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1、2014届江苏高三理科数学二轮复习解题技巧提炼专题检测：专题六第3讲第3讲 统 计 【高考考情解读】 1.该部分常考内容:样本数字特征的计算、各种统计图表，有时也会在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.2.从考查形式上来看，大部分为填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中低档题( 1( 随机抽样 (1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围:总体中的个体较少( (2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围:总体中的个体数较多( (3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围:总体由差异明显的几部
2、分组成( 2( 常用的统计图表 (1)频率分布直方图 频率?小长方形的面积,组距,频率; 组距?各小长方形的面积之和等于1; 频率1?小长方形的高,，所有小长方形的高的和为. 组距组距(2)茎叶图 在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好( 3( 用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 取最高的小长方形底边中点众数 出现次数最多的数据 的横坐标 将数据按大小依次排列，处在最把频率分布直方图划分左右中位数 中间位置的一个数据(或最中间两个面积相等的分界线与x两个数据的平均数) 轴交点的横坐标 每个小矩形的面积乘以小矩平均数 样本数据
3、的算术平均数 形底边中点的横坐标之和 12222(2)方差:s,(x,x)，(x,x)，(x,x)( 12nn标准差: 1222s,，x,x，x,x，x,x，. 12nn考点一 抽样方法 例1 (2012?山东改编)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间1,450的人做问卷A，编号落入区间451,750的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为_( 答案 10 960解析 由系统抽样的特点知:抽取号码的间隔为,30抽取的号码依次为329,39,69
4、939.落入区间451,750的有459,489729这些数构成首项为459公差为30的等差数列设有n项显然有729,459，(n,1)30解得n,10.所以做问卷B的有10人( 在系统抽样的过程中要注意分段间隔需要抽取几个个体样本就需要分N成几个组则分段间隔即为(N为样本容量)首先确定在第一组中抽取的个体的号码n数再从后面的每组中按规则抽取每个个体(解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围(但无论哪种抽样方法每一个个体被抽到的概率都是相等的都等于样本容量和总体容量的比值( (1)(2013?江西改编)总体由编号为01,02，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5
5、个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为_. 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 (2)某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本(用系统抽样法，将全体职工随机按1,200编号，并按编号顺序平均分为40组(1,5号，6,10号，196,200号)(若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是_(若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取_人( 答案 (1)01 (2)3
6、7 20 解析 (1)从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为:08,02,14,07,01所以第5个个体编号为01. (2)由分组可知抽号的间隔为5又因为第5组抽出的号码为22即第n组抽取的号码为5n,3所以第8组抽出的号码为37,40岁以下年龄段的职工数为2000.5,10040则应抽取的人数为100,20人( 200考点二 用样本估计总体 例2 (2012?广东)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100( (1)求图中a的值; (2)根据频率分布直方图，估计这100
7、名学生语文成绩的平均分; (3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在50,90)之外的人数. 分数段 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) x?y 1?1 2?1 3?4 4?5 解 (1)由频率分布直方图知(2a，0.02，0.03，0.04)10,1解得a,0.005. (2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为550.00510，650.0410，750.0310，850.0210，950.00510,73(分)( (3)由频率分布直方图知语文成绩在50,60)60,70)70,80)8
8、0,90)各分数段的人数依次为0.00510100,5 0(0410100,40,0.0310100,30,0.0210100,20. 14由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40,20,30,23540,20,25. 4故数学成绩在50,90)之外的人数为 100,(5，20，40，25),10(人)( (1)在频率分布直方图中估计中位数和平均数的方法 ?中位数:在频率分布直方图中中位数左边和右边的直方图的面积应该相等( ?平均数:在频率分布直方图中平均数等于图中每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和( (2)平均数反映了数据取值的平均水平标准差、方差描述了一组
9、数据波动的大小(标准差、方差越大数据的离散程度越大越不稳定,标准差、方差越小数据的离散程度越小越稳定( (1)(2012?陕西改编)从甲、乙两个城市分别随机抽 取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶 设甲、乙两组数据的平均数分别为x、 图表示(如图所示)(甲x，中位数分别为m、m，则下列结论正确的是 乙甲乙_(填序号) ?xm 甲乙甲乙?xx，mx，mm 甲乙甲乙?xx，mm 甲乙甲乙(2)(2013?江苏)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环)，结果如下: 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91
10、88 92 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_( 答案 (1)? (2)2 解析 (1)直接利用公式求解( 1345x,(41，43，30，30，38，22，25，27，10，10，14，18，18，5，6，8), 甲16161x,(42，43，48，31，32，34，34，38，20，22，23，23，27，10，12，18),乙16457. 16?xx又?m,20m,29?mm 甲乙(甲乙甲乙(1(2)x,(87，91，90，89，93),90 甲51x,(89，90，91，88，92),90 乙51222222s,(87,90)，(91,90)，(90,90)，(89,
11、90)，(93,90),4 甲51222222s,(89,90)，(90,90)，(91,90)，(88,90)，(92,90),2. 乙5考点三 概率与统计的综合问题 例3 在“2012魅力新安江”青少年才艺表演评比活动中，参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如图，据此回答以下问题: (1)求参赛总人数和频率分布直方图中80,90)之间的矩形的高，并完成直方图; (2)若要从分数在80,100之间任取两份进行分析，在抽取的结果中，求至少有一份分数在90,100之间的概率( 解 (1)由茎叶图知分数在50,60)之间的频数为2. 由频率分布直方图知分数在50,60
12、)之间的频率为 0(00810,0.08. 2所以参赛总人数为,25(人)( 0.08分数在80,90)之间的人数为25,2,7,10,2,4(人) 4分数在80,90)之间的频率为,0.16 250.16得频率分布直方图中80,90)间矩形的高为,0.016. 10完成直方图如图( (2)将80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4,90,100之间的2个分数编号为5和6. 则在80,100之间任取两份的基本事件为(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,4)(3,5)(3,6)(4,5)(4,6)(5,6)共15个 其中至少有一个在
13、90,100之间的基本事件为(1,5)(1,6)(2,5)(2,6)(3,5)(3,6)(4,5)(4,6)(5,6)共9个( 93故至少有一份分数在90,100之间的概率是,. 155本题以概率和统计知识为结合点以生活中的热点问题为背景较全面的考查了学生用概率统计知识解决实际问题的能力(在求解(1)时充分利用了茎叶图和频率分布直方图提供数据的互补性即切实理解两统计方式提供数据的特征是求解本题的关键( 右面茎叶图记录了甲组四名同学、乙组六名同学的植树棵 数(乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x表示( (1)如果x,7，求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (2)如果x,8，分别从甲、乙
14、两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数大于17的概率( 7，7，8，10，11，11解 (1)平均数为,9 62222，7,9，2，8,9，10,9，11,9，2方差为,3. 6(2)由题知所有基本事件为(6,7)(6,8)(6,8)(6,10)(6,11)(6,11)(7,7)(7,8)(7,8)(7,10)(7,11)(7,11)(8,7)(8,8)(8,8)(8,10)(8,11)(8,11)(10,7)(10,8)(10,8)(10,10)(10,11)(10,11)共24个( 这两名同学的植树总棵数大于17的基本事件为(7,11)(7,11)(8,10)(8,11)(8,1
15、1)(10,8)(10,8)(10,10)(10,11)(10,11)共10个( 105所以这两名同学的植树总棵数大于17的概率为,. 24121( 三种抽样方法的异同点 2( 用样本估计总体 (1)在频率分布直方图中各小长方形的面积表示相应的频率各小长方形的面积的和为1. (2)众数、中位数及平均数的异同 众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量平均数是最重要的量( (3)当总体的个体数较少时可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布,当总体容量很大时通常从总体中抽取一个样本分析它的频率分布以此估计总体分布( n1?总体期望的估计计算样本平均值x,?x. i,ni1?总体方差(标
16、准差)的估计: n1222s,? (x,x)标准差s,s i,ni1方差(标准差)较小者较稳定. 1( 经问卷调查，某班学生对摄影分别持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的学生比持“不喜欢”的学生多12人，按分层抽样的方法(抽样过程中不需要剔除个体)从全班选出部分学生进行关于摄影的座谈(若抽样得出的9位同学中有5位持“喜欢”态度的同学，1位持“不喜欢”态度的同学和3位持“一般”态度的同学，则全班持“喜欢”态度的同学人数为_( 答案 30 解析 由题意设全班学生为x人持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”态度的学生分别51111占全班人数的、所以x(,),12解得x,54所以全
17、班持“喜欢”态度的人993395数为54,30. 92( 某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段40,50)，50,60)，90,100后得到如图的频率分布直方图，请你根据频率分布直方图中的信息，估计出本次考试数学成绩的平均分为_( 答案 71 解析 由频率分布直方图得每一组的频率依次为0.1,0.15,0.15,0.3,0.25,0.05又由频率分布直方图得每一组数据的中点值依次为45,55,65,75,85,95. 所以本次考试数学成绩的平均分为x,450.1，550.15，650.15，750.3，850.25，950.05,71. 故填7
18、1. 3( 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单 位:cm)，获得身高数据的茎叶图如图( (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差; (3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率( (1)由茎叶图可知:甲班身高集中于160 cm，179 cm之间而乙班身高集中于170 解cm，180 cm之间因此乙班平均身高高于甲班其中 158，162，163，168，168，170，171，179，179，182x, 甲10,170 159，162，165，168，170，173，176，178
19、，179，181x, 乙10,171.1. 12222(2)甲班的样本方差为(158,170)，(162,170)，(163,170)，(168,170)，(168,10222222170)，(170,170)，(171,170)，(179,170)，(179,170)，(182,170),57.2. 学被抽中的事件为A. (3)设身高为176 cm的同从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有:(181,173)、(181,176)、(181,178)、(181,179)、(179,173)、(179,176)、(179,178)、(178,173)、(178,176)、(17
20、6,173)共10个基本事件而事件A含有4个基本事件 42?P(A),. 105(推荐时间:45分钟) 一、填空题 1( 要完成下列两项调查:?从某肉联厂的火腿肠生产线上抽取1 000根火腿肠进行“瘦肉精”检测;?从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况(适合采用的抽样方法依次为_，_. 答案 系统抽样 简单随机抽样 解析 ?中总体容量较大且火腿肠之间没有明显差异故适合采用系统抽样,?中总体容量偏小故适合采用简单随机抽样( 2( (2012?四川改编)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查(假设四个社区驾驶员的总人数
21、为N，其中甲社区有驾驶员96人(若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为_( 答案 808 12解析 由题意知抽样比为而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12，21，25，43,96101 12101故有,解得N,808. 96N3( 一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列a，若a,8，n3且a，a，a成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是_( 137答案 13,13 2解析 设等差数列a的公差为d(d?0)a,8aa,a,64(8,2d)(8，4d),64n31732(4,d)(2，d),8,2d,d,0又
22、d?0故d,2故样本数据为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，4，22，512，14样本的平均数为,13中位数为,13. 1024( 将某班的60名学生编号为:01,02，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是_( 答案 16,28,40,52 解析 依据系统抽样方法的定义知将这60名学生依次按编号每12人作为一组即01，12、13，24、49，60当第一组抽得的号码是04时剩下的四个号码依次是16,28,40,52(即其余每一小组所抽出来的号码都是相应的组中的第四个号码)( 8( 某校高三考生参加某高校自主招生面试时
23、，五位评委给分如下: 9(0 9.1 8.9 9.2 8.8 则五位评委给分的方差为_( 答案 0.02 解析 评委给分的平均数为 1(9.0，9.1，8.9，9.2，8.8),9.0 510.122222方差为(9.0,9.0)，(9.1,9.0)，(8.9,9.0)，(9.2,9.0)，(8.8,9.0),0.02. 556( (2012?广东)由正整数组成的一组数据x，x，x，x，其平均数和中位数都是2，且标准1234差等于1，则这组数据为_(从小到大排列) 答案 1,1,3,3 解析 假设这组数据按从小到大的顺序排列为xxxx 1234x，x，x，x1234,2,4x，x,414,则
24、? , ,x，xx，x,4.,2323 ,2,212222又s,，x,2，x,2，x,2，x,2， 1234412222,，x,2，x,2，4,x,2，4,x,2， 12212122,2，x,2，x,2，,1 12222?(x,2)，(x,2),2. 1222同理可求得(x,2)，(x,2),2. 3422由xxxx均为正整数且(xx)(xx)均为圆(x,2)，(y,2),2上的点12341234分析知xxxx应为1,1,3,3. 12347( 某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图所示(记分员在去掉一个最高分和一个最低分 后，算得平均分为91，复核员
25、在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若 记分员计算无误，则数字x应该是_( 答案 1 89，89，92，93，92，91，94640解析 当x?4时,?91 7789，89，92，93，92，91，x，90?x4?,91 7?x,1. 二、解答题 8( (2013?陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下: 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 (1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人(请将其余各组抽取的
26、人数填入下表. 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 6 (2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率( 解 (1)由题设知分层抽样的抽取比例为6%所以各组抽取的人数如下表: 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 3 6 9 9 3 (2)记从A组抽到的3位评委为aaa其中aa支持1号歌手,从B组抽到的612312位评委为bbbbbb其中bb支持1号歌手(从aaa和b123456121231bbbbb中各抽取1人的所有结果为:
27、23456三三角函数的计算由以上树状图知所有结果共18种其中2人都支持1号歌手的有abababab1112212230 o45 o60 o42共4种故所求概率P,. 189当a0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。9( 某工厂有120名工人，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按20,30)、30,40)、40,50)、50,60)分组，其频率分布直方图如图所示(工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每名工人都要参加A、B两项培训，培训结束后进行结业考试(已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示(假设两项培训是相互独立的
28、，结业考试也互不影响( 5.二次函数与一元二次方程年龄分组 A项培训成绩优秀人数 B项培训成绩优秀人数 （7）二次函数的性质：20,30) 30 18 30,40) 36 24 一锐角三角函数40,50) 12 9 50,60 4 3 10.三角函数的应用(1)若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为40的样本，求各年龄段应分别抽取的人数; (2)随机从年龄段20,30)和30,40)内各抽取1人，设这两人中A、B两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的概率分布和数学期望( (一)教学重点解 (1)由频率分布直方图知在年龄段20,30)、30,40)、40,50)、50,60内的人数的频率
29、分别为0.35,0.4,0.150.10. ?0.3540,14,0.440,16,0.1540,6,0.140,4 ?在年龄段20,30)、30,40)、40,50)、50,60内应抽取的人数分别为14,16,6,4. (2)?在年龄段20,30)内的工人数为1200.35,42(人)从该年龄段任取1人由表知305,B项培训结业考试成绩优秀的概率为此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为4271835315,?此人A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为,. 4277749?在年龄段30,40)内的工人数为1200.4,48(人)从该年龄段任取1人由表知此36324人A项培训结业考试成绩优秀的概率为,B项培训结业考试成绩优秀的概率为484481, 2313?此人A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为,. 428由题设知X的可能取值为0,1,2 5?P(X,0),(1,)(1,),P(X,1),(1,)，(1,),P(X,2),45, 8392?X的概率分布为 推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等。X 0 1 2 8517745P 196392392X的数学期望为 125.145.20加与减（三）4 P68-748517745267E(X),0，1，2,. 196392392392