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1、2015届湖南省长沙市雅礼中学高三5月一模理科数学试题及答案2015年雅礼中学高三理科数学第一次模拟考试 时量120分钟,满分150分. 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 11. 已知复数(为虚数单位)，是的共轭复数，则的z,1,iizzz值为( B ) 21A. 1 B. C. 22D. 222. 命题“存在，使”的否定是(A ) x,2x,422x,2x,2 A. 对任意，都有 B. 对，都有 x,4x,422x,2x,2C. 存在，使x,4 D. 存在，使x,4 2P,，21=3. 设随机变量，则,1=2=0.3N
2、PP，且,，( D ) A(0.4 B(0.5 C(0.6 D(0.7 yx,xyzxy，,，22，且4(已知x，y满足的最大值是最小值的4倍，,xa,a则的值是( B ) 312A( B( C( 4411D(4 22xy,1(0,0)ab5. 双曲线的一个顶点到一条渐近线的距离为22aba，则双曲线的离心率为( D ) 232 A. B. C. 23223D. 36. 五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起， 则不同排法数为( C ) A(12 B(24 C(36 D(48 7. 如图所示的程序框图运行结束后，输出的集合中包含的元素个 数为( A ) A. 3 B. 4 C. 5
3、 D. 6 22aaaxdx，,48. 已知数列为等比数列，且，则 ,n20132015,0的值为( C ) aaaa，2，201420122014201622,2,4,A( B( C( D( 9. 某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可(能是( C) (正视图 A B C D x，1,x,0,x10.已知函数g(x),f(x),e，a,则函数的零点个f(x),x,1,f(x,1),x,0,数不可能是(D) A(0 B(1 C(2 D(3 二、填空题:本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. (一)选做题:在11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分
4、. 11.如图，圆A与圆B交于C、D两点，圆心B在圆A上，DE 为圆B的直径。已知，则圆A的半径为 4 。 CE,1,DE,4p12.极坐标系下，P为曲线上的动点， 2sin()(0)rq,aa4Q为曲线上的动点，若线段长度的最小值为2,1，rq,2sinPQa则的值为 3 。 x,1,x,m，1,0xm13.关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是 . (,2,0)(二)必做题(1416题) ABCD14. 如图在平行四边形中，已知， ABAD,8,4,，则的值是 4 . ABAD,CPPDAPBP,3,247%15.某商品一直打7折出售，利润率为，购物节期间，该商品恢复了原价，并参加了“
5、买一件送同样一件”的活5%动，则此时的利润率为 .(注:利润率=(销售价格-成本),成本) DABCAB,ACACDABC16. 等腰中，D为中点，BD,1，则面积2的最大值为 。 3【解析】5115115120256222222A,S,b,t,t,t,，,cos,1()(1)9() 22424248993bb三、解答题:本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17(本小题满分12分) ,如图是函数 fxAxA()sin()(0,0,),，,2图像的一部分。 (1) 求出的值; A,x2(2) 当时，求不等式的解集。 x,(0,)f(x,),f(,),22626,
6、【解析】(1) A,2,2,3,2(2)由2sin24sin2xx, ,，,，,sin2cos20sin(2)0xxx4,5,3由得,. x,(0,)，,？,，,2(,)x2(0,)xx,244444818.(本小题满分12分) 1甲、乙两人对弈棋局，甲胜、乙胜、和棋的概率都是，3规定有一方累计2胜或者累计2和时，棋局结束。棋局结束时，若是累计两和的情形，则宣布甲乙都获得冠军;若一方累计2胜，则宣布该方获得冠军，另一方获得亚军。设结束时对弈的总局数为X. (1)设事件A:“X=3且甲获得冠军”，求A的概率; (2)求X的分布列和数学期望。 AA【解析】(1)设:甲恰胜2局;:和2局; 1212
7、1121811则 P(A),P(A:A),P(A)，P(A),(C,),，(C,),1212223333332711121412(2); P(X,2),3，(),P(X,3),3，(C,),23333391233 PX,A,(4)()339分布列为: X 2 3 4 142 P 39914226 数学期望:. EX,2，3，4，,399919(本小题满分12分) ,如图1，在边长为的正方形中，,且AAAABB/CC/AA1211111,且，分别交于点，将该正方形沿AB,3BC,4AABB,CCP,Q111,折叠，使得与重合，构成图所示的三棱柱BB,CCAAAA21111，在图中: ABC,AB
8、C2111B B C 111C A 1A 11A 1(1)求证:; AB,PQQ Q ACBM/(2)在底边上有一点，使得平面 MP P ，求点到平面的距离. MAPQPAQB C A A B C M (图1) A (图2) ABC【解析】(1)由BB,BB,平面得;由勾股定理得 AB11AB,BCBCCB，从而证得AB,平面，从而 AB,PQ11(2)如图建系，由条件得，可求得平面的 BP,3,CQ,7APQ一个法向量为。设，则 AM,ACn,(1,1,1)，由题意有， BM,n,0BM,BA，AM,(3,3,4,0)AM,n3d,3解得，则. ,7n20(本小题满分13分) 22yx2如图
9、，抛物线与椭圆交于C:，,1(a,2)C:y,2px(p,0)2124a第一象限内一点，为抛物线的焦点，分别为椭圆CF,FCMF1122的上下 MF,OF,1,MF,OF,10焦点，已知。 (1)求抛物线和椭圆的方程; CC12(2)是否存在经过M的直线，与抛物线和椭圆分别交于 l非M的两点，使得,若存在 FP，FQ,2OMP,Q12请求出直线的斜率，若不存在，请说明理由。 ,pp,x，,1,M,22【解析】(1)由题意得，分别代入,x,1,y,3,MM22,x，y,10MM,22yx2C:，,1抛物线和椭圆方程得:，. C:y,9x21124(2)斜率不存在时显然不合题意，由可设， M(1,
10、3)l:y,k(x,1)，32222直线与抛物线联立得:， kx，(,2k，6k,9)x，(3,k),02(3,k)x,由韦达定理及可得; x,1PM2k222直线与椭圆联立得:， (3，k)x，2k(3,k)x，(k,6k,3),02k,6k,3x,由韦达定理及x,1可得。 QM23，k32x，x,2x,4k,k，6k,9,0FP，FQ,2OM由可得 PQM122,(k,1)(4k，3k，9),0,k,1，经检验符合题意。 存在符合题意的直线，其斜率为1。 ？2*21.数列满足， a,a，a，c(n,N)aa,(0,1)1n，nnn1(1)证明:“对任意，”的充要条件是a,(0,1)a,(0
11、,1)n13“” c,0,)411(2)若，数列满足，设， bT,b，b，？，ba,c,0b,nn12n1n1,a5n*，若对任意的，不等式R,b,b？,bn,10,n,Nn12n2的解集非空，求满足条件的实数的最小kkn,n(5R,T),2015nn值。 112【解析】(1)必要性:，由可得a,a,，c，()a,(0,1)211241，由 a,(c,c，2413得。 (c,c，,(0,1)c,0,)44充分性:用数学归纳法证明。 1132时，由，得a,(a,)，c，c,0,)nn,1,2已知;a,(0,1)211244; a,(0,1)2n,ka,(0,1)设时， k1132n,k，1a,(
12、0,1)则当时，a,a,，c，由，c,0,)，得()kk，1k244a,(0,1); k，1*a,(0,1)n,N从而，对任意，。 n综上，原题充要性得证。 a,(0,1)(3) 由(1)知，所以: naaaa11nnn1,bR？(4) ; nn21,aaaa5a,aann，12n，1n，1nn2,aaaaa111nnnnn，1,(,)b n21,aaaaaaaa,aann，1nn，1nn，1nn，1nn1111111 T？,(,)，(,)，(,),5naaaaaaa1223nn，1n，1， ？5R,T,5nn20152*对任意有解， kn,nR,T,k,n，(5)20155n,10,n,N？
13、nnn201532015203当，;当， n,20n,215n，,2005n，,200,200n4n214？k,200.75min104.305.6加与减（二）2 P57-6022.(本小题满分13分) 圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。2已知函数f(x),lnx,x，ax，其中. a,R(1)当时，求函数的单调增区间。 a,1(2)为在处的切线，且图像上的点都不在的上llx,xf(x)f(x)0方，求的取值范围。 x01,xx,0,x,R【解析】(1)定义域为，当;当x,0,f(x),2x，1x（7）二次函数的性质：x,0,212x,x,111,。故， f(x),2
14、x，1,0,x,x,1f(x),2x，112xx2x（4）二次函数的图象：是以直线为对称轴，顶点坐标为（，）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）1从而的单调递增区间为. (,),(0,1)f(x)2（2）圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.2,，2xax1,(2)， ,l:y,f(x)(x,x)，f(x)f(x)000x一年级数学下册教材共六个单元和一个总复习，分别从数与代数、空间图形、实践活动等方面对学生进行教育。,令g(x),f(x),f(x)(x,x),f(x)，由题意，恒成立。 g(x),0000d=r 直线L和O相切.12(xx)(x),，02x0, g(x
15、)f(x)f(x),0x1x,0x,0x,0g(x),g(x)时:若，则，若，则()() gx,g,0max0max2x0其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。1x,0x,0x,0g(x),g(x)()()时:若，则gx,g,，若，则 0max0max2x01g(x),0g(x),0g(,),0综上，原条件等价于且，易得符合题002x0意。 111222g(,),0,ln(2x)，x,0t,x,ln(2t)，t,0故。令 00022x4t4x00（7）二次函数的性质：21(2t，1)1,h(t),ln(2t)，t,h(t),0,h(t),h(),0设，又 24t4t2定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。1122 ？h(t),0,g(),t,x,(,:,，,)02222