 x，2y，1,0 解析 因为两条直线经过点A(1,2) 所以a，2b，1,0a，2b，1,0 1122由于
17、P(ab)P(ab)都适合方程x，2y，1,0 111222故所求直线方程为x，2y，1,0. 22( (2013?广东改编)垂直于直线y,x，1且与圆x，y,1相切于第一象限的直线方程是3_( 答案 x，y,2,0 解析 与直线y,x，1垂直的直线设为:x，y，b,0. |b|则,r,1所以|b|,2又相切于第一象限 2所以b,2. 4( 已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1?2，则圆C的方程为_( 3422答案 x，(y?), 332解析 由已知圆心在y轴上且被x轴所分劣弧所对圆心角为设圆心(0a)半径3为r 则rsin ,1rcos ,|a| 332432解得
18、r,即r,|a|, 33333422即a,?故圆C的方程为x，(y?),. 333225( 设P为直线3x，4y，3,0上的动点，过点P作圆C:x，y,2x,2y，1,0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为_( 答案 3 22解析 依题意圆C:(x,1)，(y,1),1的圆心是点C(1,1)半径是1易知PC的最10小值等于圆心C(1,1)到直线3x，4y，3,0的距离即,2而四边形PACB的面积等512于2S,2(PA?AC),PA?AC,PA,PC,1因此四边形PACB的面积的最小值是?PAC222,1,3. 2222226( 两个圆C:x，y，2ax，a,4,0(
19、a?R)与C:x，y,2by,1，b,0(b?R)恰有三条12公切线，则a，b的最小值为_( 答案 ,32 22解析 两个圆恰有三条公切线则两圆外切两圆的标准方程为圆C:(x，a)，y,4 122圆C:x，(y,b),1 222所以CC,a，b,2，1,3 1222即a，b,9. 22a，b，ba22由()?18所以,32?a，b?32当且仅当“a,b”时取得(a，b)22“,”( 227( 已知直线l与圆x，y，2y,0相切，且与直线l:3x，4y,6,0平行，则直线l的方121程是_( 答案 3x，4y,1,0或3x，4y，9,0 22解析 依题意设所求直线l的方程是3x，4y，b,0则由
20、直线l与圆x，(y，1),111|b,4|相切可得圆心(0,1)到直线3x，4y，b,0的距离为1即有,1解得b,15或b,9.因此直线l的方程是3x，4y,1,0或3x，4y，9,0. 1228( (2013?山东)过点(3,1)作圆(x,2)，(y,2),4的弦，其中最短弦的长为_( 答案 22 解析 由题意知当弦的中点与圆心的连线与弦垂直时弦长最短此 时点(3,1)为弦的中点如图所示( 22?AB,2BE,2BC,CE, 24,2,22. 2229( 若直线l:ax，by，1,0始终平分圆M:x，y，4x，2y，1,0的周长，则(a,2)，(b2,2)的最小值为_( 答案 5 解析 由题
21、意知圆心坐标为(,2,1) ?,2a,b，1,0 22?，a,2，b,2，表示点(ab)与(2,2)的距离 |4，2,1|22?，a,2，b,2，的最小值为,5 4，122?(a,2)，(b,2)的最小值为5. 2210(2013?湖北)已知圆O:x，y,5，直线l:xcos ，ysin ,1(00即m0 ?PA,AB ?A为PB的中点?x,2x. BA4,6kx，x,AB21，k? ,8 xx,AB2,1，k4,6kx,A23，1，k，即 ,42x,. A2,1，k5解得k,满足0 12?直线l的方程为5x，12y,24,0. 综上所述直线l的方程为x,0或5x，12y,24,0. 2213
22、(已知点P是圆F:(x，3)，y,16上任意一点，点F与F关于原点对称(线段PF1212的中垂线与PF交于M点( 1(1)求点M的轨迹C的方程; (2)设轨迹C与x轴的左、右两个交点分别为A，B，点K是轨迹C上异于A，B的任意一点，KH?x轴，H为垂足，延长HK到点Q使得HK,KQ，连结AQ并延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D，N为DB的中点(试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系( 解 (1)由题意得F(,30)F(30)圆F的半径为4且MF,MP 1212(4)直线与圆的位置关系的数量特征:从而MF，MF,MF，MP,4FF 12112,23. 其中点在圆上的数量特征是重点，它可用
23、来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。?点M的轨迹是以F、F为左、右焦点的椭圆其中长轴长2a,4焦距2c,2312本册教材在第五单元之后安排了一个大的实践活动，即“分扣子”和“填数游戏”。旨在综合运用所学的知识，从根据事物的非本质的、表面的特征把事物进行分类，发展到根据客观事物抽象、本质的特征进行不同方式的分类，促进孩子逻辑思维能力的发展。同时，安排学生填数游戏，旨在对孩子的口算能力、逻辑思维能力和观察能力的训练，感受数学的乐趣!22则短半轴长b,a,c,4,3,1 2x2?点M的轨迹C的方程为,1. ，y4(2)如图设K(xy) 00(4)面积公式:(hc为C边上的
24、高);2x02则,1. ，y041、熟练计算20以内的退位减法。?HK,KQ?Q(x2y)( 0,022?OQ,x，2y，,2 00?Q点在以O为圆心2为半径的圆上即Q点在以AB为直径的圆O上( y20又A(,2,0)?直线AQ的方程为y,(x，2)( x，208y0令x,2得D(2)( x，20tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。又B(2,0)N为DB的中点 4y0?N(2)( x，202xy?00?OQ,(x2y)NQ,(x,2)( 0,00x，205、多一份关心、帮助，努力发现他们的闪光点，多鼓励、表扬他们，使其体验成功、努力学习。y2x?00?OQ?NQ,x(x,2)，2y? 000x，202y4x00,x(x,2)， 00x，20（2）抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：2x，4,x，00,x(x,2)， 00x，20圆内接四边形的性质: 圆内接四边形的对角互补;,x(x,2)，x(2,x),0. 0000一年级下册数学教学工作计划?OQ?NQ.?直线QN与圆O相切(