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1、2016届高三文科数学总复习专项强化训练(三)数列的综合应用2016届高三文科数学总复习专项强化训练 温馨提示: 此套题为Word版请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴调节合适的观看比例答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。 专项强化训练(三) 数列的综合应用 一、选择题 1.设a,b分别为等差数列与等比数列,a=b=4,a=b=1,则下列结nn1144论正确的是( ) A.ab B.ab D.ab 22335566【解析】选A.设a的公差为d,b的公比为q, nn由题可得d=-1,q=,于是a=3b=2,故选A. 22【加固训练】若数列x,a,a,y成等差数列,x,b,b,y成等比数列,则121
2、2的取值范围是 . 【解析】由等差数列与等比数列的性质得所以=2+. 当x,y同号时,+?2;当x,y异号时,+?-2. 所以的取值范围为(-?,0?4,+?). 答案:(-?,0?4,+?) 2n2.已知数列a,b满足a=1,且a,a是函数f(x)=x-bx+2的两个nn1nn+1n零点,则b等于( ) 10A.24 B.32 C.48 D.64 n【解析】选D.依题意有aa=2, nn+12016届高三文科数学总复习专项强化训练 n+1所以aa=2.两式相除得=2, n+1n+2所以a,a,a,成等比数列,a,a,a,也成等比数列. 135246而a=1,a=2, 1245所以a=22=3
3、2,a=12=32. 1011又因为a+a=b, nn+1n所以b=a+a=64. 101011*3.设a(n?N)是等差数列,S是其前n项的和,且SS,则下nn56678列结论错误的是( ) A.dS 95D.S与S均为S的最大值 67n【解析】选C.因为a是等差数列, n2所以S=n+n. n因为SS, 56678所以S关于n的二次函数开口向下,对称轴为n=6.5, n所以d0,S与S均为S的最大值, 67nS0时,若x=n,n?N,则f(n)=f(n-1)+1=f(0)+n=n; 1若x不是整数, 则f(x)=f(x-1)+1=f(x-x-1)+x+1,其中x代表x的整数部分, 由f(x
4、)=x得f(x-x-1)=x-x-1,其中-1x-x-10,y0),已知数列a满足:a=(nnn*?N),若对任意正整数n,都有a?a(k?N)成立,则a的值为( ) nkkB.2 C.1 D.4 A.222【解析】选A.a=,=,2n-(n+1)=n-2n-1,只有当n2222n=1,2时,2n(n+1),即当n?3时,aa,故数n+1n列a中的最小项是a,a,a中的较小者,a=2,a=1,a=,故a的值为. n123123k5.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的*第一天起连续使用,第n天的维修保养费为(n?N)元,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这
5、台仪器的平均耗资最少),一共使用了 ( ) A.600天 B.800天 C.1000天 D.1200天 2016届高三文科数学总复习专项强化训练 *【解析】选B.由第n天的维修保养费为(n?N)元,可以得出观测仪的整个耗资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值. 设一共使用了n天,则使用n天的平均耗资为 =+,当且仅当=时取得最小值,此时n=800,故选B. 【方法技巧】建模解数列问题 (1)分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系. (2)构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题. (3)通过建立的
6、关系求出相关量. 【加固训练】植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( ) A.1和20 B.9和10 C.9和11 D.10和11 【解析】选D.设树苗放在第i个树坑旁边(如图所示) 则各个树坑到第i个树坑的距离的和是 S=10(i-1)+10(i-2)+10(i-i)+10(i+1)-i+10(20-i) 2=10+=10(i-21i+210). 所以当i=10或11时,S有最小值. 2016届高三
7、文科数学总复习专项强化训练 二、填空题 n+1*6.(2015?镇江模拟)设曲线y=x(n?N)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x,令a=lg x,则a+a+a的值为 . nnn1299n+1*n*【解析】因为y=x(n?N),所以y=(n+1)x(n?N),所以y|=n+1, x=1所以在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),即(n+1)x-y-n=0,当y=0时,x=,所以x=, n所以a=lgx=lg=lg n-lg(n+1), nn所以a+a+a=(lg1-lg2)+(lg2-lg3)+(lg3-lg4)+(lg99-lg100) 1299=lg1-lg1
8、00 =-2. 答案:-2 7.某厂生产微机,原计划第一季度每月增产台数相同,在生产过程中,实际二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月产量成等比数列,而第三个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台,则该厂第一季度实际生产微机 台. 【解析】原计划第一季度三个月分别生产a,a+d,a+2d台微机,现在实111际上生产了a,a+d+10,a+2d+25台.由题意得 1112d10,d20d5a1000,，,，,1解得故第一季度实际生产微机台数是,a80,ad70,，,1,13a+3d+35=305. 1答案:305 2016届高三文科数学总复习专项强化训练 8.数
9、列a的前n项和为S,若数列a的各项按如下规律排列: nnn,有如下运算和结论: ?a=; 24?数列a,a+a,a+a+a,a+a+a+a,是等比数列; 12345678910?数列a,a+a,a+a+a,a+a+a+a,的前n项和为T=; 12345678910n?若存在正整数k,使S10,S?10,则a=. kk+1k其中正确的结论有 .(将你认为正确的结论的序号都填上) 【解析】依题意,将数列a中的项依次按分母相同的项分成一组,第nn组中的数的规律是:第n组中的数共有n个,并且每个数的分母均是n+1,分子由1依次增大到n,第n组中的各数和等于=, 对于?,注意到21=24=28,因此数列
10、a中的第24项应是n第7组中的第3个数,即a=,因此?正确. 24对于?,设b为?中的数列的通项,则b=,显然该数列nn是等差数列,而不是等比数列,其前n项和等于=,因此?不正确,?正确. 对于?,注意到数列的前6组的所有项的和等于=10,因此满足条件的a应是第6组中的第5个数,即a=,因此?正确. kk综上所述,其中正确的结论有?. 答案:? 三、解答题 9.(2014?天津高考)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合n-1M=0,1,2,q-1,集合A=x|x=x+xq+xq,x?M,i=1,2,n. 12ni2016届高三文科数学总复习专项强化训练 (1)当q=2,n=3时,用列举法
11、表示集合A. n-1n-1(2)设s,t?A,s=a+aq+aq,t=b+bq+bq,其中a,b?12n12niiM,i=1,2,n,证明:若ab,则st. nn【解析】(1)当q=2,n=3时,M=0,1,A=x|x=x+2x+4x,x?M,i=1,2,3.123i可得,A=0,1,2,3,4,5,6,7. n-1n-1(2)由s,t?A,s=a+aq+aq,t=b+bq+bq,a,b?12n12niiM,i=1,2,n及ab,可得 nnn-2n-1s-t=,a-b,+,a-b,q+,a-b,q+,a-b,q 1122n-1n-1nnn-2n-1?,q-1,+,q-1,q+,q-1,q-q
12、所以,s2时,|a|=a=3n-7,此时这个数列从第三项起是一个公差为3的等nn差数列,故 S=|a|+|a|+a+a+a n1234n=(4+1)+2+5+(3n-7) =5+=-+10. 所以S=这个式子中n=2时两段函数值相等,故n可以写为S= n方法二:设数列a的前n项和为T, nn则T=-. n由于n?2时,|a|=-a, nn所以此时S=-T=-+; nn当n2时, S=(-a-a)+(a+a+a) n1234n=-T+(T-T)=T-2T=-+10. 2n2n2所以S=这个式子中n=2时两段函数值相等,n故可以写为 2016届高三文科数学总复习专项强化训练 S= n*11.已知a
13、是由正数组成的数列,a=1且点(,a)(n?N)在函数n1n+12y=x+1的图象上. (1)求数列a的通项公式. nan(2)若数列b满足b=1,b=b+,求证:b?b. 2n1n+1nnn+2+1【解题提示】(1)由点在函数图象上即可得出a与a的关系,从而可写n+1n出通项公式.(2)结合(1)找出b与b的关系式,从而可得b,然后利用n+1nn作差法比较大小. 【解析】(1)由已知,得a=a+1,得a-a=1, n+1nn+1n又a=1, 1所以数列a是以1为首项,1为公差的等差数列. n故a=1+(n-1)1=n. nn(2)由(1),知a=n,从而b-b=2. nn+1nn-1n-2n
14、b=(b-b)+(b-b)+(b-b)+b=2+2+2+1=2-1. nnn-1n-1n-2211nn+2n+12 因为bb-=(2-1)(2-1)-(2-1)nn+2+12n+2n+2n2n+2n+1=(2-2-2+1)-(2-22+1) nnn=-52+42=-20, 所以bb. nn+2+1【方法技巧】数列与函数的综合一般体现在两个方面: (1)以数列的特征量n,a,S等为坐标的点在函数图象上,可以得到数列nn的递推关系. (2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数,然后利用函数的性质2016届高三文科数学总复习专项强化训练 求解数列问题. 【加固训练】已知数列a的前n项和为S,对一切
15、正整数n,点P(n,S)nnnn2都在函数f(x)=x+2x的图象上,且过点P(n,S)的切线的斜率为k. nnn(1)求数列a的通项公式. n*(2)设Q=x|x=k,n?N,R=x|x=2a,n?N,等差数列c的任一项cnnnn?Q?R,其中c是Q?R中的最小数,110c115,求c的通项公式. 110n2【解析】(1)因为点P(n,S)都在函数f(x)=x+2x的图象上, nn2*所以S=n+2n(n?N). n当n?2时,a=S-S=2n+1, nnn-1当n=1时,a=S=3满足上式, 11所以数列a的通项公式为a=2n+1. nn*(2)因为Q=x|x=2n+2,n?N,R=x|x
16、=4n+2,n?N, 所以Q?R=R. 又因为c?Q?R,其中c是Q?R中的最小数, n1所以c=6,因为c的公差是4的倍数, 1n*所以c=4m+6(m?N). 10又因为110cc成立. n+1n【解题提示】 【解析】(1)由已知,得S-S-(S-S)=1, n+2n+1n+1n所以a-a=1(n?1). n+2n+1又a-a=1, 21所以数列a是以a=2为首项,1为公差的等差数列. n1所以a=n+1. n又b+2=4(b+2), n+1n所以b+2是以4为首项,4为公比的等比数列. nn所以b=4-2. nn(2)由(1)知a=n+1,b=4-2, nnnn-1n+1则c=4+(-1
17、)2, n2016届高三文科数学总复习专项强化训练 n+1nnn+2n-1n+1要使cc成立,需c-c=4-4+(-1)2-(-1)20恒成n+1nn+1n立, nn-1n+1即34-3(-1)20恒成立, n-1n-1所以(-1)2恒成立. n-1n-1?当n为奇数时,即2恒成立,当且仅当n=1时,2有最小值1,所以-2恒成立,当且仅当n=2时,-2有最大值-2,所以-2. 结合?可知-2c成立. n+1nn【误区警示】遇到式子中含有(-1)的问题时要注意分n为奇数与偶数两种情况进行讨论,本题的易错点就是忘掉对n的奇偶性的讨论. 2【加固训练】已知等差数列a的公差为2,其前n项和S=pn+2
18、n(n?nn*N). (1)求p的值及a. n(2)若b=,记数列b的前n项和为T,求使T成立的最小正nnnn整数n的值. 【解题提示】 【解析】(1)方法一:因为a是公差为2的等差数列, n2所以S=na+d=na+2=n+(a-1)n. n1112又由已知S=pn+2n, n2016届高三文科数学总复习专项强化训练 所以p=1,a-1=2, 1所以a=3, 1所以a=a+(n-1)d=2n+1, n1所以p=1,a=2n+1. n方法二:由已知a=S=p+2,S=4p+4, 112即a+a=4p+4, 12所以a=3p+2. 2又此等差数列的公差为2, 所以a-a=2, 21所以2p=2,
19、 所以p=1, 所以a=p+2=3, 1所以a=a+(n-1)d=2n+1, n1所以p=1,a=2n+1. n方法三:由已知a=S=p+2, 1122所以当n?2时,a=S-S=pn+2n-p(n-1)+2(n-1)=2pn-p+2, nnn-1所以a=3p+2, 2由已知a-a=2,所以2p=2,所以p=1, 21所以a=p+2=3,所以a=a+(n-1)d=2n+1, 1n1所以p=1,a=2n+1. n(2)由(1)知b=-, n所以T=b+b+b+b n123n2016届高三文科数学总复习专项强化训练 =+=1-=. 因为T, n所以, 所以20n18n+9,即n, *又n?N,所以
20、使T成立的最小正整数n=5. n13.某工厂年初用98万元购买一台新设备,第一年设备维修及燃料、动力消耗(称为设备的低劣化)的总费用12万元,以后每年都增加4万元,新设备每年可给工厂收益50万元. (1)工厂第几年开始获利? (2)若干年后,该工厂有两种处理该设备的方案:?年平均获利最大时,以26万元出售该设备;?总纯收入获利最大时,以8万元出售该设备.问哪种方案对工厂合算? 【解析】(1)由题设每年费用是以12为首项,4为公差的等差数列, 设第n年时累计的纯收入为f(n). 所以f(n)=50n-12+16+(4n+8)-98 2=40n-2n-98. 22获利即为:f(n)0,所以40n-
21、2n-980?n-20n+490?10-n0 抛物线与x轴有2个交点；2016届高三文科数学总复习专项强化训练 =1597.8(元). (1)三边之间的关系：a2+b2=c2；(3)设每月初应存入x元, 3、认真做好培优补差工作。 开展一帮一活动，与后进生家长经常联系，及时反映学校里的学习情况，促使其提高成绩，帮助他们树立学习的信心与决心。（6）二次函数的图象：是以直线x=h为对称轴，顶点坐标为（h，k）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）则有x =2000, (3)若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.（切点圆心要相连）解得x?125.2. 7.同角的三角函数间的关系：所以每月初应存入125.2元. 5.二次函数与一元二次方程关闭Word文档返回原板块