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1、2014届湖南省高考压轴卷文科数学试题及答案2014年湖南省高考压轴卷 数 学(文) 一. 选择题 21(设集合，则( ). ,M,x|x(x,1),0，N,x|x,4M,N,A. B. C. D. M,N,MM,N,MM,N,R1，i3z,2(若是复数的实部，是复数的虚部，则等于abbz,(1,i)a122,i( ) 2222 B., A.D.,C.55333(某学校要从高中的三个年级共1800名学生中用分层抽样的方法抽取一个样本对学生的社会实践活动进行统计分析，已知抽取的样本中三个年级学生(依次是一、二、三年级)人数的比例是5:4:3，则该学校高三年级的学生人数是( ) A.300 B.4
2、50 C.500 D.600 4( 一个算法的程序框图如图所示，若该程序5输出的结果为， 6则判断框中应填入的条件是( ) i,5i,6i,5A( B( C( i,6D( 2(a,0,a,1)5(已知f(x),log(x,ax，3)且满足a对 a于任意当时，总有， x,x,f(x),f(x),0x,x,1212122那么的取值范围是() a1 A.(0,3)B(1,3) C.(0,22)D.(1,23)f(x)g(x)6(设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意,a,bf(x)g(x)，都有f(x),g(x),1成立，则称和在上是“密切,x,a,ba,b2g(x),2x,3函数”，区间称为“
3、密切区间”。若与在f(x),x,3x，4,a,b上是“密切函数”， ,a,b则其“密切区间”可以是( ) A.,1,4B.,2,4C.,3,4D.,2,3x(0,，,)7(已知:命题“若函数在上是增函数，则m,1”，f(x),e,mx则下列结论正确的是( ) xA.否命题是“若函数(0,，,)在上是减函数，则m,1”，是真命f(x),e,mx题 xm,1,(0,，,)B.逆命题是“若则在上是增函数”，是假命题 f(x),e,mxx(0,，,)C.m,1逆否命题是“若，则函数在上是减函数”，f(x),e,mx是假命题 xm,1,(0,，,)D.逆否命题是“若则函数在上不是增函数”，f(x),e,
4、mx是真命题。 2 2A,B8(已知是抛物线C:的焦点，是抛物线上的两个点，线Fy,4xM(2,2)段AB的中点为，则,ABF的面积等于( ) D.4 A.1B.2C.229(半径为4的球面上有四个点，且满足， A.B.C.DAB,AC,0AC,AD,0，则的最大值为( ) S，S，SAD,AB,0,ADBABCACDA.8B.16C.32D.64,f(x)f(x)y,x,f(x)10.设是一个三次函数，为其导数，如图所示的是f(x)的图象的一部分，则的极大值与极小值分别是( ) A.f(1)f(,1)与 B.f(,1)f(1)与 C.f(,2)f(2)与 D.f(2)f(,2)与 二、填空
5、f(x)f(2,x),f(x)R11、定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，,0,1f(x),1f(x),1若方程在上有实数根，则方程在区间上所有，,0,1,1,7实根之和是 ,y,sin(2x,)，112. ?函数的最小正周期为。 ,3A,B,ABCcos2A,cos2B?在中，若，则。 0,2,cos,，cos,，cos,0sin,，sin,，sin,0?若，且，。 3 ,24则等于或。 ,33,cos,cos,1sin(,，,),0?若角满足，则。 ,sin(sinx),sinx,sin(tanx)?若则。 0,x,4,C,30?在中，则。 ,ABC3sinA，4cosB,64sinB，
6、3cosA,1则真命题的序号为_. *13(设数列的前项和为(，关于数列有下列命题: ,S,an,N)annnn*?若既是等差数列又是等比数列，则; a,a(n,N),ann，n12a,b,R?若，()，则是等差数列; S,an，bn,annn?若，则是等比数列; S,1,(,1),ann*?若是等比数列，则(也成等比数列; ,S,S,S,S,Sam,N)nm2mm3m2m其中正确的命题是_. PQAP,mAB,AQ,nAC14(如图所示，,ABCGG中为重心，过点，A 则 P 11_. ，,G mnQ B C D 4 x,y,2,0,xy,15(设实数满足约束条件，则的取值范围是x,yx，2
7、y,5,0u,22x，y,y,2,0,_. 三.解答题:本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (本小题共12分) 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费每满100元可以转动如图所示的圆盘一次，其中O为圆心，且标有20元、10元、0元的三部分区域面积相等. 假定指针停在任一位置都是等可20元能的.当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券.(例如:某顾客消费了218元 ，第一次转动获得10元0元了20元，第二次获得了10元，则 其共获得了30元优惠券.)顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按 照规则参与了活动. (I)若顾客甲消费了128元，求他获得
8、优惠券面额大于0元的概率, (II)若顾客乙消费了280元，求他总共获得优惠券 金额不低于20 元的概率, 5 P 17(本小题共12分) 如图:在四棱锥中，底面PABCD,N A D，,:,ABCPA60,是菱形，平面ABCDD MN,BCPA,ABCD，点分别为的中点，B C M PA,AB,2且. (I) 证明:?平面; BCAMN(II)求三棱锥的体积; N,AMC(III)在线段PD上是否存在一点E，使得NM/平面ACE;若存在，求出PE的长;若不存在，说明理由. 18(本小题满分12分) n*a,a，2，1,(n,N)在数列中， ,aa,2，n1n1nn(1)求证:数列,a,2为等
9、差数列。 n(2)设数列,满足，若bb,log(a，1,n)nn2n1111*n,N(1，)(1，)(1，)？(1，),kn，1n,2对一切，且恒成立，求bbbb234n实数k的取值范围。 6 19(本小题满分12分) 22xy,45，,1,(a,b,0)已知椭圆C的方程是，倾斜角为的直线过椭圆l22ab的右焦点且交椭圆于两点。 A(x,y),B(x,y)11221(1)若椭圆的左顶点为(-2，0)，离心率e,，求椭圆C的方程; 2，若点P在椭圆C上，求的取值范(2)设向量OP,(OA，OB)(,0),围。 20.(本小题满分12分) xx232x,R设函数， fxxtttt()cos4sin
10、cos434,，,，22fx()gt()t,1其中，将的最小值记为。 gt()(1)求的表达式; 4a,1,1(2)对于区间中的某个，是否存在实数，使得不等式tagt(),21，a成立,如果存在，求出这样的及其对应的;如果不存在，请说ta明理由( 7 21(本小题满分13分) bf(1) 已知的图象在点(1，处的切线与直f(x),ax，3,2a(a,b,R)xy,3x，1线平行。 (1)求a与b满足的关系式; f(x),3lnx1,，,) (2)若0且在上恒成立，求a的取值范围。 a,8 数学文科参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，满分50分。 1(B 2.B 3.B
11、 4. D 5. D 6. D 7. D 8. B 9. A 10. C 二.填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分。 12345612311、12. 12.? 13.? 14.3 31，,15. ,102，三.解答题:本大题共6小题，共75分 16. (本小题共12分) 解:(I)设“甲获得优惠券”为事件A 因为假定指针停在任一位置都是等可能的，而题中所给的三部分的面积相等， 所以指针停在20元，10元，0元区域内的概率都是1. 2分 3顾客甲获得优惠券，是指指针停在20元或10元区域， 根据互斥事件的概率，有112P(A),，, ， 6分 3332所以，顾客甲获得优惠券面额大于0元的
12、概率是. 39 (II)设“乙获得优惠券金额不低于20元”为事件B 因为顾客乙转动了转盘两次，设乙第一次转动转盘获得优惠券金额为元， x第二次获得优惠券金额为元，则基本事件空间可以表示为: y,(20,20),(20,10),(20,0),(10,20),(10,10),(10,0),(0,20),(0,10),(0,0)， 8分 ,即中含有9个基本事件，每个基本事件发生的概率为1. 10分 9xy，,20而乙获得优惠券金额不低于20元，是指， 所以事件B中包含的基本事件有6个， 所以乙获得优惠券额不低于20元的概率为62P P(B), 9312分 N A D 17(本小题共12分) D 证明
13、:(?) 因为ABCD为菱形，所以B C M AB=BC ，,ABC60又，所以AB=BC=AC， BCAM,又M为BC中点，所以 PA,BC,而平面ABCD，平面ABCD, PAAMA,PABC,所以 又， 10 所以平面 4分 BC,AMN113SAMCM,，,31(II)因为 ,AMC222ABCD,PA,2,PA,又底面 所以 AN,11所以，三棱锥的体积 NAMC,V,SAN,AMC3133,，,1 8分 326(III)存在 取PD中点E，连结NE，EC,AE,因为N，E分别为PA，PD中点，1所以 NE/AD21 又在菱形ABCD中， ，所以，即MCEN是平NE/MCCMAD/2
14、行四边形 所以， NM/EC，又EC,平面ACE，NM,平面ACE 所以MN/平面ACE， 即在PD上存在一点E，使得NM/平面ACE， 12分。 18(本小题满分12分) nn，1nnn，1a,a，2，1a,2,a，2,2，1解:(1)由变形，得， n，1nn，1n，1nnn，1na,2,a，2(2,1)，1(a,2),(a,2),1即，所以 n，1n，1nn,a,2故数列是以为首项，1为公差的等差数a,2,01n11 列。 4分。 n(2)由(1)得所以a,2,n,1,n5分 b,log(a，1,n),nn2n11111设f(n),(1，)(1，)(1，)？(1，)， bbbbn，1234
15、n则111111f(n，1),(1，)(1，)(1，)(1，)(1，)，？ 7分。 bbbbbn，2234nn，1两式相除得:n，2n，1f(n，1)1n，1n，2，=110分 ,(1，)，n，1f(n)bn，2n，1n，2n，1313f(n)()(2)所以是关于的单调递增函数，则，故fn,f,，,nmin223实数的取值范围是k3(,) 122分。 19(本小题满分12分) c1222a,2,e,解:(1)由已知， ？c,1,b,a,c,3a2椭圆方程为？22xy，,1。 3分。 43ly,x,c.(2)直线的方程为 12 y,x,c,222222222由，得 (b，a)x,2acx，a(c
16、,b),0,xy，,1,22ab,222ac,2bc，从而y，y,。 ？x，x,12122222a，ba，b5分 2222ac,bcac,bc2222,？OA，OB,OP,OA，OB,(,)()(,)， ,22222222a，ba，ba，ba，b222ac,2bc,22()()2222a，ba，b？，,1P点在椭圆C上， 8？22ab分 22a，b2222222222,，解得 104,ac，4,bc,(a，b)24c分 2222c111a，b2a,c22220,e,1,？,？c，b,a,e,，且= ,2224c4ca442e1,0,？,又即的取值范围是,21。 12分 (,，,)220.(本小
17、题满分12分) (1)解: xx232fxxtttt()cos4sincos434,，,，22 232223,，,，sin12sin434xtxttt,，,，sin2sin433xtxttt 23,，,，(sin)433xttt ( 13 2由(sinx,t)?0，|t|?1，故当sinx,t时，f(x)有最小值g(t)， 3即g(t),4t,3t，3( 4分。 2,gttttt()1233(21)(21)1,，,， (2)( 列表如下: 1(,1，,(,，2111t , (，1) 12221) ) 22g(t) ， 0 , 0 ， 极大值g(,1G(t) ? ? ? 极小值g() 12) 2
18、1111由g(t)在区间(,1，,)和(，1)单调增加，在区间(,，)单调减22221增减性：若a0，当x时，y随x的增大而增大。小，极小值为g(),2， 2定义：在RtABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，又g(,1),4,(,3)，3,2 =0 抛物线与x轴有1个交点；故g(t)在,1，1上的最小值为2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角2 8分。 (1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.4a4又对任意的实数a，,?,2，2 21，a1a，a14 4a1a,1时，,2，对应的t,1或， 21，a214
19、a故当t,1或时，这样的a存在，且a,1，使得g(t) 成,221，a(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.立. 10分 (6)直角三角形的外接圆半径1而当t?(,1，1且t?时，这样的a不存2（6）二次函数的图象：是以直线x=h为对称轴，顶点坐标为（h，k）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）在. 12分 15 （3）二次函数的图象：是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线，二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。（1）圆周角：:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.16