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1、2014届高考数学二轮核心考点冲关演练：导数的几何意义以及应用考点9 导数的几何意义以及应用 【考点分类】 导数的几何意义 热点一 421.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】已知曲线在点yxax,，1-12，a，处切线的斜率为8，a=( ) ，(A)9 (B)6 (C)-9 (D)-6 ykxx,，ln1,k2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理】若曲线在点，x处的切线平行于轴,则_. k,3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)文科】若曲线在点(1，yxR,(),2)处的切线经过坐标原点，则= . ,4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试
2、(江西卷)理】设函数在内可导，fx()(0,)，,xx,且则=_. fexe(),，f(1)5.,2012年高考,课标文,曲线在点(1,1)处的切线方程为_ yxx,，(3ln1)【答案】 430xy,【方法总结】 求曲线的切线方程有两种情况，一是求曲线y,f(x)在点P(x，y)处的切线方程，00其方法如下: (1)求出函数y,f(x)在点x,x处的导数，即曲线y,f(x)在点P(x，f(x)处切线的000斜率( (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y,y，f(x)(x,x)(如000果曲线y,f(x)在点P(x，f(x)处的切线平行于y轴，由切线定义可知，切线方程00为x
3、,x. 0二是求曲线y,f(x)过点P(x，y)的切线方程，其方法如下: 00(1)设切点A(x，f(x)，求切线的斜率k,f(x)，写出切线方程( AAA(2)把P(x，y)的坐标代入切线方程，建立关于x的方程，解得x的值，进而写00AA出切线方程( 热点二 导数的几何意义的应用 7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】已知函数 f(x),x,alnx(a,R)(1)当时，求曲线在点处的切线方程; y,f(x)A(1,f(1)a,2(2)求函数的极值. f(x)x8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理】已知函数. fxx()e,R(?) 若直线y,kx，1与f
4、(x)的反函数的图像相切, 求实数k的值; 2 (?) 设x0, 讨论曲线y,f (x) 与曲线 公共点的个数. ymxm,(0)fafb()()，fbfa()(), (?) 设ab, 比较与的大小, 并说明理由. 2ba,22eegxg()(2),，所以()时，两曲线有1m,2个交点; min4422ee()时，两曲线有2=m1个交点;()时，两曲线没有交点。3m,44(?) ababbaba,fafbfbfaeeeeee()()()()11，,，,，,a,e()222bababa,baba,()(1)2(1)baee,，,a,e2()ba,？abbat,0令ttateee(1)2(1)，,
5、at，？,，,上式etet(2)2aa，ee22ttt，而,？,，,tet，tttt令，则恒成立gttetgtte()(2)2()(3)10,，,，,fafbfbfa，,故,？,gtg()(0)00(2)20ba,9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)理】已知a,R，函数2232()()()() f(x),x,3x，3ax,3a，3.2(?)求曲线在点处的切线方程; y,f(x)(1,f(1)(?)当时，求的最大值. x,0,2|f(x)|23340,afxf()|(2)|,当时，所以，所以此时,a134|()|()12(1)1fxfxaa,，,; max12x10.【20
6、13年全国高考新课标,I,理科】已知函数f(x),x，ax，b，g(x),e(cx，d)，若曲线y,f(x)和曲线y,g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y,4x+2. (?)求a，b，c，d的值 (?)若x?,2时，f(x)?kg(x)，求k的取值范围. 11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理】 lnx设l为曲线C:在点(1，0)处的切线. y,x(I)求l的方程; (II)证明:除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方. 解析 利用导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，最后化为一般式.要证曲线C在直线l的下方，只a12.【2013年普通高等学校招
7、生全国统一考试(福建卷)文科】已知函数()1fxx,，xe(为自然对数的底数) aRe,1,()fxxa(?)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值; yfx,()，(?)求函数的极值; fx()a,1k(?)当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值. lykx:1,yfx,()1 (*) kx,，1xe在上没有实数解( R1,k,1?当时，方程(*)可化为，在上没有实数解( R0xe13.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】 x已知函数fxx()e,R. (?) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; 12yx,，x1 (?) 证明: 曲线y = f (
8、x) 与曲线有唯一公共点. 2ab，,fbfa()(),f (?) 设ab, 比较与的大小, 并说明理由. ,2,ba,【解析】本题涉及函数与导数，为压轴题.本题第一问涉及了求导与指数函数的反函数.属于导函数的基本应用，体现了压轴题的低切入点特征.本题第二问考查曲线与曲线的公共点个数，到了第二问，考查难度平稳提升.第三问比较大小可采用作差构造，再求导，并综合考察基本不等式的应用.第三问考查细致入微，需要思考分析.具有一定的区分度.本题命题常规，难度大. 14.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)文科】 32aR,知，函数 fxx()2,，3(1)6axaxa,1 (?)若，求曲线
9、yfx,()在点(2,(2)f处的切线方程. |1a,fx()0,2|a (?)若，求在闭区间上的最小值. 32【答案】(?)当a,1时，所fxxxxf()266(2)1624124,，？,，,2,yfx,()(2,(2)f以，所以在fxxxf()6126(2)242466,，？,，,处的切线方程是:15.【2013年全国高考新课标(I)文科】 x2已知函数，曲线在点处切线方程为fxeaxbxx()()4,，,yfx,()(0,(0)f. yx,，44(?)求的值; ab,(?)讨论的单调性，并求的极大值. fx()fx(),f(0)4,xxab,4【答案】(1)，故，解得; fxeaxbae
10、x()()24,，,f(0)4,f(0)4,x2xxx(2)，;fxexxx()(44)4,，,fxexexxe()(44)424(2)(42),，,，,1x,0x,2x令，所以或，所以当变化时，、变化如下表所fx()fx()x,lnln22示: x ,2,ln2 (,2),(2,ln2),(ln2,),，,+ 0 - 0 + fx() 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 fx()4所以极大值. f(2)4,2e16.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文】 2 已知函数. fxxxxx()sincos,，(?)若曲线在点处与直线相切，求a与b的值. yfx,()(,(
11、)afayb,(?)若曲线与直线有两个不同的交点，求b的取值范围. yfx,()yb,13aR,17.,2012年高考,重庆理,设其中,曲线在点yfx,()fxaxx()ln1,，22x处的切线垂直于轴. (1,(1)fya(?) 求的值; (?) 求函数的极值. fx()lnxk，18.,2012年高考,山东文,已知函数为常数,e=2.71828是自然对数的底fxk()(,xe数),曲线在点处的切线与x轴平行. yfx,()(1,(1)f(?)求k的值; (?)求的单调区间; fx(),2,(?)设,其中为的导函数.证明:对任意.xgx,，0,()1egxxfx()(),fx()fx()n1
12、9.,2012年高考,湖北文,设函数,n为正整数,为常数, fxaxxbx()(1)(0),，,ab,曲线在处的切线方程为. yfx,()(1,(1)fxy，,1(1)求的值; ab,(2)求函数的最大值; fx()1(3)证明:. fx(),nenn1n，1n，1,所以,即 (),e，1n，(1)nnennn1,由(2)知,故所证不等式成立. fx()，1n，(1)nne2320.,2012年高考,北京文,已知函数(a,0),. fxax()1,，gxxbx(),，(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求的值; yfx,()ygx,()ab,(2)当时,求函数在区间上的最大
13、值为28,求k的取值范围. ab,3,9fxgx()()，,2k23a,021.,2012年高考,北京理,已知函数(),. fxax()1,，gxxbx(),，c(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值; yfx,()ygx,()ab,2(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值. ab,4fxgx()()，(,1,122.,2012年高考,安徽文,设定义在(0,+)上的函数 ,fxaxba()(0),，,ax(?)求的最小值; fx()3(II)若曲线在点处的切线方程为,求的值. yfx,()(1,(1)fab,yx,2113 ? ,fxafa()(1),2ax
14、a2由?得: ab,2,1【考点剖析】 一(明确要求 1.了解导数概念的实际背景( 2.理解导数的几何意义( 3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数( 4.,理,能求简单的复合函数,仅限于形如f,ax+b,的复合函数,的导数. 二(命题方向 1.导数的运算是导数的基本内容在高考中每年必考一般不单独命题而在考查导数应用的同时进行考查( 2.导数的几何意义是高考重点考查的内容常与解析几何知识交汇命题( 3.多以选择题和填空题的形式出现有时也出现在解答题中关键的一步. 三(规律总结 一个区别 曲线y,f(x)“在”点P(xy)处的切线与“过”点P(xy)的切线00
15、00的区别: 曲线y,f(x)在点P(xy)处的切线是指P为切点若切线斜率存在00时切线斜率为k,f(x)是唯一的一条切线,曲线y,f(x)过点P(x00y)的切线是指切线经过P点点P可以是切点也可以不是切点0而且这样的直线可能有多条( 两种法则 (1)导数的四则运算法则( (2)复合函数的求导法则( 三个防范 1(利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号防止与乘法公式混淆( 2(要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别( 3(正确分解复合函数的结构由外向内逐层求导做到不重不漏( 【考点模拟】 一(扎实基础 1. 【湖南师大附中2013届高三第六次月考】曲线在x,1处的切线的
16、斜率是( ) yx,lg11A. B. ln10 C. D( ,lge,lgeln1022. 【广东省惠州市2013届四月高三第一次模拟考试】设为曲线C:上yxx,，23P,，C的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为 PP0,4，( ) 11，,1,00,1A( B( C( D( ,1,1, 22，y,x(x,1)(x,2),3lnx3. 【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】曲线在点(1,0)处的切线方程为( ) 4x,y,4,04x，y,4,0 (A) (B) 3x,y,3,03x，y,3,0 (C) (D) 1324. 【广西百所高中2013届高三年级
17、第三届联考】已知曲线与yxxx,，2y,212x在 处切线的斜率的乘积为3，则的值为( ) xx,x001 A(-2 B(2 C( D(1 225. 【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】经过曲线上点fxxx()(2)1,，(1,(1)f 处的切线方程为( ) A( B( C( D( xy，,210210xy，,xy,，,10xy，,101xx,06. 【山东省烟台市2012-2013学年度第一学期模块检测】曲线在点处的切y,()2线方程是( ) A( B. x，yln2,ln2,0xln2，y,1,0 C. D. x,y，1,0x，y,1,0 x27. 【山 西 省20122013年度
18、高三第二次诊断考试】曲线yee,在点(2,)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) e2222 A( B( C( D( e2e4e2【答案】D 2x2kyee,【解析】?点(2,)e在曲线上，?切线的斜率，?切线的方程为,xx2222222，即，与两坐标轴的交点坐标为，?yeex,(2)exye,0(0,),e(1,0)21e2 Se,，,1223128. 【北京东城区普通校20122013学年高三第一学期联考】若曲线的某y,x，x,22一切线与直线平行，则切点坐标为 ，切线方程为 ( y,4x，39. 【广州市2013届高三年级1月调研测试】若直线是曲线的切线，yxm,，2yxx,ln
19、则实数m的值为 . x10. 【2013安徽省省级示范性高中名校高三联考】函数的图像在点fxex()cos,处的切线方程是 . Af(0,(0)二(能力拔高 11. 【2013年“江南十校”高三学生第二次联考(二模)测试】若曲线在点yxx,，sin1,处的切线与直线互相垂直，则实数m=( ) (,1)，mxy，,21022A( B( C(2 D(1 ,2,112. 【河北省保定市2013年高三第一次模拟考试】设函数f(x),sinx,的图象与直线y,kx(k,0)有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为，则等于( ) ,A.,cos B. tan C. sin D. ,13. 【201
20、3年安徽省马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测】若是在内的一个零点，则对下列不等式恒成立的是fxxxx()sincos,(0,2),x(0,2),( ) sinsinx,sinx3,A( B. C. D. ,coscosxx,2cos2x,x14,31，14. 【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试】曲线在点处的y,x，x,33,切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) 1122A. B. C. D. 9393【答案】B 15. 【山东省烟台市2012-2013学年度第一学期模块检测】( 某厂将原油精炼为汽油，需对 原油进行冷却和加热，如果第小时,原油温度(单位:?)为 x132，那么原油
21、温度的瞬时变化率的最小值为( ) f(x),x,x，8(0,x,5),320A(8 B( C(-1 D(-8 3216. 【云南玉溪一中2013届第四次月考试卷】已知函数是偶函fxxmxm()(1)2,，x,1数，且在处的切线方程为，则常数的积等于fx()(2)30nxy,mn,_. 4y,17. 【天津市新华中学2011-2012学年度第一学期第二次月考】已知点在曲线Pxe，1,上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是_. P00. 135180,18. 【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】(本小题共13分) aa,R已知，函数( fxx()ln1,，,xa
22、,1(?)当时，求曲线在点处的切线方程; yfx,()(2,(2)f0,e(?)求在区间上的最小值( fx()，,19.【广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟】(本小题满分14分) 2已知函数，gxfxaxbx()(),，函数的图象在点处的切线fxx()ln,gx()(1,(1)gx平行于轴( ab(1)确定与的关系; gx()2 ()试讨论函数的单调性;ni,1*(3)证明:对任意，都有成立( nN,，,ln1，,n2,1ii20. 【北京市东城区普通校2012-2013学年第二学期联考试卷】 12已知函数 f(x),x,ax，(a,1)lnx2a,2(?)若，求函数在(1，)处的切
23、线方程; f(x)f(1)(?)讨论函数的单调区间 f(x)12a,2解:(1)当时， f(x),x,2x，lnx2三(提升自我 21. 【2013年安徽省安庆市高三模拟考试(三模)】 32已知函数的图像都过点P(2,0)，且它们在点P处有公共f(x),ax,8x与g(x),bx，cx切线. (1)求函数和的表达式及在点P处的公切线方程; f(x)g(x)mg(x)(2)设的单调区间. F(x),，ln(x,1)，其中m,R，求F(x)8x3解: (1)?过点f(x),ax,8xP(2,0), 22. 【吉林市普通高中20122013学年度高中毕业班下学期期末复习检测】 ,ax(,)x,(a,
24、0)6e已知定义在的函数fxex()tan,，在处的切线斜率为 422af(x)(?)求及的单调区间; ,x,0,)f(x),mxm (?)当时，恒成立，求的取值范围. 2,m,1则对于任意，必存在，使得 g(k),0k,(0，)2必存在x,(0,k)使得g(x),0则在(0,x)为负数， g(x)00023. 【四川省成都高新区高2013届第4学月统一检测】 x已知函数,其中,且函数的图象在点gxa()e1,fxaxb()ln(),，a,0b,0fx()处的切线与函数的图象在点处的切线重合, Af(0,(0)gx()Bg(0,(0),?,求实数a,b的值, xm,0,xm,?,若,满足,求实
25、数的取值范围, ，x00gx()1，0,?,若,试探究与的大小,并说明你的理由, xx,0fxfx()(),gxx(),21212124. 【江西省南昌市2013届二模考试】 2已知函数 g(x),2aln(x，1)，x,2xa,0(1)当时，讨论函数的单调性: g(x)(2)若函数的图像上存在不同两点A，B，设线段AB的中点为P(x,y)，使得f(x)f(x)00l在点Q(x,f(x)处的切线与直线AB平行或重合，则说函数是“中值平衡函数”，f(x)00l切线叫做函数的“中值平衡切线”.试判断函数是否是“中值平衡函数”,若f(x)g(x)是，判断函数的“中值平衡切线”的条数;若不是，说明理由
26、. g(x)145.286.3加与减（三）2 P81-8325. 【山东省济南市2013届高三高考第一次模拟考试】(本小题满分14分) 2xeaR,已知函数，其中是自然对数的底数，( fxaxxe()(1),，,a,1(1)若，求曲线在点处的切线方程; f(x)(1,f(1)a,0(2)若，求的单调区间; fx()1132()a,1(3)若，函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，f(x)gx,x，x，m32m求实数的取值范围. 2x(3)由(2)知，在上单调递减，在单调递增，在fxxxe()(1),，,(,1,1,00,，,)上单调递减， 圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（
27、即定长）。3圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。f(,1),x,1x,0 所以在处取得极小值，在处取得极大值. fx()f(0),1e4.二次函数的应用： 几何方面10分 11232(), 由，得. g(x),x，xgx,x，x，m32等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。【考点预测】 1.设函数f(x)在R上是可导的偶函数，且满足f (x,1),f (x，1)，则曲线y=f (x)在点x=10处的切线的斜率为( ) A.,1 B. 0 C. 1 D. 2 二次函数配方成则抛物线的1 即切线方程为， yx,，1(1)2112 即为，将改写成xy,， yx,y
28、x,，9切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长想等，圆外切四边形对边相等，直角三角形内切圆半径公式.221、会数、会读、会写100以内的数;在具体情境中把握数的相对大小关系;能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。11 将改写成 xy,12yx,，2211112321 因此. Syydyyyy,，,，,(12)()()|11,00333324.已知函数 () fxxaxbx(),，ab,R的图象如下图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影 1部分)的面积为，则a的值为 ( 12(1)二次函数yax2的图象：是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线。是二次函数的特例，此时常数b=c=0.