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1、2014届高考数学一轮复习名师首选：第8章43空间向量及其运算学案43 空间向量及其运算 导学目标: 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的共线与垂直证明直线、平面的平行和垂直关系( 自主梳理 1(空间向量的有关概念及定理 (1)空间向量:在空间中，具有_和_的量叫做空间向量( (2)相等向量:方向_且模_的向量( (3)共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(a?0)，b与a共线的充要条件是_( (4)共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量
2、p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数对?(x，y)，使得p,xa，yb，推论的表达式为MP,xMA，yMB或对空间任意一点O有，OP,?_或OP,xOA，yOB，zOM，其中x，y，z,_. (5)空间向量基本定理 如果三个向量e，e，e不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，123z)，使得p,_，把e，e，e叫做空间的一个基底( 1232(空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 若a,(a，a，a)，b,(b，b，b)， 123123则a?b,_. (2)共线与垂直的坐标表示 设a,(a，a，a)，b,(b，b，b)， 123123若b?0，则a?b?_
3、?_，_，_， a?b?_?_(a，b均为非零向量)( (3)模、夹角和距离公式 设a,(a，a，a)，b,(b，b，b)， 123123则|a|,a?a,_， a?bcosa，b,_. |a|b|若A(a，b，c)，B(a，b，c)， 111222?则|AB|,_. 3(利用空间向量证明空间中的位置关系 若直线l，l，l的方向向量分别为v，v，v，平面，的法向量分别为n，n，利121212用向量证明空间中平行关系与垂直关系的基本方法列表如下: 平行 垂直 l直线 ?l?v?v?v,v(为121212l?l?v?v?v?v,0 121212与直线 非零实数) ?l?v?n?v?n,0 11直线
4、 ?l?v,xv，yv其中v，l?v?n?v,1211与平面 v为平面内不共线向量，x， n(为非零实数) 21y均为实数 平面 ?n?n?n,n(?n?n?n?n,12121212与平面 为非零实数) 0 自我检测 1(若a,(2x,1,3)，b,(1，,2y,9)，且a?b，则x,_，y,_. ?2(如图所示，在平行六面体ABCDABCD中，M为AC与BD的交点，若AB,a，AD,11111111?，,，则用，表示为_( bAAcBMabc113(在平行六面体ABCDABCD中，已知?BAD,?AAB,?AAD,60?，AB?,3，AD,4，AA,5，则|AC|,_. 4(下列4个命题:
5、?若p,xa，yb，则p与a、b共面; ?若p与a、b共面，则p,xa，yb; ?若MP,xMA，yMB，则P、M、A、B共面; ?若P、M、A、B共面，则MP,xMA，yMB. 其中真命题是_(填序号)( 5(A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点_(填共面或不共面). 探究点一 空间基向量的应用 例1 已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB,OC，求证:PM?QN. 变式迁移1 如图，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，则异面直线AF和CE所成角的余弦值为_( 探究点二
6、 利用向量法判断平行或垂直 例2 两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，?EBC,90?，点M、N分别在BD、AE上，且AN,DM. (1)求证:MN?平面EBC;(2)求MN长度的最小值( 变式迁移2 如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB,2，AF,1，M是线段EF的中点( 求证:(1)AM?平面BDE;(2)AM?面BDF. 探究点三 利用向量法解探索性问题 例3 如图，平面PAC?平面ABC，?ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC,16，PA,PC,10. (1)设G是OC的中点，证明FG?平面
7、BOE; (2)在?AOB内是否存在一点M，使FM?平面BOE,若存在，求出点M到OA，OB的距离;若不存在，说明理由( 变式迁移3 已知在直三棱柱ABCABC中，底面是以?ABC为直角的等腰直角三角形，111AC,2a，BB,3a，D为AC的中点，E为BC的中点( 1111(1)求直线BE与AC所成的角的余弦值; 1(2)在线段AA上是否存在点F，使CF?平面BDF,若存在，求出AF;若不存在，请说11明理由( 1(向量法解立体几何问题有两种基本思路:一种是利用基向量表示几何量，简称基向量法;另一种是建立空间直角坐标系，利用坐标法表示几何量，简称坐标法( 2(利用坐标法解几何问题的基本步骤是
8、:(1)建立适当的空间直角坐标系，用坐标准确表示涉及到的几何量(2)通过向量的坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系(3)根据运算结果解释相关几何问题( 课后练习 (满分:90分) 一、填空题(每小题6分，共48分) 1(下列命题: ?若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB，BC，CD，DA,0; ?|a|,|b|,|a，b|是a、b共线的充要条件; ?若a、b共线，则a与b所在直线平行; ?对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP,xOA，yOB，zOC(其中x、y、z?R)则P、A、B、C四点共面(其中不正确命题的序号为_( ?2(若A、B、C、D是空间中不共面的四点，且满足AB
9、?AC,0，AC?AD,0，AB?AD,0，则?BCD的形状是_三角形( 3. 如图所示，在三棱柱ABCABC中，AA?底面ABC，AB,BC,AA，?ABC,90?，11111点E、F分别是棱AB、BB的中点，则直线EF和BC所成的角等于_( 114(设点C(2a，1，a，1,2)在点P(2,0,0)、A(1，,3,2)、B(8，,1,4)确定的平面上，则a,_. 5(在直角坐标系中，A(,2,3)，B(3，,2)，沿x轴把直角坐标系折成120?的二面角，则AB的长度为_( ?6.如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若EF,(AB，DC)，则,_. 7(在正方体
10、ABCDABCD中，给出以下向量表达式: 1111?(AD,AA),AB; ?(BC，BB),DC; 111111?(AD,AB),2DD; ?(BD，AA)，DD. 11111?其中能够化简为向量BD的是_(填所有正确的序号) 1?8(如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB,2，E为PB的中点，cosDP，AE3,，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为3_( 二、解答题(共42分) 9(14分) 如图所示，已知ABCDABCD是棱长为3的正方体，点E在AA上，点F11111在CC上，且AE,FC,1. 11(1)求证:E、B、F、D四点共
11、面; 12(2)若点G在BC上，BG,，点M在BB上，GM?BF，垂足为H，求证:EM?平面BCCB. 111310(14分)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD?平面ABCD，NB?平面ABCD，且MD,NB,1，E为BC的中点( (1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值; (2)在线段AN上是否存在点S，使得ES?平面AMN,若存在，求线段AS的长;若不存在，请说明理由( 11. (14分)如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点( (1)求证:MN?AB，MN?CD; (2)求MN的长; (3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值(
12、 学案43 空间向量及其运算 答案 自主梳理 ?1(1)大小 方向 (2)相同 相等 (3)存在实数，使b,a (4)OM，xMA，yMB 1 (5)xe，ye，ze 1232(1)ab，ab，ab (2)a,b a,b a,b a,b (?R) a?b,0 112233112233ab，ab，ab,0 112233ab，ab，ab112233222222(3)a，a，a ,a,a,，,b,b,，,c,c, a，a，a?b，b，b123123自我检测 131. , 622x1313解析 ?a?b，?,，?x,，y,. 1,2y962112(,a，b，c 22?解析 BM,BA，AA，AM 11
13、1111?,AB，AA，AB，AD 111,22,111,a，c，(a，b),a，b，c. 2223.97 ?解析 ?AC,AB，BC，CC,AB，AD，AA， ?2222222?|AC|,AB，AD，AA，2AB?AD，2AD?AA，2AA?AB,3，4，5，234cos 60?，245cos 60?，235cos 60?,97， ?|AC|,97. 4(? 解析 ?正确(?中若a、b共线，p与a不共线，则p,xa，yb就不成立(?正确(?中若M、A、B共线，点P不在此直线上，则MP,xMA，yMB不正确( 5(共面 ?解析 AB,(3,4,5)，AC,(1,2,2)，AD,(9,14,16
14、)，设AD,xAB，yAC， 即(9,14,16),(3x，y,4x，2y,5x，2y)( ,x,2,?A、B、C、D四点共面( ，从而 y,3,课堂活动区 例1 解题导引 欲证a?b，只要把a、b用相同的几个向量表示，然后利用向量的数量积证明a?b,0即可，这是基向量证明线线垂直的基本方法( 证明 如图所示 . ?设OA,a，OB,b，OC,c. 11?OM,(OB，OC),(b，c)， 2211?ON,(OA，OC),(a，c)， 2211?,，,PMPOOMa，(b，c) 221,(b，c,a)， 211?,，,QNQOONb，(a，c) 221,(a，c,b)( 21?PM?QN,c,
15、(a,b)c，(a,b) 411?2222,c,(a,b),(|OC|,|BA|) 44?|,|，?,0. ABOCPMQN?即PM?QN，故PM?QN. 2变式迁移1 3?解析 设AB，AC，AD为空间一组基底， 11?则AF,AB，AC， 221111?CE,CA，CD,CA，(AD,AC) 22221?,AC，AD. 2111?,?AF?CE,AB，AC?,AC，AD ,22,2,1111?2,AB?AC,AC，AB?AD，AC?AD 22441111?2222,AB,AC，AB，AC 42881?2,AC. 233?2又|AF|,|CE|,|AC|，?|AF|CE|,|AC|. 241
16、?2AC,?AF?CE22?cosAF，CE,. ,?33?2|AF|CE|AC|42?异面直线AF与CE所成角的余弦值为. 3例2 解题导引 ?如图所示，建立坐标系后，要证MN平行于平面EBC，只要证MN的横坐标为0即可( ?(1)证明 如图所示，以BA、BC、BE为单位正交基底建立空间直角坐标系， 则A(1,0,0)，D(1,1,0)， E(0,0,1)，B(0,0,0)， ANDM?设,，则MN,MD，DA，AN,BD，DA，AE AEDB(1,1,0)，(0，,1,0)，(,1,0,1),(0，,1，)( ,?00，x,y0，在平面直角坐标系中，?的内部区域可表示为不等式组xOyAOB
17、 , ,x,y8.,经检验，点M的坐标满足上述不等式组( 所以，在?AOB内存在一点M，使FM?平面BOE. 9由点M的坐标，得点M到OA，OB的距离分别为4，. 4变式迁移3 解 (1)以点B为原点，以BA、BC、BB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空1间直角坐标系，则(0,0,0)，)， BB(0,0,3a1?ABC为等腰直角三角形， 2?AB,BC,AC,2a， 2?A(2a,0,0)，C(0，2a,0)，C(0，2a,3a)， 1,23E，A(2a,0,3a)， ,10，a，a,22,?23?BE,，AC,(,2a，2a，,3a)， 10，a，a,2272a,?BE?AC2
18、71431?cosBE，AC,. ,1143?11|BE|AC|1a13a27143?直线BE与AC所成的角的余弦值为. 1143(2)假设存在点F，使CF?平面BDF， 1?并设AF,AA,(0,0,3a),(0,0,3a) (00，?同理，BD?BC0，CD?CB0.?BDC为锐角三角形( 3(60? 解析 如图建立坐标系，设AB,BC,AA,2，则E(0,1,0)，F(0,0,1)，C(2,0,2)， 11?EF,(0，,1,1)，BC,(2,0,2)， 121?cosEF，BC,. 122?8?EF与BC所成的角是60?. 14(16 ?解析 由PC,PA，PB得: 12(2a,1，a
19、，1,2),(,1，,3,2)，(6，,1，4)， 12,，6,2a,112,3,a，1，?12 解得a,16. , ,2，4,2,125(211 解析 过A、B分别作AA?x轴，BB?x轴，垂足分别为A和B，则AA,3，AB,5， 1111111BB,2， 1?AB,AA，AB，BB， 1111?2222222?AB,AA，AB，BB，2AA?BB,3，5，2，232cos 60?,44. 111111?|AB|,211. 16. 2?解析 ?EF,EA，AB，BF， ?又,， EFEDDCCF11?2,，?,(，)，?,. EFABDCEFABDC227(? ?解析 ?(AD,AA),AB
20、,AD,AB,BD; 11111?(BC，BB),DC,BC,DC,BD; 1111111?(AD,AB),2DD,BD,2DD?BD; 111?(BD，AA)，DD,BD，(AA，DD) 11111111?,BD?BD. 1118(1,1,1) y?,解析 设,DP,y0，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，y)，E1，1，DP(0,0，y)， ,2,y?,AE,1，1，. ,2,12y?DPAE2y3?cos，,. DPAE,22?3y8，y|DP|AE|y 2，4解得y,2，?E(1,1,1)( 9(证明 (1) 建立如图所示的空间直角坐标系， ?则BE,(3,0,1)，B
21、F,(0,3,2)， ?BD,(3,3,3)(3分) 1?所以BD,BE，BF. 1?故BD、BE、BF共面( 1又它们有公共点B，?E、B、F、D四点共面(7分) 12?,(2)设M(0,0，z)，则GM,0，,，z. ,3,?而BF,(0,3,2)， 2?由题设，得GM?BF,3，z?2,0，得z,1.(10分) 3?M(0,0,1)，?ME,(3,0,0)( ?又BB,(0,0,3)，BC,(0,3,0)，?ME?BB,0， 11?ME?BC,0，从而ME?BB，ME?BC. 1又?BB?BC,B，?ME?平面BCCB.(14分) 11110. 解 (1)如图所示，以点D为坐标原点，建立
22、空间直角坐标系Dxyz. 依题意，得D(0,0,0)， A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)， 1,E，1，0.(2分) ,2,1?,?NE,，0，,1， ,2,?AM,(,1,0,1)(4分) 1,?NE?AM210?cosNE，AM,， ?105|NE|?|AM|2210?异面直线NE与AM所成角的余弦值为. 10(7分) (2)假设在线段AN上存在点S，使得ES?平面AMN. ?AN,(0,1,1)，可设AS,AN,(0，)， 1?,又EA,，,1，0， ,2,1?,?ES,EA，AS,，,1，.(9分) ,2,由ES?平面AMN， 1
23、?,ES?AM,0，,，,0，,2得(11分) 即,? ,ES?AN,0，,1,，,0.,1112?,故,，此时AS,0，|AS|,. 2222,2经检验，当AS,时，ES?平面AMN. 2(2)如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.（直径添线成直角）故线段AN上存在点S， 8.直线与圆的位置关系2使得ES?平面AMN，此时AS,.(14分) 2?11(1)证明 设AB,p，AC,q，AD,r. 由题意可知:|p|,|q|,|r|,a，且p、q、r三向量两两夹角均为60?. 11?MN,AN,AM,(AC，AD),AB 221,(q，r,p)，(2分) 2（7）二次函数的性质：1?MN?A
24、B,(q，r,p)?p 25、能掌握一些常见的数量关系和应用题的解答方法，逐步提高解答应用题的能力。12,(q?p，r?p,p) 21222,?cos 60?，?cos 60?,),(aaa0. 2若a0，则当x时，y随x的增大而减小。?MN?AB.又?CD,AD,AC,r,q， 1?MN?CD,(q，r,p)?(r,q) 2122,(q?r,q，r,q?r,p?r，p?q) 21222222,(acos 60?,a，a,acos 60?,acos 60?，acos 60?) 2,0，?MN?CD.(4分) 1?(2)解 由(1)可知MN,(q，r,p)， 2（1）理解确定一个圆必备两个条件:
25、圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.1?222?|MN|,MN,(q，r,p) 41222,q，r，p，2(q?r,p?q,r?p) 42221aaa222，,，,，aaa2, 4，,222,，21a2,2a,. 4222?|MN|,a，?MN的长为a.(9分) 22一锐角三角函数?(3)解 设向量AN与MC的夹角为. 11?AN,(AC，AD),(q，r)， 221?MC,AC,AM,q,p， 211?,?AN?MC,(q，r)?q,p 2,2,1112,q,q?p，r?q,r?p 222,111,2222,a,a?cos 60?，a?cos 60?,a?cos 60? 2,22,22221aaaa2,a,，,.(12分) 2,424,23?又?|AN|,|MC|,a， 23.余弦：?AN?MC,|AN|?|MC|?cos ， 233a即a?a?cos ,. 222(1)如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.（圆心向弦作垂线）2?cos ,，(13分) 3如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.22?向量AN与MC的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.(14分) 33