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1、2014届江苏高三理科数学二轮复习解题技巧提炼专题检测：专题五第3讲第3讲 圆锥曲线中的热点问题 【高考考情解读】 纵观近几年高考，解析几何是重要内容之一，所占分值在30分以上，大题小题同时有，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题.1.填空题主要考查圆锥曲线的几何性质，三种圆锥曲线都有可能涉及.2.在解答题中主要考查圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定点、定值及最值、范围问题( 1( 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法: 将直线方程
2、与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程(若0，则直线与椭圆相交;若,0，则直线与椭圆相切;若0时，直线与双曲线相交;当,0时，直线与双曲线相切;当AB,2 22xy由椭圆定义得点R的轨迹方程为，,1. 43(2)设M(xy)则N(,x,y)QMQN的斜率分别为kk 0000QMQNyy00则k,k QMNQx,2x，200yy00所以直线QM的方程为y,(x,2)直线QN的方程为y,(x,2)( x,2x，200yy00令x,t(t?2)则y,(t,2)y(t,2) 12x,2x，20022xy322又点M(xy)在椭圆,3,x. ，,1上所以y0000434322,3,x，t,
3、2，20,y402所以y?y,(t,2), 1222x,4x,40032,(t,2)其中t为常数且t?2. 4(1)求轨迹方程时先看轨迹的形状能否预知若能预先知道轨迹为圆锥曲线则可考虑用定义法或待定系数法求解( (2)当曲线上动点的坐标受到另外一些点的坐标制约时可以用相关点法利用相关点法求解曲线方程需要注意两个方面:一是准确定位即确定联动点动点的轨迹可能与多个动点相关但要抓住与其一起联动的点,二是找准关系即根据已知准确求出动点与其联动点的坐标之间的关系然后代入联动点所在曲线方程求解( ? 设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且MN,2MP，PM?PF. (1)当点P在y轴上运动时，求点
4、N的轨迹C的方程; ?(2)设A(x，y)，B(x，y)，D(x，y)是曲线C上的点，且|AF|，|BF|，|DF|成等差数列，112233当AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)时，求B点坐标( y?解 (1)设N(xy)则由MN,2MP得P为MN的中点所以M(,x,0)P(0)( 2y?又PM?PF得PM?PF,0PM,(,x,) 2y?2PF,(1,)所以y,4x(x?0)( 2(2)由(1)知F(1,0)为曲线C的焦点由抛物线定义知抛物线上任一点P(xy)到F的000p距离等于其到准线的距离即PF,x， 002ppp?所以|AF|,x，|BF|,x，|DF|,x， 123222?根据
5、|AF|BF|DF|成等差数列得x，x,2x 132,y,yyy43131直线AD的斜率为, ,22x,xy，yyy313113,44y，y13所以AD中垂线方程为y,(x,3) 4x，x，y，xyx131313又AD中点()在直线上代入上式得,1 222即x,1所以点B(1?2)( 2考点二 圆锥曲线中的定值、定点问题 22xy1例2 已知椭圆C:，,1经过点(0，3)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F22ab2交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x,4上的射影依次为D、K、E. (1)求椭圆C的方程; ?(2)若直线l交y轴于点M，且MA,AF，MB,BF，当直线l的倾斜角变化时，探
6、求，的值是否为定值,若是，求出，的值;否则，说明理由; (3)连结AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点,若是，请求出定点的坐标，并给予证明;否则，说明理由( (1)待定系数法,(2)用直线的斜率为参数建立直线方程代入椭圆方程消y后?可得点AB的横坐标的关系式然后根据向量关系式MA,AFMB,BF把用点AB的横坐标表示出来只要证明，的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值否则就不是定值,(3)先根据直线l的斜率不存在时的特殊情况看两条直线AEBD的交点坐标如果直线AEBD相交于定点的话这个特殊位置时的交点就是这个定点这样只要证明直线AEBD都经过这个定点即证明了两
7、直线相交于定点否则两直线就不相交于定点( c1222解 (1)依题意得b,3e,a,b，c a222xy?a,2c,1?椭圆C的方程为，,1. 43(2)因直线l与y轴相交故斜率存在设直线l方程为 k(x,1)求得l与y轴交于M(0,k) y,又F坐标为(1,0)设l交椭圆于A(xy)B(xy) 1122y,k，x,1，,22由, xy，,1 ,432222消去y得(3，4k)x,8kx，4k,12,0 224k,128k?x，x,xx, 1221223，4k3，4k?又由MA,AF?(xy，k),(1,x,y) 1111xx12?,同理, 1,x1,x12，x,2xxxxx121212?，,
8、，, 111,x,x，x，x，xx12121222,12，2，4k8k,223，4k3，4k8,. 22,1234k8k1,，2233，4k，4k8所以当直线l的倾斜角变化时直线，的值为定值,. 3(3)当直线l斜率不存在时直线l?x轴则ABED为矩形由对称性知AE与BD相5,交于FK的中点N0 ,2猜想当直线l的倾斜角变化时 5,AE与BD相交于定点N0 ,2证明:由(2)知A(xy)B(xy) 1122?D(4y)E(4y)当直线l的倾斜角变化时首先证直线 125,AE过定点0 ,2y,y21?l:y,y,(x,4) AE24,x1,yy5321,当x,时y,y，?, 2,24,x212，
9、4,x，?y,3，y,y，1221, 2，4,x，12，4,x，?k，x,1，,3k，x,x，1221, 2，4,x，1,8k,2kxx，5k，x，x，1212, 2，4,x，1222,8k，3，4k，,2k，4k,12，5k?8k,0. 22，4,x，?，3，4k，15,?点N0在直线l上( AE,25,同理可证点N0也在直线l上( BD,25,?当直线l的倾斜角变化时直线AE与BD相交于定点0. ,2(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题基本思想是使用参数表示要解决的问题证明要解决的问题与参数无关(在这类试题中选择消元的方向是非常关键的( (2)由直线方程确定定点若得到了直线方程的
10、点斜式:y,y,k(x,x)则直线必过定00点(xy),若得到了直线方程的斜截式:y,kx，m则直线必过定点(0m)( 00(2013?陕西)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程; (2)已知点B(,1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是?PBQ的角平分线，证明:直线l过定点( (1)解 如图设动圆圆心为O(xy)由题意得OA,OM 111当O不在y轴上时过O作OH?MN交MN于H则H是MN的中 111点 22?OM,x，4 122又OA,，x,4，y 12222?，x,4，y,x，4 2化简得y,8x(x?
11、0)( 2又当O在y轴上时O与O重合点O的坐标为(0,0)也满足方程y,8x 1112?动圆圆心的轨迹C的方程为y,8x. (2)证明 由题意设直线l的方程为y,kx，b(k?0) P(xy)Q(xy) 11222将y,kx，b代入y,8x中 222得kx，(2bk,8)x，b,0. 其中,32kb，640. 8,2bk由根与系数的关系得x，x, ? 122k2bxx, ? 122kyy12因为x轴是?PBQ的角平分线所以, x，1x，112即y(x，1)，y(x，1),0 1221(kx，b)(x，1)，(kx，b)(x，1),0 12212kxx，(b，k)(x，x)，2b,0 ? 121
12、222将?代入?得2kb，(k，b)(8,2bk)，2kb,0 ?k,b此时0 ?直线l的方程为y,k(x,1)即直线l过定点(1,0)( 考点三 圆锥曲线中的最值范围问题 22xy例3 (2013?浙江)如图，点P(0，,1)是椭圆C:，,1(ab0) 122ab22的一个顶点，C的长轴是圆C:x，y,4的直径(l，l是过1212点 P且互相垂直的两条直线，其中l交圆C于A，B两点，l交椭 122圆C于另一点D. 1(1)求椭圆C的方程; 1(2)求?ABD面积取最大值时直线l的方程( 1,b,1,解 (1)由题意得 a,2.,2x2所以椭圆C的方程为，y,1. 14(2)设A(xy)B(x
13、y)D(xy)( 112200由题意知直线l的斜率存在不妨设其为k 1则直线l的方程为y,kx,1. 122又圆C:x，y,4 2故点O到直线l的距离 11d, 2k，124k，32所以AB,24,d,2. 2k，1又l?l故直线l的方程为x，ky，k,0. 212,x，ky，k,0,由 22 ,x，4y,4.,22消去y整理得(4，k)x，8kx,0 8k故x,. 024，k28k，1所以PD,. 24，k1设?ABD的面积为S则S,?AB?PD 2284k，3, 24，k3232所以S,? 1321324k，3，3?24k224k，34k，31613, 1310当且仅当k,?时取等号( 2
14、10所以所求直线l的方程为y,?x,1. 12求最值及参数范围的方法有两种:?根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式将其代入由题目列出的不等式(即为消元)然后求解不等式,?由题目条件和结论建立目标函数进而转化为求函数的值域( 已知椭圆C与抛物线C的焦点均在x轴上且C的中心和C的顶点均为1212坐标原点O，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示: x 1 ,6 4 3 y ,3 0 ,6 1 (1)求C，C的标准方程; 12(2)过点A(m,0)作倾斜角为的直线l交椭圆C于C，D两点，且椭圆C的左焦点F在116以线段CD为直径的圆的外部，求m的取值范围( (1)先判断出(,60)
15、在椭圆上进而断定点(1,3)和(4,6)在抛物线上故(3解22xy21)在椭圆上所以椭圆C的方程为的方程为y,9x. ，,1抛物线C12623(2)设C(xy)D(xy)直线l的方程为y,(x,m) 112233,y,，x,m，3由 ,22xy ，,1,6222消去y整理得2x,2mx，m,6,0 22由0得,4m,8(m,6)0 即,23m0 ?又F(,2,0)即FC?FD,(x，2y)?(x，2y) 1122,xx，2(x，x)，yy，40. 121212整理得m(m，3)0 即m0.? 由?可得m的取值范围是(,23,3)?(0,23)( 1( 求轨迹与轨迹方程的注意事项 (1)求轨迹方
16、程的关键是在纷繁复杂的运动变化中发现动点P的运动规律即P点满足的等量关系因此要学会动中求静变中求不变( (2)求出轨迹方程后应注意检验其是否符合题意既要检验是否增解(即以该方程的某又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程些解为坐标的点不在轨迹上)表示)(检验方法:研究运动中的特殊情形或极端情形( 2( 定点、定值问题的处理方法 定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题处理时可以直接推理求出定值也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明(对于客观题通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果( 3( 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 (1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特
17、征和意义则考虑利用图形性质来解决, (2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系则可首先建立起目标函数再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑: ?利用判别式来构造不等关系从而确定参数的取值范围, ?利用已知参数的范围求新参数的范围解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系, ?利用隐含或已知的不等关系建立不等式从而求出参数的取值范围, ?利用基本不等式求出参数的取值范围, ?利用函数的值域的求法确定参数的取值范围. 22xy2已知椭圆C:，,1(ab0)的离心率为其左、右焦点分别是F、F过点F22121ab2的直线l交椭圆C于E、G两点且?EGF的
18、周长为42. 2(1)求椭圆C的方程, ?(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A、B设P为椭圆上一点且满足OA，OB25?,tOP(O为坐标原点)当|PA,PB|0得k. 2228k,28kx，x,xx, 1221221，2k1，2k?OA，OB,tOP 2x，xy，y,4k8k11212?(x，xy，y),t(xy)x,y,k(x，x),4k,. 12122122tt，1，2k，ttt，1，2k，?点P在椭圆C上 222，,4k，8k，?，2,2 2222t，1，2k，t，1，2k，222?16k,t(1，2k)( 2525?2?|PA,PB|?1，k|x,x| 12332022
19、?(1，k)(x，x),4xx 12129248k,264k202?(1，k),4?0 12?k. 4112?k. 42216k82222?16k,t(1，2k)?t,8, 221，2k1，2k38822又1，2k2?t,8,4 2231，2k2626?,2t,或t2 332626?实数t的取值范围为(,2,)?(2)( 33(推荐时间:70分钟) 一、填空题 22xy1( 已知方程，,1(k?R)表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是_( k，13,k答案 1k0,3,k0解析 若椭圆焦点在x轴上则 ,k，13,k,解得1k3) 916解析 如图AD,AE,8BF,BE,2CD,CF 所以
20、CA,CB,8,2,6. 根据双曲线定义所求轨迹是以A、B为焦点实轴长为6的双曲线 22xy的右支方程为,1(x3)( 91622xy?3( 若点O和点F分别为椭圆，,1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP?FP43的最大值为_( 答案 6 解析 设P(xy)则 00222xy3x0020,3,，,1即y 0434又因为F(,1,0) 1?22所以OP?FP,x?(x，1)，y,x，x，3 00000412,(x，2)，2 04?又x?,2,2即OP?FP?2,6 0?所以(OP?FP),6. max22xy4( 直线y,kx，1与椭圆，,1恒有公共点，则m的取值范围是_( 5m答案
21、 m?1且m?5 22xy解析 ?方程，,1表示椭圆 5m?m0且m?5. ?直线y,kx，1恒过(0,1)点 ?要使直线与椭圆总有公共点应有: 2201，?1m?1 5m?m的取值范围是m?1且m?5. 2x25( 设F、F为椭圆，y,1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两124?点，当四边形PFQF面积最大时，PF?PF的值等于_( 1212答案 ,2 解析 易知当PQ分别在椭圆短轴端点时四边形PFQF面积最大( 12此时F(,30)F(30)不妨设P(0,1) 12?PF,(,3,1)PF,(3,1) 12?PF?PF,2. 122226( 直线3x,4y，4,0与抛物线
22、x,4y和圆x，(y,1),1从左到右的交点依次为A，B，ABC，D，则的值为_( CD1答案 16,3x,4y，4,0,2,解析 由,3x,4,0 得x2 x,4y,1?x,1y,x,4y,4 AADD4直线3x,4y，4,0恰过抛物线的焦点F(0,1) 且该圆圆心为F(0,1) 5?AF,y，1,DF,y，1,5 AD4AF,1AB1?,. CD116DF,2y27( 已知双曲线x,1上存在两点M，N关于直线y,x，m对称，且MN的中点在抛物32线y,18x上，则实数m的值为_( 答案 0或,8 解析 设M(xy)N(xy)MN的中点P(xy) 1122002y21x,1 ?13,2,y2
23、2x,1 ?2则 3,x，x,2x ?120 ,y，y,2y ?1201由?,?得(x,x)(x，x),(y,y)(y，y)显然x?x. 21212121123y,y，yyy21210?,3即k?,3 MNx,xx，xx21210?MN关于直线y,x，m对称 ?k,1?y,3x MN00m3m,又?y,x，m?P, 00,449m2,代入抛物线方程得m,18?, ,164解得m,0或,8经检验都符合( 8( 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F、F，且两条曲线12在第一象限的交点为P，?PFF是以PF为底边的等腰三角形，若PF,10，椭圆与1211双曲线的离心率分别为e，
24、e，则e?e的取值范围是_( 12121答案 (，?) 3解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c PF,rPF,r. 1122由题意知r,10r,2c 12且rr2rr 12,21?2c10 525?c5?1. 12225,c253,12c29( 已知抛物线方程为y,4x，直线l的方程为x,y，4,0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d，P到直线l的距离为d，则d，d的最小值为_( 121252答案 ,1 22解析 过点P作抛物线的准线的垂线垂足为A交y轴于B由抛物线方程为y,4x得焦点F的坐标为(1,0)准线为x,1则由抛物线的定义可得 d，d,PA,AB，d,PF,1，d 1222PF，d大于
25、或等于焦点F点P到直线l 2|1,0，4|52即PF，d的最小值为, 22252所以d，d的最小值为,1. 122二、解答题 22xy10(已知直线x,2y，2,0经过椭圆C:，,1(a,b,0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C22ab10的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l:x,分3别交于M，N两点( (1)求椭圆C的方程; (2)求线段MN的长度的最小值( 解 (1)如图由题意得椭圆C的左顶点为A(,2,0)上顶点为 D(0,1)即a,2b,1. 2x2故椭圆C的方程为,1. ，y4(2)直线AS的斜率显然存在且不为0 1016k设直线AS的方程为y,k(x，
26、2)(k,0)解得M()且将直线方程代入椭圆C的33方程 2222得(1，4k)x，16kx，16k,4,0. 2,416k设S(xy)由根与系数的关系得(,2)?x,. 11121，4k222,8k2,8k4k4k由此得x,y,即S()( 1212221，4k1，4k1，4k1，4k1又B(2,0)则直线BS的方程为y,(x,2) 4k101联立直线BS与l的方程解得N(,)( 33k16k116k116k18,?MN,，,，?2?,. ,33k33k33k316k1118当且仅当,即k,时等号成立故当k,时线段MN的长度的最小值为. 33k44311(在平面直角坐标系中，点P(x，y)为动
27、点，已知点A(2，0)，B(,2，0)，直线PA与1PB的斜率之积为,. 2(1)求动点P的轨迹E的方程; (2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合)，求证:直线MQ过x轴上一定点( yy1(1)解 由题意知:?,. 2xx，2,22x2化简得,1(y?0)( ，y2(2)证明 方法一 设M(xy)N(xy)Q(x,y) 1122222x2l:x,my，1代入,1(y?0)整理得 ，y222(m，2)y，2my,1,0. ,2m,1y，y,y,y 122122m，2m，2y，y12MQ的方程为y,y,(x,x) 11x,x12令y,0 y，x
28、,x，my，y,y，121121得x,x，,my，1， 11y，yy，y12122myy12,，1,2. y，y12?直线MQ过定点(2,0)( 方法二 设M(xy)N(xy)Q(x,y) 1122222x2l:y,k(x,1)代入，y,1(y?0)整理得 22222(1，2k)x,4kx，2k,2,0 22,22k4kx，x,xx, 1221221，2k1，2k，yy12MQ的方程为y,y,(x,x) 11x,x12，x,x，,1，x,x，x,，x，x，yk，x2x1211211212令y,0得x,x，,x，,2. 11y，yk，x，x,2，x，x,2121212?直线MQ过定点(2,0)(
29、 22xy3xy4512(设椭圆C:，,1(ab0)的离心率e,，左顶点M到直线，,1的距离d,，22ab2ab5O为坐标原点( (1)求椭圆C的方程; (2)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明:点O到直线AB的距离为定值; (3)在(2)的条件下，试求?AOB的面积S的最小值( 33222(1)解 由e,得c,a又b,a,c 221所以b,a即a,2b. 2xy由左顶点M(,a,0)到直线，,1 ab45即bx，ay,ab,0的距离d, 5|b，,a，,ab|452ab45得,即, 222255a，ba，b24b45把a,2b代入上式得,解得b,1. 55
30、b所以a,2b,2c,3. 2x2所以椭圆C的方程为,1. ，y4(2)证明 设A(xy)B(xy) 1122?当直线AB的斜率不存在时则由椭圆的对称性可知x,xy,y. 1212?因为以AB为直径的圆经过坐标原点故OA?OB,0 22即xx，yy,0也就是x,y,0 1212112x12又点A在椭圆C上所以,1 ,y1425解得|x|,|y|,. 11525此时点O到直线AB的距离d,|x|,. 115?当直线AB的斜率存在时 设直线AB的方程为y,kx，m y,kx，m,2与椭圆方程联立有, x2,1，y ,4222消去y得(1，4k)x，8kmx，4m,4,0 2,44m8km所以x，x
31、,xx,. 1221221，4k1，4k因为以AB为直径的圆过坐标原点O所以OA?OB. ?所以OA?OB,xx，yy,0. 121222所以(1，k)xx，km(x，x)，m,0. 12122224m,48km22所以(1，k)?,，m,0. 221，4k1，4k43.193.25观察物体2 生活中的数1 P22-2322整理得5m,4(k，1) (二)空间与图形|m|25所以点O到直线AB的距离d,. 125，k125综上所述点O到直线AB的距离为定值. 5(3)解 设直线OA的斜率为k. 0176.186.24期末总复习当k?0时 01.概念：一般地，若两个变量x，y之间对应关系可以表示
32、成(、b、c是常数,0)的形式，则称y是x的二次函数。自变量x的取值范围是全体实数。在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。1则OA的方程为y,kxOB的方程为y,x 0k0(5)直角三角形的内切圆半径42y,kxx,012,1，4k,02联立,得 x2,2，y,14k 20,y4,. 12,1，4k0（1）一般式：24k20x,2,2k，40同理可求得 ,42y, .22,k，401、第二单元“观察物体”。学生将通过观察身边的简单物体，初步体会从不同角度观察物体所看到的形状可能是不同的发展空间观念。22，1，k，1102故?AOB的面积为S,1，k?|x|?1，?|x|,2. 0122222k，1，4k，k，4，0002令1，k,t(t1) 0函数的取值范围是全体实数；2t1则S,2,2 24t，9t,999,，42tt9911252令g(t),，4,9(,)，(t1) 2ttt24最大值或最小值：当a0，且x0时函数有最小值，最小值是0；当a0，且x0时函数有最大值，最大值是0。254所以4g(t)?.所以?S1. 45当k,0时可求得S,1 0弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。44故?S?1故S的最小值为. 55