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1、2009届高考数学快速提升成绩题型训练数列求通项公式2009届高考数学快速提升成绩题型训练数列求通项公式 1,1. 设数列a的前项的和S=(a-1) (n)( ,Nnnn3(?)求a;a; 12(?)求证数列a为等比数列( nn2 已知数列a的前n项和S满足:S=2a +(-1),n?1( nnnn(?)写出求数列a的前3项a,a,a; n123(?)求数列a的通项公式; n1117，,(?)证明:对任意的整数m4，有. aaa845mfxx()62,aS3. 已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点yfx,()nn,(,)()nSnN,均在函数的图像上( yfx,()
2、na(?)求数列的通项公式; n1m,bT(?)设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m( b,nN,T,nnnnaa20，1nn2(2n,1),a4. 若数列满足:( a,2,a,a,(n,2)n1nn,1nna,Ca求证:?; ?是偶数 ( n2nnkk5. 已知数列，且, 其中k=1,2,3,. a中a,1a,a，(,1)a,a，3n122,12，12kkkka,a(I) 求; 351 (II)求 a的通项公式. n*n,1a6. 设是常数，且，()( n,Na,2a，30nn,1nn,1n3(1)2，,n,1(2)a,a，证明:( n05n,a 已知数列的前n项和S满足
3、7.San,，,2(1),1(nnnn,a,a,a;a(?)写出数列的前3项 123n,a(?)求数列的通项公式( nna,2a，3,28. 已知数列满足，求数列的通项公式。 aa,2a，n1nn1n9. 已知数列a满足a,a，2n，1，a,1，求数列a的通项公式。 nn，1n1nna,a，2,3，1，a,3aa10. 已知数列满足，求数列的通项公式。 n，1n1nnna,3a，2,3，1，a,3aa11. 已知数列满足，求数列的通项公式。 n，1n1nn2 na,2(n，1)5,a，a,312. 已知数列满足，求数列的通项公式。 aan，1n1nn满足，则的通项13. 已知数列aa,1，a,
4、a，2a，3a，？，(n,1)，(n,1)a(n,2)an1n123n,1n1n,1，, a,n!n，n,2,2,na,2a，3,5，a,614. 已知数列满足，求数列的通项公式。 aan，1n1nnna,3a，5,2，4，a,115. 已知数列a满足，求数列a的通项公式。 n，1n1nn2a,2a，3,n，4n，5，a,116. 已知数列a满足，求数列a的通项公式。 n，1n1nnn5a,2,3aaa,7a17. 已知数列满足，求数列的通项公式。 ，n1nn1n3 n3(n1)2，a,a，a,518. 已知数列满足，求数列的通项公式。 aan1n1，nn8(n1)8，aaa19. 已知数列满
5、足，求数列的通项公式。 ,，,aan，1n1nn229(2n1)(2n3)，1a,(1，4a，1，24a)，a,1满足，求数列的通项公式。 20. 已知数列aan，1nn1nn1621a,24n21. 已知数列满足a,，a,4，求数列的通项公式。 aan，11nn4a，1n7a,2na,，a,222. 已知数列a满足，求数列a的通项公式。 n，11nn2a，3n4 答案: 111111. 解: (?)由,得 ? 又,即,得a,S,(a,1)a,(a,1)S,(a,1)a，a,(a,1)1. a,2411 (?)当n1时, a,S,S,(a,1),(a,1),nnn,1nn,133a111n,a
6、 得所以是首项,公比为的等比数列( ,na222n,12. 解:?当n=1时,有:S=a=2a+(-1), a=1; 11112,有:S=a+a=2a+(-1)a=0; 当n=2时,212223当n=3时,有:S=a+a+a=2a+(-1),a=2; 312333综上可知a=1,a=0,a=2; 123nn,1?由已知得: aSSaa,，,2(1)2(1)nnnnn,11n,1化简得: aa,，,22(1)nn,122nn,1上式可化为: aa，,，,(1)2(1)nn,13322n1故数列是以为首项, 公比为2的等比数列. a，,a，,(1)(1)1n3321122nn,1nnnn,12故
7、? a，,a,(1)22(1)2(1)nn333332nn,2a数列的通项公式为:. a,2(1)nn31113111，,，?由已知得: 232mm,aaa,，,221212(1)45m3111111,， mm,2,2391533632(1)11111 ,，1235112111111 ,，1235102011(1),m,5141422152,， ,，,m,5123235521,257m,5. ,()085 1117故，,( m4). aaa845m23. 解:(?)设这二次函数f(x),ax+bx (a?0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x,2,得 2a=3 , b=,2, 所
8、以 f(x),3x,2x. ,2(,)()nSnN,S又因为点均在函数的图像上，所以,3n,2n. yfx,()nn22,(3n,1),2(n,1)当n?2时，a,S,S,(3n,2n),6n,5. ,nnn1,2当n,1时，a,S,31,2,61,5，所以，a,6n,5 (). nN,11nS(2006年安徽卷)数列的前项和为， na,nn12已知( aSnannn,1,1,2,，nn12SSS(?)写出与的递推关系式，并求关于n的表达式; n,2，nn,1nSn，1/nT(?)设，求数列的前n项和( b,fxxbfppR,，nnnnnn2222解:由得:，即，所Snann,1n,2SnSS
9、nn,()1(1)1nSnSnn,，nnnnn,nn,11nn，1以，对成立( SS,1n,2nn,1nn,1nn，1nn,132n，1由，相加得:，SS,1SS,1SS,1SSn,21nn,1nn,1221n1nn,1nn,1221n2n1S,又，所以，当时，也成立( Sa,n,1n111n，2Snnn，11/nn(?)由，得( ,bfpnp,fxxx，nnn1，nn231nn,而， Tpppnpnp,，,，23(1)n2341nn， pTpppnpnp,，,，23(1)nnpp(1),23111nnnn,，(1),，,PTpppppnpnp( n1,pan2(2,1)n,4. 证明:由已知
10、可得: ann,1naaa235(2n1),？,nn,12a,？,a又= 1naaan!n,1n,21n(2n)!2,4,6,？(2n,2)2n,1,3,5？(2n,1)235(2n1),？,nC,而= 2nn!n!,n!n!,n!6 nnna,C所以，而为偶数( a,C,2Cn2n22,1nnna,3,a,135. 解(?)(略) 35kkk (II) a,a，3,a，(,1)，32，122,1kkkkk 所以 ，为差型 a,a,3，(,1)2，12,1kka,(a,a)，(a,a)，？(a,a)，a 故 2k，12k，12k,12k,12k,3311kk,1kk,1,(3，3，？3)，(,
11、1)，(,1)，？，(,1)，1 k，131k=，(,1),1( 22kk3131kk,1kka,a，(,1),，(,1)，(,1),1,，(,1),1( 2k2k,12222所以a的通项公式为: n2n，1n,2312当n为奇数时，; a,，(,1)，,1n22nn2312当n为偶数时， ( a,，(,1)，,1n221n,a，,36. 方法(1):构造公比为2的等比数列，用待定系数法可知( ,n5,aaa13nnnn,1n(,2),，,()方法(2):构造差型数列，即两边同时除以 得:，从而可以用,1nnn32,(2)(2),(2),累加的方法处理( 方法(3):直接用迭代的方法处理: n
12、,1n,2n,12n,2n,1 a,2a，3,2(,2a，3)，3,(,2)a，(,2)3，3nn,1n,2n,22n,32n,2n,1 ,(,2)(,2a，3)，(,2)3，3n,332n,3n,2n,1 ,(,2)a，(,2)3，(,2)3，3,？n,3nn,10n,21n,322n,3n,2n,1,(,2)a，(,2)3，(,2)3，(,2)3，？(,2)3，(,2)3，30nn,1n3(1)2，,n,(,2)a，( 05nS,2a，(,1),n,1.7. 分析: -? nna,S,2a,1,a,1.由得 -? 1111a，a,2a，1a,0由得，得 -? n,21222a，a，a,2a
13、,1a,2由得，得 -? n,312333n,1用代n得 -? S,2a，(,1)n,1n,1n,1n?: a,S,S,2a,2a，2(,1),1,1nnnnnn即 -? a,2a,2(,1),1nnnn,1n22n,1n,a,2a,2(,1),22a,2(,1),2(,1),2a,2(,1),2(,1)nn,1n,2n,22n,1n,1n,22nn,2n,1,？,2a,2(,1),2(,1),？2(,1), ,2，(,1)137 aaaa33nn，1n，1nn，1na,2a，3,28. 解:两边除以，得，则， 2,，,，n1nn，1nn，1n222222aaa323n1n故数列是以为首，以为
14、公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，1(n1),，,11n222222n31na,(n,)2所以数列的通项公式为。 ann229. 解:由 a,a，2n，1n，1n得 a,a,2n，1n，1n则 a,(a,a)，(a,a)，？，(a,a)，(a,a)，annn,1n,1n,232211,2(n,1)，1，2(n,2)，1，？，(2,2，1)，(2,1，1)，1,2(n,1)，(n,2)，？，2，1，(n,1)，1 (n,1)n,2,，(n,1)，122a,n所以数列的通项公式为 annna,a，2,3，110. 解:由 ，n1nna,a,2,3，1得 ，n1n则a,(a,a)，(a,a)
15、，？，(a,a)，(a,a)，a nnn,1n,1n,232211n,1n,221,(2,3，1)，(2,3，1)，？，(2,3，1)，(2,3，1)，3 n,1n,221,2(3，3，？，3，3)，(n,1)，3n3,3n所以 a,2,，n，2,3，n,1n1,3nn，1a,3a，2,3，111. 解:两边除以，得 3，n1naa21n，1n， ,，n，1nn，133338 aa21n，1n则， ,，n，1nn，13333aaaaaaaaaa,n3nnn1n1n2n2211()()()()故 ,，,，,，？，,，,nnn2n2n321aa33333333,n1n1212121213 ()()
16、()(),，？，nn,1n,223333333332(n,1)11111 ,，(，？，)，1nnn,1n,223333331n1,(1,3)na2(n,1)2n113n,，1,，,因此， nn31,33232,3211nnan33,，,则 n322annn，1a,2(n，1)5,a，a,312. 解:因为，所以，则,2(n，1)5， a,0n，1n1nanaaaa,3nn12a,？,a则 n1aaaa,n1n221n,1n,221,2(n,1，1)5,2(n,2，1)5？2,(2，1),5,2,(1，1),5,3 n,1(n,1)，(n,2)，？，2，1,2,n,(n,1),？,3,2,5,3
17、 所以数列a的通项公式为 nn(n1),n1,2 a,3,2,5,n!na,a，2a，3a，？，(n,1)a(n,2)13. 解:因为 ? n123n,1所以a,a，2a，3a，？，(n,1)a，na ? n，1123n,1na,a,na所以?式,?式得 n，1nn则a,(n，1)a(n,2) n，1n9 an1，则 ,n，1(n,2)anaaa,3nn1所以 a,？,an2aaa,n1n22n!,n(n,1),？,4,3,a,a ? 222由，取n=2得，则，又知，则，a,a，2a，3a，？，(n,1)a(n,2)a,a，2aa,aa,1a,1n123n,12122121代入?得 n!a,1
18、,3,4,5,？,n,。 n2n，1na，x,5,2(a，x,5)14. 解:设 ? n，1nnnn，1na,2a，3,52a，3,5，x,5,2a，2x,5将代入?式，得，等式两边消去，得2a，n1nnnnnn，1nn3，x,5,2x，两边除以，得，则x=,1，代入?式， 3,5，x,5,2x,55n，1na,5,2(a,5)得 ? n，1n，n1a,5n1n1，n1a,5,6,5,1a,5,0a,5a,5,1,2由?0及?式，得，则，则数列是以为首n1n1na,5nnn,1n,1na,5,1,2a,2，5项，以2为公比的等比数列，则，故。 nnn，1na，x,2，y,3(a，x,2，y)1
19、5. 解:设 ? n，1nna,3a，5,2，4将代入?式，得 ，n1nnn，1n3a，5,2，4，x,2，y,3(a，x,2，y) nnnn(5，2x),2，4，y,3x,2，3y整理得。 5，2x,3xx,5,令，则，代入?式，得 ,4，y,3yy,2,10 n，1na，5,2，2,3(a，5,2，2) ? n，1n1a，5,2，2,1，12,13,0由及?式， 1，n1a，5,2，2n，n1a，5,2，2,0,3得，则， nna，5,2，2nn1a，5,2，2a，5,2，2,1，12,13故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此n1nn,1n,1na，5,2，2,13,3a,13,3
20、,5,2,2，则。 nn2a，x(n，1)，y(n，1)，z16. 解:设 ，n12,2(a，xn，yn，z) ? n2a,2a，3,n，4n，5将代入?式，得 ，n1n222a，3,n,，4n，5，x(n，1)，y(n，1)，z n2,2(a，xn，yn，z)，则 n22a，(3，x)n，(2x，y，4)n，(x，y，z，5)n 2,2a，2xn，2yn，2zn22(3，x)n，(2x，y，4)n，(x，y，z，5),2xn，2yn，2z等式两边消去2a，得， n3，x,2xx,3,2x，y，4,2yy,10则得方程组，则，代入?式，得 ,x，y，z，5,2zz,18,22a，3(n，1)，
21、10(n，1)，18,2(a，3n，10n，18) ? ，n1n2a，3,1，10,1，18,1，31,32,0由及?式，得 12a，3n，10n，18,0 n2a，3(n，1)，10(n，1)，1822，n1a，3n，10n，18a，3,1，10,1，18,1，31,32,2则，故数列为以为首n12a，3n，10n，18n11 2n,1n，42a，3n，10n，18,32,2a,2,3n,10n,18项，以2为公比的等比数列，因此，则。 nnn5n5a,2,3a，a,7a,2,3a17. 解:因为，所以。在式两边取常用对数得a,0，a,0n，1n1，n1nnn，1? lga,5lga，nlg
22、3，lg2n，1n11设 ? lga，x(n，1)，y,5(lga，xn，y)n，1n11将?式代入?式，得，两边消去并整理，得5lga，nlg3，lg2，x(n，1)，y,5(lga，xn，y)5lgannn，则 (lg3，x)n，x，y，lg2,5xn，5ylg3,x,lg3，x,5x,4，故 ,x，y，lg2,5ylg3lg2,y,，,164,lg3lg3lg211lga(n1)，代入?式，得 n，14164lg3lg3lg212,5(lga，n，) ? n4164lg3lg3lg2lg3lg3lg212lga，,1，,lg7，,1，,0由及?式， 141644164lg3lg3lg2l
23、ga，n，,0得， n4164lg3lg3lg2lga，(n，1)，n1，4164则， ,5lg3lg3lg2lga，,n，n4164lg3lg3lg2lg3lg3lg2lga，n，lg7，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则n41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n,1lga，n，,(lg7，)5，因此n41644164111lg3lg3lg2lg3lg3lg2n,1n,1644lga(lg7)5n,，,(lg7，lg3，lg3，lg2)5n4164464111n111n1111n,1n,44,lg3,lg3,lg2,lg(7,3,3,2)5,lg(3,3,2),lg(
24、7,3,3,2)5n,1n,1n,1n,1n,11515n4n15n4n1n15n515151,n,15n15n15,16161616444444,lg(3,3,2),lg(7,3,3,2),lg(7,3,2)a,7,3,2，则。 n12 n3(n，1)2a,a18. 解:因为，所以 n，1nn,2n,1n,13(n,1),23n,23n,2 a,a,ann,1n,22(n,2)，(n,1)3(n,1),n,2,an,2n,32(n,2)，(n,1)3(n,2),23(n,1),n,2,an,33(n,3)，(n,2)，(n,1)3(n,2)(n,1)n,2,an,3 ,？n112？(n3)(
25、n2)(n1),，,，,，,3,2,3？(n,2),(n,1),n,2,a1n(n,1)n,123,n!,2,a1n(n1),n1,23,n!,2又，所以数列的通项公式为。 a,5aa,51nn8(n，1)8a,a，,a19. 解:由及，得 1n，1n229(2n，1)(2n，3)8(1，1)a,a， 2122(2,1，1)(2,1，3)88,224,，, 99,25258(21)，aa,，3222(221)(223),，,， 248348,，,25254949,8(31)，aa,，4322(231)(233),，,， 488480,，,49498181,2(2n，1),1a,由此可猜测，往下
26、用数学归纳法证明这个结论。 n2(2n，1)2(211)1,，,8a,(1)当n=1时，所以等式成立。 129(211),，2(2k，1),1a,n,k，1(2)假设当n=k时等式成立，即，则当时， k2(2k，1)13 8(k，1)a,a， k，1k22(2k，1)(2k，3)2(2k，1),18(k，1),，222(2k，1)(2k，1)(2k，3)22(2k，1),1(2k，3)，8(k，1),22(2k，1)(2k，3) 222(2k，1)(2k，3),(2k，3)，8(k，1),22(2k，1)(2k，3)222(2k，1)(2k，3),(2k，1),22(2k，1)(2k，3)22
27、(2k，3),12(k，1)，1,1, 22(2k，3)2(k，1)，1由此可知，当n=k+1时等式也成立。 *)可知，等式对任何 根据(1)(2n,N12a,(b,1)20. 解:令，则 b,1，24annnn24112a,(b,1)a,(1，4a，1，24a)故，代入得 n，1n，1n，1nn241611122(b,1),1，4,(b,1)，b n，1nn241624224b,(b，3)即 ，n1n因为，故 b,1，24a,0b,1，24a,0nnn，1n，1（6）二次函数的图象：是以直线x=h为对称轴，顶点坐标为（h，k）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）13,，bb则2b,b，3，
28、即， n，1nn，1n22周 次日 期教 学 内 容1b,3,(b,3)可化为， n，1n2156.46.10总复习4 P84-901所以b,3是以为首项，以为公比的等比数列，因此b,3,1，24a,3,1，24,1,3,2n11221111111n,1n,2n,2n,2nna()()b,3,2,(),()b,()1，24a,()，3,，则+3，即，得。 nnnn2342322212.与圆有关的辅助线14 21x,2421x,242f(x),21. 解:令x,，得，则是函数的两个不动点。x,2，x,34x,20x，24,0124x，14x，12.正弦：21a24,n2,a2a,2a24a121
29、a242(4a1)13a26,，,，,13nn，1nnnnn因为。，所以数列是以,21a24,a,3,a321a243(4a1)9a279a3,，,nnnn，1nnn3,4a1，n125.145.20加与减（三）4 P68-74a,2a,24,213113n,11n,2()为首项，以为公比的等比数列，故，则a,，3。 ,2n1399a,3a,34,3n,11n2(),197x,23x,12x, 解:令，得，则x=1是函数,的不动点。 22.2x,4x，2,0f(x)2x，34x，77a,25a,5nna,1,1,因为，所以 n1，2a，32a，3nn上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个
30、结论。35a，n2a，322121111n22,(1，),，,，所以数列是以,1为首5a55a15a1a15,a1,a1,a,12,1nnnnn，1n13、思想教育，转化观念端正学习态度。1222n，81(n1)a,项，以为公差的等差数列，则,，,，故。 n52n，3a15,n3x,17x,2f(x),x,1x,评注:本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的根，进而可推出2x，34x，7(1)二次函数yax2的图象：是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线。是二次函数的特例，此时常数b=c=0.11211,，从而可知数列为等差数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列ana1a15,a1a1,n，1nnn的通项公式。 104.305.6加与减（二）2 P57-6015