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1、2014届江苏高三理科数学二轮复习解题技巧提炼专题检测：专题四 第1讲第1讲 空间几何体 【高考考情解读】 柱、锥、台、球及其简单组合体和平面及其基本性质虽然没有单独考查，但作为立体几何最基本的要素是融入在解答题中考查的，它是立体几何的基本(对于立体几何表面积和体积考查要求不高，一般以填空题为主( 1( 棱柱、棱锥、棱台 (1)棱柱的性质 侧棱都相等，侧面是平行四边形;两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;过不的两条侧棱的截面是平行四边形;直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩相邻形( (2)正棱锥的性质 侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等;棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成
2、一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形;某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形;侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形( (3)正棱台的性质 侧面是全等的等腰梯形;斜高相等;棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个直角梯形;棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个直角梯形;棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个直角梯形( (4)四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系( 2( 圆柱、圆锥、圆台 (1)圆柱、圆锥、圆台的概念 分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角
3、梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台( (2)圆柱、圆锥、圆台的性质 轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形;平行于底面的截面都是圆( 3( 球 (1)球面与球的概念 圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周所成的曲面叫做球面( 半以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球(半圆的圆心叫做球的球心( (2)球的截面性质 球心和截面圆心的连线垂直于截面;球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半22径r的关系为d,R,r. 4( 空间几何体的两组常用公式(不要求记忆) (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式:
4、?S,ch(c为底面周长，h为高); 柱侧1?S,ch(c为底面周长，h为斜高); 锥侧21S?,(c，c)h(c，c分别为上下底面的周长，h为斜高); 台侧22?S,4R(R为球的半径)( 球表(2)柱体、锥体和球的体积公式: ?V,Sh(S为底面面积，h为高); 柱体1?V,Sh(S为底面面积，h为高); 锥体31?V,(S，SS，S)h; 台343?V,R. 球3考点一 几何体的表面积 例1 如图，斜三棱柱ABCABC中，底面是边长为a的正三角 形，侧棱长为b，侧棱AA与底面相邻两边AB与AC都成45?角， 求此斜三棱柱的表面积( 由题意可知A在平面ABC内的射影D在?BAC的角 平分线
5、上从而可证得四边形BCCB是矩形( 解 如图过A作AD?平面ABC于D过D作DE?AB于E DF?AC于F 连结AEAFAD. 则由?AAE,?AAF AA,AA AAE?Rt?AAF 得Rt?AE,AF?DE,DF?AD平分?BAC 又?AB,AC?BC?AD?BC?AA 而AA?BB?BC?BB ?四边形BCCB是矩形 ?斜三棱柱的侧面积为2absin 45?，ab,(2，1)ab. 3322又?斜三棱柱的底面积为2a,a 4232?斜三棱柱的表面积为(2，1)ab，a. 2此题构作辅助线的方法具有典型意义记住这种作法对解这一类问题有较大的帮助( 3 一个正三棱台的上、下底面边长分别是3
6、cm和6 cm，高是 cm. 2(1)求三棱台的斜高; (2)求三棱台的侧面积和表面积( 解 (1)设O、O分别为正三棱台ABCABC的上、下底面正三 11113角形的中心如图所示则OO,过O作OD?BCOD?BC 1111112则DD为三棱台的斜高, 13过D作DE?AD于E则DE,OO, 11112333因OD,3,OD,6,3 1162633则DE,OD,OD,3,. 1122在Rt?DDE中 1322232,DD,DE，ED, ，,3(cm)( 11,22(2)设c、c分别为上、下底的周长h为斜高 112732S,(c，c)h,(33，36)3, (cm) 侧2222733399322
7、2S,S，S，S,，3，6, (cm)( 表侧上下24442732 故三棱台斜高为3 cm侧面积为 cm29932表面积为 cm. 4考点二 几何体的体积 例2 如图所示，直三棱柱ABCABC的侧棱长和底面边长都是a， 111截面ABC和截面ABC相交于DE，求四面体BBDE的体积( 1111解 方法一 取BB中点F连结DFEF 1则V四面体BBED,V锥BDEF，V 锥11BDEF11,BF?S，BF?S ?1DEFDEF331a13323,BB?S,a?,a. ?1DEF,334248方法二 取BB中点F连结DFEF 1则V四面体BBDE,2V锥BDEF 1112?V锥B,ABC 1811
8、3333,2a,a. 8344813方法三 设A、D两点到平面BCCB的距离分别为h、h则h,h,a. 1124111V锥DBBE,h?S?BBE,hS正方形BBCC 1111334131323,aa,a. 34448计算体积要注意几何体的割补棱锥的性质以及选择适当的底面求出对应的高( (1)(2013?江苏)如图，在三棱柱ABC,ABC中，D，E，F分别是AB，AC，111AA的中点，设三棱锥F,ADE的体积为V，三棱柱ABC,ABC的体积为V，则V?V11111212,_. (2)(2012?山东)如图，正方体ABCD,ABCD的棱长为1，E，F 1111分别为线段AA，BC上的点，则三棱
9、锥D,EDF的体积为 111_( 1答案 (1)1?24 (2) 6解析 (1)设三棱锥F,ADE的高为h 11,hAD?AE?sin?DAE,V231则, V12，2h，2AD，2AE，sin?DAE21,. 24(2)利用三棱锥的体积公式直接求解( 1111VD,EDF,VF,DDE,S?DDE?AB,111,. 1113326考点三 多面体与球 例3 直三棱柱ABCABC的各顶点都在同一球面上(若AB,AC,AA,2，?BAC,1111120?，则此球的表面积等于_( (1)先求截面圆ABC的半径r,(2)再求三棱柱外接球的半径( 答案 20 222解析 在?ABC中由余弦定理知BC,A
10、B，AC,2AB?AC?cos 120?,4，4,1,222,12 ,2?BC,23. 23由正弦定理知?ABC的外接圆半径r满足,2r sin 120?22?r,2.由题意知球心到平面ABC的距离为1设球的半径为R则R,2，1,52?S,4R,20. 球对于多面体与球的问题考查比较多的是多面体和它的外接球问题(破解这类问题的核心是找准截面建立球半径与多面体棱之间的联系( 已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB,6，BC,23，则棱锥OABCD的体积为_( 答案 83 解析 依题意棱锥OABCD的四条侧棱长相等且均为球O的半 径如图连结AC取AC中点O连结OO. 22易知AC
11、,AB，BC,43故AO,23. 2在Rt?OAO中OA,4从而OO,4,12,2. 1所以V,2623,83. OABCD3考点四 空间几何体的折叠问题 例4 如图所示，平面四边形ABCD中，AB,AD,CD,1，BD,2，BD?CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD?平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为_( 要求出球的体积就要求出球的半径需要根据已知数据和空间位置关系确定球心的位置由于?BCD是直角三角形根据直角三角形的性质:斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等只要再证明这个点到点A的距离等于这个点到BCD的距离即可确定球心进而求出球的半径根据体
12、积公式求解即可( 3答案 2解析 如图取BD的中点EBC的中点O 连结AEODEOAO. 由题意知AB,AD所以AE?BD. 由于平面ABD?平面BCDAE?BD 所以AE?平面BCD. 因为AB,AD,CD,1BD,2 213所以AE,EO,.所以OA,. 22213在Rt?BDC中OB,OC,OD,BC, 223所以四面体ABCD的外接球的球心为O半径为. 24333所以该球的体积V,(),. 322解决折叠问题的关键是搞清楚处在折线同一个半平面的量是不变的然后根据翻折前后图形及数量关系的变化借助立体与平面几何知识即可求解( 如图，把边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE折起，使AC,
13、6. (1)求证:面ABEF?面BCDE; (2)求五面体ABCDEF的体积( (1)证明 设原正六边形中AC?BE,ODF?BE,O由正六边形的几何性质可知OA,OC,3 AC?BEDF?BE. 222，OC,6在五面体ABCDEF中OA,AC ?OA?OC又OA?OB?OA?面BCDE. ?OA?面ABEF ?面ABEF?面BCDE. (2)解 由BE?OABE?OC知BE?面AOC 同理BE?面FOD?面AOC?面FOD 故AOCFOD是侧棱长(高)为2的直三棱柱且三棱锥BAOC和EFOD为大小相同的三棱锥 ?V,2V，V ABCDEFBAOCAOCFOD11122,2(3)1，(3)2
14、,4. 3221( 在理解棱柱、棱锥的概念基础上掌握棱柱、棱锥的结构特征:熟记特殊棱柱、棱锥的有关性质,能够把棱柱、棱锥的有关元素放在对角面、侧面等平面图形中去研究突出化归的数学思想方法( 2( 长方体的外接球 222(1)长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体对角线长等于外接球的直径即a，b，c,2R, (2)棱长为a的正方体的体对角线等于外接球的直径即3a,2R. 3( 求与球有关组合体表面积、体积等问题时常常把球中的问题转化成相应的轴截面来处理有时还要利用圆的有关性质、正弦定理和余弦定理来解决球的问题( 4( 一些不规则的几何体求其体积多采用分割或补形的方法从而转化为规则的几何体而补形又
15、分为对称补形(即某些不规则的几何体若存在对称性则可考虑用对称的方法进行补形)、还原补形(即还台为锥)和联系补形(某些空间几何体虽然也是规则几何体不过几何量不易求解可根据其所具有的特征联系其他常见几何体作为这个规则几何体的一部分来求解). 1( 在三棱锥A,BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，?ABC，?ACD，?ABD的面积236分别为，则三棱锥A,BCD的外接球体积为_( 222答案 6 解析 如图以ABACAD为棱把该三棱锥扩充成长方体则该 长方体的外接球恰为三棱锥的外接球 ?三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长( AB?AC,2AB,2,AC,1据题意解得 AC?AD,3,AD,3
16、AB?AD,6222?长方体的对角线长为AB，AC，AD,6 6?三棱锥外接球的半径为. 2463?三棱锥外接球的体积为V,?(),6. 322( 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正 方形，且?ADE，?BCF均为正三角形，EF?AB，EF,2，则该多 面体的体积为_( 2答案 3解析 如图过AB两点分别作AMBN垂直于EF垂足分别 为MN连结DMCN可证得DM?EFCN?EF多面体ABCDEF 分别为三部分多面体的体积为V,V，V，V,ABCDEFAMDBNCEAMDF. BNC13?NF,BF,1?BN,. 22作NH垂直BC于点H则H为BC的中点 2则NH,.
17、 21122?S,?BC?NH,1,. ?BNC222412?V,?S?NF, ,?FBNCBNC3242V,V, ,EAMDFBNC242V,S?MN,. ,?AMDBNCBNC42?V,. ABCDEF3(推荐时间:60分钟) 一、填空题 1( 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为_( 答案 56 222解析 长方体外接球直接2R,1，2，3,14 14?R, 222?球的表面积S,4R,4(14),56. 2( (2012?江苏)如图，在长方体ABCD,ABCD中，AB,AD,3 11113cm，AA,2 cm，则四棱锥A,BB
18、DD的体积为_ cm. 111答案 6 解析 关键是求出四棱锥A,BBDD的高( 11连结AC交BD于O在长方体中 ?AB,AD,3?BD,32且AC?BD. 又?BB?底面ABCD?BB?AC. 11又DB?BB,B?AC?平面BBDD 111132?AO为四棱锥A,BBDD的高且AO,BD,. 1122?S矩形BBDD,BDBB,322,62 1111?VA,BBDD,S矩形BBDD?AO 111131323,62,6(cm)( 323( 如图所示，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分的母线 长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下的部分的体积是 _( 2r，a，b，答案
19、2解析 这样的几何体我们没有可以直接应用的体积计算公式根据对称性可以把它补成一个高是a，b的圆柱这个圆柱的体积是所求的几何体体积的2倍故所求的几何体2r，a，b，的体积是. 24( 若圆锥的侧面积为2，底面面积为，则该圆锥的体积为_( 3答案 3解析 设圆锥的底面半径为r高为h母线长为l则 ,rl,2r,1, ?2 r,l,2.,2222?h,l,r,2,1,3 13?圆锥的体积V,?3,. 335( 如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体(当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm，当这个几何体如图(3)水
20、平放置时，液面高度为28 cm，则这个简单几何体的总高度为_( 答案 29 cm 解析 设简单几何体的总高度为x cm 22根据图(2)(3)没有液体部分体积相等得(x,20)?1,(x,28)?3 ?x,29. 6( 已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把?ACD折起，则三棱锥D,ABC的外接球的表面积等于_( 答案 16 解析 设矩形的两邻边长度分别为ab则ab,8此时2a，2b?4ab,82当且仅当a,b,22时等号成立此时四边形ABCD为正方形其中心到四个顶点的距离相等均为2无论怎样折叠其四个顶点都在一个半径为2的球面上这个球的表面2积是42,16. 7( 如图所
21、示， 在等腰梯形ABCD中，AB,2DC,2，?DAB,60?，E 为AB的中点，将?ADE与?BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、 B重合，形成的三棱锥的外接球的体积为_( 6答案 8解析 由已知条件知平面图形中AE,EB,BC,CD,DA,DE,EC,1. ?折叠后得到一个正四面体( 方法一 作AF?平面DEC 垂足为FF即为?DEC的中心( 取EC的中点G连结DG、AG 过球心O作OH?平面AEC. ?AEC的中心( 则垂足H为?外接球半径可利用?OHA?GFA求得( 36332,?AG,AF,1,AH, ,2333在?AFG和?AHO中根据三角形相似可知 33?AG?AH236OA,
22、. AF463446663?外接球体积为OA,?,. 33348方法二 如图所示把正四面体放在正方体中显然正四面体的外 接球就是正方体的外接球( ?正四面体的棱长为1 2?正方体的棱长为 226?外接球直径2R,3?R, 246?V,. 88( 如图所示，已知在多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两垂直， 平面ABC?平面DEFG，平面BEF?平面ADGC，AB,AD,DG,2， AC,EF,1，则该多面体的体积为_( 答案 4 解析 方法一 (分割法)如图所示过点C作CH?DG于点H连结 EH这样就把多面体分割成一个直三棱柱DEHABC和一个斜三棱 柱BEFCHG. 于是所求几何体的体
23、积为V,SAD，SDE ?DEHBEF11,212，212,4. ,22方法二 (补形法)如图所示将多面体补成棱长为2的正方体那么显 然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半(于是所求几何体为V 13,2,4. 29( 已知球的直径SC,4，A，B是该球球面上的两点，AB,2，?ASC,?BSC,45?，则棱锥SABC的体积为_( 43答案 3解析 如图所示由题意知在棱锥SABC中?SAC?SBC都是 等腰直角三角形其中AB,2SC,4SA,AC,SB,BC,22.取SC 的中点D易证SC垂直于面ABD因此棱锥SABC的体积为两个棱 锥SABD和CABD的体积和所以棱锥SABC的体积 114
24、V,SC?S,43,3. ?ADB33310(已知正方形ABCD的边长为22，将?ABC沿对角线AC折起，使 平面ABC?平面ACD，得到如右图所示的三棱锥B,ACD.若O为 AC边的中点，M，N分别为线段DC，BO上的动点(不包括端点)， 且BN,CM.设BN,x，则三棱锥N,AMC的体积的最大值为_( 2答案 3解析 由平面ABC?平面ACD且O为AC的中点可知BO?平面ACD易知BO,12故三棱锥N,AMC的高为ON,2,x?AMC的面积为?MC?AC?sin 45?,2x故2122三棱锥N,AMC的体积为V,f(x),?(2,x)?2x,(,x，2x)(0x2) 332?x,1时V,.
25、 max3二、解答题 11(2012?江西)如图所示，在梯形ABCD中，AB?CD，E、F是线段AB上的两点，且DE?AB，CF?AB，AB,12，AD,5，BC,42，DE,4.现将?ADE，?CFB分别沿DE，CF折，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG. 起(1)求证:平面DEG?平面CFG; (2)求多面体CDEFG的体积( (1)证明 因为DE?EFCF?EF 所以四边形CDEF为矩形( 22由GD,5DE,4得GE,GD,DE,3. 22由GC,42CF,4得FG,GC,CF,4 所以EF,5. 222在?EFG中有EF,GE，FG 所以EG?GF. 又因为CF?EFCF?
26、FG所以CF?平面EFG. 所以CF?EG所以EG?平面CFG. 又EG?平面DEG所以平面DEG?平面CFG. GF中 (2)解 如图在平面E过点G作GH?EF于点H EG?GF12则GH,. EF5因为平面CDEF?平面EFG 所以GH?平面CDEF 1所以V,S?GH,16. 多面体矩形CDEFGCDEF312(如图，四棱锥PABCD中，PD?平面ABCD，底面ABCD为矩形， PD,DC,4，AD,2，E为PC的中点( (1)求三棱锥APDE的体积; (2)AC边上是否存在一点M，使得PA?平面EDM,若存在，求出 AM的长;若不存在，请说明理由( 解 (1)因为PD?平面ABCD所以
27、PD?AD. 又因ABCD是矩形所以AD?CD. 因PD?CD,D所以AD?平面PCD 所以AD是三棱锥APDE的高( 因为E为PC的中点且PD,DC,4 111,所以S,S,44,4. ?PDEPDC,222118又AD,2所以V,AD?S,24,. ?APDEPDE333(2)取AC中点M连结EMDM因为E为PC的中点M是AC 的中点所以EM?PA. 又因为EM?平面EDMPA?平面EDM 所以PA?平面EDM. 1所以AM,AC,5. 2即在AC边上存在一点M使得PA?平面EDMAM的长为5. 13(如图，在Rt?ABC中，AB,BC,4，点E在线段AB上(过点E作EF?BC交AC于点F
28、，将?AEF沿EF折起到?PEF的位置(点A与P重合)，使得?PEB,30?. (1)求证:EF?PB; (2)试问:当点E在何处时，四棱锥PEFCB的侧面PEB的面积最大,并求此时四棱(1)二次函数yax2的图象：是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线。是二次函数的特例，此时常数b=c=0.锥PEFCB的体积( 第二章 二次函数135.215.27加与减（三）4 P75-80(1)证明 ?EF?BC且BC?AB 第三章 圆?EF?AB即EF?BEEF?PE.又BE?PE,E 垂直于切线; 过切点; 过圆心.?EF?平面PBE (一)情感与态度：又PB?平面PBE?EF?PB. (2)解 设BE,xPE,y则x，y,4. 1?S,BE?PE?sin?PEB ?PEB2圆内接四边形的性质: 圆内接四边形的对角互补;x，y11,2,xy?,1. ,442当且仅当x,y,2时S的面积最大( ?PEB7.同角的三角函数间的关系：此时BE,PE,2. 由(1)知EF?平面PBE ?平面PBE?平面EFCB 在平面PBE中作PO?BE于O则PO?平面EFCB. d=r 直线L和O相切.即PO为四棱锥PEFCB的高( 1又PO,PE?sin 30?,2,1. 21S,(2，4)2,6. EFCB21?V,61,2. PBCFE3