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1、2014届高考数学二轮复习考前突击整合训练：专题二答题模板专题二 万能答题模板助你解题得高分 数学解答题题型解读 数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能(目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题(要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力( 针对不少同学答题格式不规范，出现“会而不对，对而不全”的问题，规范每种题型的万能答题模板，按照规范的解题程序和答题格式分步解答，实现答题步骤的最优化( 万能答题模板以数学方法为载体，清晰
2、梳理解题思路，完美展现解题程序，把所有零散的解题方法与技巧整合到不同的模块中，再把所有的题目归纳到不同的答题模板中，真正做到题题有方法，道道有模板，使学生从题海中上岸，知点通面，在高考中处于不败之地，解题得高分( 模板1 三角函数的性质问题 12,例1 已知函数f(x),cosx，g(x),1，sin 2x. ,12,2(1)设x,x是函数y,f(x)图象的一条对称轴，求g(x)的值; 00(2)求函数h(x),f(x)，g(x)的单调递增区间( 审题破题 (1)由x,x是y,f(x)的对称轴可得g(x)取到f(x)的最值;(2)将h(x)化00成y,Asin(x，)的形式( 1，,，解 (1
3、)f(x),1，cos2x， 2，,6,，因为x,x是函数y,f(x)图象的一条对称轴， 0所以2x，,k (k?Z)， 06即2x,k, (k?Z)( 0611,所以g(x),1，sin 2x,1，sink,，k?Z. 0022,6,113,当k为偶数时，g(x),1，sin,1,. 02,6,44115当k为奇数时，g(x),1，sin ,1，,. 02644(2)h(x),f(x)，g(x) 11,1，cos2x，1，sin 2x 2,6,213,31,， ,cos 2x，sin 2x22,2213,sin2，. x,232当2k,?2x，?2k， (k?Z)， 2325即k,?x?k，
4、(k?Z)时， 121213,函数h(x),sin2x，是增函数( 2,3,2故函数h(x)的单调递增区间为 5，k,，k， (k?Z)( ，1212，第一步:三角函数式的化简，一般化成y,Asin(x，)，h的形式，即化为“一角、 一次、一函数”的形式; 第二步:由y,sin x、y,cos x的性质，将x，看做一个整体，解不等式，求角的 范围或函数值的范围; 第三步:得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果; 第四步:反思回顾，检查公式使用是否有误，结果估算是否有误( 2,跟踪训练1 已知函数f(x),2cos x?sinx，,3sinx，sin xcos x，1. ,3,(1)
5、求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)的最大值及最小值; (3)写出函数f(x)的单调递增区间( ,132解 f(x),2cos x,3sinx，sin x?cos x，1 sin x，cos x,2222,2sin xcos x，3(cosx,sinx)，1 ,sin 2x，3cos 2x，1 ,2sin2x，1. ,3,2(1)函数f(x)的最小正周期为,. 2,(2)?,1?sin2x，?1， ,3,?,1?2sin2x，1?3. ,3,?当2x，,，2k，k?Z，即x,，k，k?Z时，f(x)取得最大值3; 32125当2x，,，2k，k?Z，即x,，k，k?Z时，f(x)
6、取得最小值,1. 3212(3)由,，2k?2x，?，2k，k?Z， 2325得,，k?x?，k，k?Z. 12125，?函数f(x)的单调递增区间为,，k，k (k?Z)( ，1212，模板2 三角函数与向量、三角形 例2 在锐角?ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且3(tan A,tan B),1，tan A?tan B，又已知向量m,(sin A，cos A)，n,(cos B，sin B)，求|3m,2n|的取值范围( 审题破题 由已知A，B关系式化简，利用向量的数量积求出|3m,2n|并化简为一个角的三角函数形式( 解 因为3(tan A,tan B),1，tan
7、A?tan B， tan A,tan B33所以,，即tan(A,B),， 1，tan A?tan B33又?ABC为锐角三角形，则0A，0B， 22所以,A,B，所以A,B,. 226222又|3m,2n|,9m，4n,12m?n ,13,12sin(A，B),13,12sin2B，. ,6,又0C,(A，B)，0A,，B， 2625所以B，所以2B，0，且a?1)的图象上的一点(等比数列an,3,的 项和为(),.数列 (0)的首项为，且前项和满足,，前nfncbbcnSSSSnnnnn,1nS (n?2)( n,1(1)求数列a和b的通项公式; nn,11 001,(2)若数列的前n项和
8、为T，问满足T的最小正整数n是多少, nnbb2 012,nn，1,11x,解 (1)?f(1),a,，?f(x),. 3,3,1由题意知，a,f(1),c,c， 132,af(2),c,f(1),c,， 292a,f(3),c,f(2),c,. 327是等比数列， 又数列an42a81212?a,c，?c,1. 1a2333,27a1212,n,1又公比q,，?a,? na33,3,11n*,2? (n?N)( ,3,?S,S,(S,S)(S，S) nn,1nn,1nn,1,S，S (n?2)( nn,1又b0，S0，?S,S,1. nnnn,1?数列S构成一个首项为1、公差为1的等差数列，
9、 n2S,1，(n,1)?1,n，即S,n. nn22当n?2时，b,S,S,n,(n,1),2n,1， nnn,1当n,1时，b,1也适合此通项公式( 1*?b,2n,1 (n?N)( n1111(2)T,， nbbbbbbbb122334nn，11111,， 1?33?55?7,2n,1,?,2n，1,11111111111,?1,，?,，?,，?, 2,3,2,35,2,57,2,2n,12n，1,n11,?1,. 2,2n，1,2n，1n1 0011 001由T,n， ，得n2n，12 012101 001?满足T的最小正整数n的值为101. n2 012模板7 概率与统计问题 例7
10、某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:毫米)有关(据统计，当X,70时，Y,460;X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为:140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200, 140,110,160,220,140,160. (1)完成下列频率分布表: 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 142 频率 202020(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电
11、站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率( 审题破题 (1)直接根据已知数据计算频率填表;(2)将频率视为概率，将所求事件写成几个互斥事件的和，然后根据概率加法公式计算( 解 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，160毫米的有7个，200毫米的有3个(故近20年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 70 110 140 160 200 220 134732 频率 202020202020(2)由题意知，当X,70时，Y,460; X每增加10，Y增加5， X,70X故Y,460，5?,，425. 102P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”) ,P(
12、Y530),P(X210) ,P(X,70)，P(X,110)，P(X,220) 1323,，,. 202020103故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为. 10第一步:理解题目中的数据和变量的意义，完成频率分布表; 第二步:利用互斥事件的概率公式求概率、作答. 跟踪训练7 (2013?陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下: 组别 A B C D E人数 50 100 150 150 50 (1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中
13、抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人(请将其余各组抽取的人数填入下表( 组别 A B C D E人数 50 100 150 150 50 抽取人数 6 (2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评 委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率( 解 (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表: 组别 A B C D E人数 50 100 150 150 50 抽取人数 3 6 9 9 3 (2)记从A组抽到的3个评委为a，a，a，其中a，a支持1号歌手;从B组抽到的612312个评委为b，b，b，b，b，b，其中b，b支持1号
14、歌手(从a，a，a和b，b，b，12345612123123b，b，b中各抽取1人的所有结果为: 456由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有ab，ab，ab，ab1112212242共4种，故所求概率P,. 189模板8 离散型随机变量的分布列问题(理) 例8 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即2闯关成功(已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是. 3(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率; (2)设甲答对题目的个数为，求的分布列及数学
15、期望( 审题破题 (1)对“甲、乙至少一人闯关成功”进行标记、分解，再利用概率公式求解;(2)确定的所有取值，计算所有取值对应事件的概率写出分布列( 解 (1)设甲、乙闯关成功分别为事件A、B， 12?CC4122212742312则P(A),，P(B),(1,)，C?(1,),，,， 33C205333279276则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是 171281,P(A?B),1,P(A)?P(B),1,?,. 527135(2)由题意知的可能取值是1,2. 12213CC，CC1C442424P(,1),，P(,2),， 33C5C566则的分布列为 1 2 14 P 55149?(),1
16、?，2?,. E555第一步:求解离散型随机变量的分布列及其期望与方差，首先分清事件的构成与 性质，确定离散型随机变量的取值; 第二步:根据概率类型选择公式求解变量取每一个值的概率; 第三步:列出分布列的表格; 第四步:最后根据期望与方差的定义式或计算公式求解其值; 第五步:反思回顾，根据分布列性质检验结果是否正确，计算是否正确. 跟踪训练8 某师范大学地理学院决定从n位优秀毕业生(包括x位女学生，3位男学生)中选派2位学生到某贫困山区的一所中学担任第三批顶岗实习教师，每一位学生被选派的机会是相同的( 3(1)若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为，试求出n与x的值; 5(2)在(1)的条件
17、下，记X为选派的2位学生中女学生的人数，写出X的分布列( 3解 (1)若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为，而从n位优秀毕业生中选派25n,n,1,2位学生担任第三批顶岗实习教师的总方法数为C,，2位学生中恰有1位女n211学生的方法数为CC,(n,3)?3. n,3311CCn,3,3,3n,33依题意可得,， 2Cn,n,1,5n22化简得n,11n，30,0，解得n,5，n,6. 12当n,5时，x,5,3,2;当n,6时，x,6,3,3. 故所求的值为或 (2)当时，可能的取值为0,1,2， X02CC323X,0表示只选派2位男生，这时P(X,0),， 2C10511CC323X
18、,1表示选派1位男生与1位女生，这时P(X,1),， 2C5520CC123X,2表示只选派2位女生，这时P(X,2),. 2C105X的分布列为 X 0 1 2 331 P 10510当时，X可能的取值为0,1,2， 20CC133X,0表示只选派2位男生，这时P(X,0),， 25C611CC333X,1表示选派1位男生与1位女生，这时P(X,1),， 2C5602CC133X,2表示只选派2位女生，这时P(X,2),. 2C56X的分布列为 X 0 1 2 131 P 555模板9 圆锥曲线的定点问题 例9 已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2,21，
19、离心率为e,. 2求椭圆(1)E的方程; ?(2)过点(1,0)作直线l交E于P、Q两点，试问:在x轴上是否存在一个定点M，使MP?MQ为定值,若存在，求出这个定点M的坐标;若不存在，请说明理由( 审题破题 (1)利用待定系数法求E的方程;(2)探求定点可以先根据特殊情况找出点，再对一般情况进行证明( 22xy解 (1)设椭圆E的方程为，,1(ab0)， 22ab由已知得解得 222所以b,a,c,1. 2x2所以椭圆E的方程为y,1. ，2(2)假设存在符合条件的点M(m,0)，设P(x，y)，Q(x，y)， 1122?则,),)?,(,，)MP(xm，y，MQ(xm，y，MPMQxm)(x
20、m)，yyxxm(xx1122121212122，m，yy. 12?当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y,k(x,1)， 222由得x，2k(x,1),2,0， 2222即(2k，1)x,4kx，2k,2,0， 224k2k,2则x，x,，xx,， 1212222k，12k，12k22yy,k(x,1)(x,1),kxx,(x，x)，1,， 1212121222k，12222k,24kk?2所以MP?MQ,m?，m, 2222k，12k，12k，1222,2m,4m，1,k，,m,2,. 22，k1?因为对于任意的k值，MP?MQ为定值， 522所以2m,4m，1,2(m,2)，得m,.
21、457?,所以M，0，此时，MP?MQ,. ,4,16?当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x,1， 1则x，x,2，xx,1，yy,， 121212257?由m,，得MP?MQ,. 4165,综上，符合条件的点，0. M存在，且坐标为4,第一步:引进参数.从目标对应的关系式出发，引进相关参数.一般地，引进的参数是 直线的夹角、直线的斜率或直线的截距等; 第二步:列出关系式.根据题设条件，表达出对应的动态直线或曲线方程; 第三步:探求直线过定点.若是动态的直线方程，将动态的直线方程转化成y,y, 0k,x,x,的形式，则k?R时直线恒过定点,x，y,;若是动态的曲线方程，将动态000的 曲线
22、方程转化成f,x，y,，g,x，y,0的形式，则?R时曲线恒过的定点即是f,x， y,0与g,x，y,0的交点; 第四步:下结论; 第五步:回顾反思.在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时，引进参数的目的是 以这个参数为中介，通过证明目标关系式与参数无关，达到解决问题的目的. 2跟踪训练9 已知抛物线y,4x的焦点为F，直线l过点M(4,0)( (1)若点F到直线l的距离为3，求直线l的斜率; (2)设A，B为抛物线上的两点，且直线AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证:线段AB中点的横坐标为定值( (1)解 由已知得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y,k(x,4)，由题意知
23、抛物线的焦点坐标为(1,0)， k|3因为点F到直线l的距离为3，所以,3， 21，k22解得k,?，所以直线l的斜率为?. 22(2)证明 设线段AB中点的坐标为N(x，y)，A(x，y)，B(x，y)，因为直线AB不与001122x轴垂直，所以AB斜率存在， y4,x00所以直线MN的斜率为AB的斜率为， ，直线x,4y00x4,0直线AB的方程为y,y,(x,x)， 00y0联立方程得 x0,22消去x，得1,y,yy，y，x(x,4),0， 0000,4,y40所以y，y,， 124,x0因为N为线段AB的中点， y，yy2120所以y，即,y， ,0024,x0所以x,2.即线段AB
24、中点的横坐标为定值2. 0模板10 圆锥曲线中的范围、最值问题 22xy例10 已知双曲线,1(a1，b0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)22ab4到直线l的距离与点(,1,0)到直线l的距离之和s?c，求双曲线的离心率e的取值5范围( 审题破题 用a，b表示s可得关于a，b，c的不等式，进而转化成关于e的不等式，求e的范围( xy解 设直线l的方程为，,1，即bx，ay,ab,0. abb,a,1,由点到直线的距离公式，且a1，得到点(1,0)到直线l的距离d,， 122a，bb,a，1,同理可得点(,1,0)到直线l的距离为d,， 222，abab2ab2于
25、是,. sd，d,1222c，baab424222由s?c，得?c，即5ac,a?2c， 55c2242可得5e,1?2e，即4e,25e，25?0， 52解得?e?5. 4，5由于e1，故所求e的取值范围是,. ，5，2第一步:提取.从题设条件中提取不等关系式; 第二步:解不等式.求解含有目标参数的不等式，得到不等式的解集; 第三步:下结论.根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中几何量的范围，得到所求参 数的取值范围; 第四步:回顾反思.根据题设条件给出的不等关系求参数的取值范围，要考虑圆锥曲 线自身的一些几何意义，如离心率的范围，圆锥曲线的定义中的a，b，c的大小关 系等. 2跟踪训练10 椭
26、圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为2，离心率为，直2?线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且AP,3PB. (1)求椭圆C的方程; (2)求m的取值范围( 22yx (1)设椭圆解C的方程为，,1(ab0)， 22ab222设c0，c,a,b， c22由题意，知2b,2，,，所以a,1，b,c,. 22a2x222故椭圆C的方程为y，,1，即y，2x,1. 12(2)设直线l的方程为y,kx，m(k?0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x，y)，B(x，y)， 1122222由得(k，2)x，2kmx，(m,1),0， 22222,(2km),4(k，2)(m,1
27、),4(k,2m，2)0，(*) 2,1kmm,2x，x,xx,，. 121222，2k，2k?因为AP,3PB，所以,x,3x， 12所以 2所以3(x，x)，4xx,0. 12122,2kmm,12,所以3?，4?,0. 22,，2,k，2k2222整理得4km，2m,k,2,0， 222即k(4m,1)，(2m,2),0. 12当m,时，上式不成立; 42m12,222当m?时，k,， 244m,122由(*)式，得k2m,2， 2m2,22又k?0，所以k,0. 24m,111解得,1,或1. mm2211,即所求m的取值范围为,1，,?，1. ,2,2,模板11 函数的单调性、极值、
28、最值问题 2ax,a，12例11 已知函数f(x),x?R)(其中a?R. (2x，1(1)当a,1时，求曲线y,f(x)在点(2，f(2)处的切线方程; (2)当a?0时，求函数f(x)的单调区间与极值( 审题破题 (1)直接求f(x)，得f(2)后写出切线方程;(2)求导函数f(x)后要对a进行讨论，可以列表观察函数f(x)的单调性，极值( 2x4解 (1)当a,1时，f(x),，f(2),， 2，15x22x，1,2x?2xx2,2,26又f(x),，f(2),. 222225,x，1,x，1,所以，曲线y,f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 46y,(x,2)，即6x，25y,32,0. 525222a,x，1,2x,2ax,a，1,(2)f(x), 22,x，1,2,x,a,ax，1,. 22,x，1,由于a?0，以下分两种情况讨论( 1?当a,0，令f(x),0，得到x,，x,a. 12a当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表: 111 (,?，,) ,(,，a) x (a，?) a aaaf(x) , 0 ， 0 , f(x) ? 极小值 ? 极大值 ? 1,所以()在区间,?，,，(，?)内为减函数， fxa,a,1,在