最新届高考数学温习精品题汇总_数列[宝典]优秀名师资料.doc

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1、2011届高考数学温习精品题汇总_数列宝典数列必修5 第2章 数列 ?2.1数列的概念与简单表示 重难点:理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法(列表、图象、通项公式);了解数列是一种特殊的函数;发现数列规律找出可能的通项公式( 考纲要求:?了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)(?了解数列是自变量巍峨正整数的一类函数( 经典例题:假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案:(?)每年年末加1000元;(?)每半年结束时加300元。请你选择:(1)如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元, (2)对于你而言，你

2、会选择其中的哪一种, 当堂练习: 1. 下列说法中，正确的是 ( ) A(数列1，2，3与数列3，2，1是同一个数列( B(数列l, 2，3与数列1，2，3，4是同一个数列. C(数列1，2，3，4，的一个通项公式是an=n. D(以上说法均不正确( 2巳知数列 an的首项a1=1，且an，1=2 an，1,(n?2)，则a5为 ( )A(7( B(15 C(30 D(31( 3.数列 an的前n项和为Sn=2n2，1，则a1,a5的值依次为 ( )A(2，14 B(2，18 C(3，4( D(3，18( 4.已知数列 an的前n项和为Sn=4n2 ,n，2，则该数列的通项公式为 ( )A(

3、an=8n，5(n?N*) B( an=8n,5(n?N*) ,n5(,1),a,n，,nnnN8,5(,2,),C( an=8n，5(n?2) D( 5.已知数列 an的前n项和公式Sn=n2，2n，5，则a6，a7，a8= ( ) A(40( B(45 C(50 D(55( *a,aan,Nn，8nn6.若数列前8项的值各异，且对任意的都成立，则下列数列中可取遍an前8项值的数列为 ( )aaaa2k，13k，14k，16k，1A. B. C. D.7.在数列 an中，已知an=2，an= an，2n，则a4 +a6 +a8的值为 (8.已知数列 an满足a1=1 ， an，1=c an，

4、b, 且a2 =3,a4=15,则常数c,b 的值为 .9.已知数列 an的前n项和公式Sn=n2，2n，5，则a6，a7，a8= ( 22,a，n，1a,na，aa,0nn，1nn，1nn10.设是首项为1的正项数列，且(=1，2，3，)，则它的an通项公式是=_( 11. 下面分别是数列 an的前n项和an的公式，求数列 an的通项公式:(1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n-2 n,aan，1n，n112. 已知数列 an中a1=1， (1)写出数列的前5项;(2)猜想数列的通项公式(13. 已知数列 an满足a1=0，an，1，Sn=n2，2n(n?N*)，其中Sn为 an的前n

5、项和，求此数列的通项公式( 14. 已知数列 an的通项公式an与前n项和公式Sn之间满足关系Sn=2,3an(1)求a1; (2)求an与an (n?2，n?N*)的递推关系; (3)求Sn与Sn (n?2，n?N*)的递推关系， 必修5 第2章 数列 ?2.2等差数列、等比数列n重难点:理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式，能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题( 考纲要求:?理解等差数列、等比数列的概念( n?掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式( ?能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系

6、，并能用有关知识解决相应的问题( ?了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系( 经典例题:已知一个数列an的各项是1或3(首项为1，且在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个3，即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，记该数列的前n项的和为Sn( (1)试问第2006个1为该数列的第几项, (2)求a2006; (3)求该数列的前2006项的和S2006;当堂练习: 2,5,22,11,251(数列则是该数列的( ) A(第6项 B(第7项 C(第10项 D(第11项2xx,，,6402(方程的两根的等比中项是( ) 3,6,22A( B( C( D( q,1aaa,12

7、n3( 已知为各项都大于零的等比数列，公比，则( ) aaaa，,，aaaa，,，18451845A( B( aaaa，,，aa，aa，18451845C( D(和的大小关系不能由已知条件确定4(一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为( ) 14A(12 B( C(16 D(18 111,cde5(若a、b、c成等差数列，b、c、d成等比数列，成等差数列，则a、c、e成( )A(等差数列 B(等比数列 C(既成等差数列又成等比数列 D(以上答案都不是 aaaaa,，,2aa，,14812153136(在等差数列an中，则( ) ,8,4

8、A(4 B( C(8 D( Sa53n，n5,bSn27，5n7(两等差数列an、bn的前n项和的比，则的值是( )2848532317252715A( B( C( D( SS,0,0a,01011n8(an是等差数列，则使的最小的n值是( ) 6A(5 B( C(7 D(8 SSnn9(an是实数构成的等比数列，是其前n项和，则数列 中( ) A(任一项均不为0 B(必有一项为0 C(至多有一项为0 D(或无一项为0，或无穷多项为010(某数列既成等差数列也成等比数列，那么该数列一定是( ) A(公差为0的等差数列 B(公比为1的等比数列 1,1,1,C(常数数列 D(以上都不对 aaa，1

9、39aaa，241011(已知等差数列an的公差d?0，且a1、a3、a9成等比数列，则的值是 (aaaaaa，,249aa，,1324232312(由正数构成的等比数列an，若，则 (2an1a,n，1a,7a，2a,n5213(已知数列an中，对任意正整数n都成立，且，则 (*aaaaaann，,，,19,N，a,0nn,1212191014(在等差数列an中，若，则有等式 b,19成立，类比上述性质，相应地:在等比数列bn中，若，则有等式 Sn,96n15( 已知数列2n-1an 的前n项和( ,1|a,nbn,3log,2n,b3,n,?求数列an的通项公式;?设，求数列的前n项和(a

10、aaa,，,2,12112316(已知数列an是等差数列，且( nbaxx,R，nn?求数列an的通项公式;?令，求数列bn前n项和的公式(17( 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示(甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡(乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个( 请您根据提供的信息说明: ?第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数;?到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了,请说明理由; ?哪一年的规模最大,请说明理由( aaa,d,0kkk12n18(已知数列an为等差数列，公差，an的

11、部分项组成的数列恰为等比kkk,1,5,17kkk，12312n数列，其中，求( 必修5 第2章 数列 ?2.3等差数列、等比数列综合运用 2aaaannn，1n1、设是等比数列，有下列四个命题:?是等比数列;?是等比数列;1lg|aann?是等比数列;?是等比数列。其中正确命题的个数是 ( )A、1 B、2 C、3 D、4 aaaaaaaaaa，,？q123456789n2、为等比数列，公比为，则数列是( )3q6q A、公比为的等比数列 B、公比为的等比数列 36qqC、公比为的等比数列 D、公比为的等比数列 aaaaa，,？0123101n3、已知等差数列满足，则有 ( )aa，,0aa

12、，,0aa，,0a,1 A、 B、 C、 D、4、若直角三角形的三边的长组成公差为3的等差数列，则三边的长分别为 ( )A、5，8，11 B、9，12，15 C、10，13，16 D、15，18，21aaaaaR,()？,5、数列必为 ( )A、等差非等比数列 B、等比非等差数列 C、既等差且等比数列 D、以上都不正确6、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有 A、10项 B、11项 C、12项 D、13项 ( )aa,4aaa,a1513n1n7、在等差数列中，且成等比数列，则的通项公式为 ( )an,，31an,，3an,，31a,4an

13、,，3a,4nnnnnn A、 B、 C、或 D、或231n,1,aaaa？n8、数列的前项的和为 ( )nn，1n，21,a1,a1,a1,a1,a1,a A、 B、 C、 D、以上均不正确aaaaa，,42,21S17103n109、等差数列中，则前10项的和等于 ( )A、720 B、257 C、255 D、不确定a10、某人于2000年7月1日去银行存款元，存的是一年定期储蓄;2001年7月1日他将a到期存款的本息一起取出，再加元后，还存一年的定期储蓄，此后每年7月1日他都r按照同样的方法，在银行存款和取款;设银行一年定期储蓄利率不变，则到2005年7月1日，他将所有的存款和利息全部取

14、出时，取出的钱数共有多少元, ( )aa65(1)(1)，,，rr(1)，,rr55ar(1)，arr(1)(1)，rr A、 B、 C、 D、11、在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中的数列的特点，用适当的数填入表中空格内: 年龄(岁) 30 35 40 45 50 55 60 65 收缩压(水银柱，毫米) 110 115 120 125 130 135 145 舒张压 70 73 75 78 80 83 88 aa,21xaaay,xbby,bb,xy,123122112、两个数列与都成等差数列，且，则= q13、公差不为0的等差数列的第2，3，6项

15、依次构成一等比数列，该等比数列的公比= 5aaq,4,5SS,101nnnnn14、等比数列中，前项和为，满足的最小自然数为 aS,110aaa,dd(0),10n12415、设是一个公差为的等差数列，它的前10项和，且ad,ad1n成等比数列(1)证明;(2)求公差的值和数列的通项公式(aaaa，,12,7aS164nnnn16、(1)在等差数列中，求及前项和;aaaaaS，,66,128,126nq,121nnn,n(2)在等比数列中，求(aSnnn17、设无穷等差数列的前项和为( 32a,1SS,()2kd,1k2k(1)若首项，公差，求满足的正整数; 2SS,()a2kknk(2)求所

16、有的无穷等差数列，使得对于一切正整数都有成立(18.甲、乙两大型超市，2001年的销售额均为P(2001年为第1年)，根据市场分析和预测，PP2(n,n，2)n,122甲超市前n年的总销售额为，乙超市第n年的销售额比前一年多.(I)求甲、乙两超市第n年的销售额的表达式; (II)根据甲、乙两超市所在地的市场规律，如果某超市的年销售额不足另一超市的年销售额的20,，则该超市将被另一超市收购，试判断哪一个超市将被收购，这个情况将在哪一年出现，试说明理由. 必修5 第2章 数列 数列单元检测 aa,18,a,则Sn4581. 已知等差数列的前n项和为Sn，若等于 ( D ) A(18 B(36 C(

17、54 D(72 ,abb,0(i,1,2,3,？,n)q,1nni2. 已知为等差数列，为等比数列，其公比，且，若a,ba,b111111，则 ( B ) a,ba,b6666A( B( a,ba,ba,b666666C( D(或351013n73. 在等差数列a中，3(a+a)+2(a+a+a)=24，则此数列的前13项之和为 ( D ) A(156 B(13 C(12 D(26 4. 已知正项等比数列数列an，bn=log a an, 则数列bn是 ( A ) A、等比数列 B、等差数列 C、既是等差数列又是等比数列 D、以上都不对 ,aa,a,ab5813nn5. 数列是公差不为零的等差

18、数列，并且是等比数列的相邻三项，若bb,5n2，则等于 ( B ) 55n,1n,15,()3,()33A. B. 33n,1n,13,()5,()55C. D. 6. 数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,的第1000项的值是 ( B )A. 42 B.45 C. 48 D. 517. 一懂n层大楼，各层均可召集n个人开会，现每层指定一人到第k层开会，为使n位开会人员上下楼梯所走路程总和最短，则k应取 ( D )111222,(, ,(,) ,(,，,) 111222,(,为奇数时，,(,)或,(,，,)，,为偶数时, aa,a,6,a,6,nn288. 设数列

19、是等差数列， ，Sn是数列的前n项和，则( B )A.S4,S5 B.S4,S5 C.S6,S5 D.S6,S5S3110,a,a,1S,S32qn5n1n的首项,前项和为若，则公比等于 ( B )9. 等比数列11A. B.,22 C.2 D.,210. 已知Sn是等差数列an的前n项和，若S6=36，Sn=324，Sn,6=144(n,6)，则n等于 ( D ) A(15 B(16 C(17 D(18n,79a,nan,Nn,80n，11. 已知，()，则在数列,的前50项中最小项和最大项分别是( C ) a,aa,aa,aa,a1501889950A. B. C. D.*a,log(n，

20、2)(n,Z)a,a,a？ann，(1)123n12. 已知:，若称使乘积为整数的数n为劣数， 则在区间(1，2002)内所有的劣数的和为 ( A )A(2026 B(2046 C(1024 D(1022 an13. 在等差数列中，已知a1+a3+a5=18， an-4+an-2+an=108，Sn=420，则n= . 1d,aa，a，a，？，a,60a，an14758k61,k214. 在等差数列中，公差，且，则(k?N+，k?60)的值为 . 1S,4,a,(n,N*)nnn,2an215. 已知 则 通项公式= .naSa,3且a,S，2nn1,1nn16. 已知，则= ; = (n,a

21、as,2，annn17. 若数列前n项和可表示为，则是否可能成为等比数列,若可能，求出a值;若不可能，说明理由( 18.设an为等差数列，bn为等比数列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2?b4=a3,分别求出an及bn的前n项和S10及T10. 19.已知数列an是公比为q的等比数列，Sn是其前n项和，且S3，S9，S6成等差数列(1)求证:a2 , a8, a5也成等差数列 (2)判断以a2, a8, a5为前三项的等差数列的第四项是否也是数列an中的一项，若是求出这一项，若不是请说明理由. q(q,1)aaSn1n,m20.等比数列的首项为，公比为，用表示这个数列的第n项到第mm,n

22、，1项共项的和. SSS1,34,67,9(?)计算，并证明它们仍成等比数列; (?)受上面(?)的启发，你能发现更一般的规律吗,写出你发现的一般规律，并证明. 21.某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆? 参考答案 第2章 数列 ?2.1数列的概念与简单表示 经典例题:解:(1)(?)55000元(?)63000元 (2)当n2时(?)方案 当n=2时(?)(?)方案都行 当n2时(?)方案 当堂练习: c,3c,21,b,1b,6,n

23、1.C; 2.C; 3.D; 4.D; 5.B; 6.B; 7. 46; 8. 或; 9. 45; 10. ; ,1(n1),a,nn,1，,2，3(n,2,n,N),11. 【 解】 (1) an=4n+5 (2) 11111n243512. 【 解】 (1)1, ,.(2). ,n0(,1),a,n,，2n,1(n,2,n,N),13. 【 解】 1133442214. 【 解】 (1) (2) an +1=an (n?1,n?N*)(3) Sn +1=Sn+ (n?1,n?N*)?2.2等差数列、等比数列 经典例题:(1)4022031 (2)3 (3)5928 当堂练习:1.B; 2.

24、B; 3.A; 4.B; 5.B; 6.B; 7.B;8.B; 9.D; 10.B; 13*bbbbbbnn,17,N，121217nn,1611. 12. 7 13. 1 14. 6na,nn,1n，1215. (1) (2) nnx(1)(1),，,n，1n21xx,，S,2nx,n,(1)x2,1,x，1,xan,2n,16. (1) (2) 17(1) 第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只 (2) 到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了 (3) 第2年的规模最大n31,n18( ?2.3等差数列、等比数列综合运用 341.C; 2.C; 3.C; 4.B; 5.D

25、; 6.D; 7.D; 8.D; 9.C; 10.C;11. 140，85; 12. ; 13. 3; 14. 8dan,2,2n15、(1)略;(2) 2an,21Sn,nn16、(1)，; 1qn,6aa,2,64aa,64,2qn,2,61n1n2 (2)当时，;当时，3(1)1nn,322a,d,1S,n，,n，n1nS,(S)2k2222k17、(1)当时，由得，11142223k，k,(k，k)k(k,1),0k,0k,4224 ，即，又，所以(2,S,(S)11,22S,(S)S(S),a2k,1,2k42,dnk(2)设数列的公差为，则在中分别取得2,a,a 11,，4321,

26、24ad(2ad)，,，11,a,0a,122,11 即，由(1)得或( a,0d,0d,61 当时，代入(2)得:或; 2S,(S)a,0,S,02a,0,d,0knn1k 当时，从而成立; 2a,6(n,1)S,18(S),324,S,216a,0,d,6n3391 当时，则，由，知，2S,(S)93 ，故所得数列不符合题意; 2S,(S)a,1,S,n2a,1a,1kd,0d,2d,0nn11k当时，或，当，时，从而22S,(S)a,2n,1,S,n2a,1kd,2nn1k成立;当， 时，则，从而成立，综上a,0a,1a,2n,1nnn共有3个满足条件的无穷等差数列; 或或( 11222

27、22kakdkakd(1)(1)，,，,11S,(S)2k22k另解:由得，整理得1111122222()()()0ddkdadkaaddda,，,，,，,1111k42242 对于一切正整数都11,2dd,0,42,1,2dad,0,12,d,0d,2d,0,11,22aaddda,，,0,11,1a,1a,1a,042,11,1成立，则有解之得:或或a,0a,1a,2n,1nnn所以所有满足条件的数列为:或或( 2(2)Pn,n，？S,n？n,2a2n18. (I)设甲超市第n年的年销售量为 时22Pn,n，Pn,n,，(2)(1)(1)2a,S,S,1nnn,(n,1)P22 (n,1)

28、P(n,2),？a,nP(n,1)a,Pn,1,1 又 时，. PP,？,？bbbbnn,1n,1n,2n,1n,2bn22 设乙超市第n年的年销售量为, PP,bbb,b,n,2n,321n,322 111b,b,P(，,)n12n,1222 以上各式相加得: 1111？b,P(1，,，),P(2,)n2n,1n,12222 ？n,3b,2Pa,bnnnII)显然 时 , 故乙超市将被早超市收购. (15n,11a,b11P,P(2,)n,nnn,1n,12552 令 得 得 5511,11,10,11,109？n,10n,1122 时 不成立. 而时 成立. 1a,b11115 即 n=1

29、1时 成立. 答:这个情况将在2011年出现，且是甲超市收购乙超市(数列单元检测 n,ann,121.D; 2.B; 3.D; 4.A; 5.B; 6.B; 7.D; 8.B; 9.B; 10.D;11.C;12.A;13. 20; 14. 7;15. ;3,(n,1)a,nn,2n,1(2n3)2，,S,(2n，1)2(n,2),n16. . n,aa,s,s(n,2)s,2，aas,2，annn,1nn1117. 【 解】 因的前n 项和，故=,，an,2n,21an=2n+a,2n,1,a=2n,1()(要使适合时通项公式，则必有02，a,2,a,1， na2n，1,2n,1,n,1a,

30、2(n,N)a2nn此时， ， ,aaa,1nn故当a=,1时，数列成等比数列，首项为1，公比为2，时，不是等比数列( 18. 【 解】 ?an为等差数列，bn为等比数列，?a2+a4=2a3,b2?b4=b32, 1124已知a2+a4=b3,b2?b4=a3,?b3=2a3,a3=b32, 得b3=2b32,?b3?0,?b3=,a3=.10，913554828由a1=1,a3=，知an的公差d=, ?S10=10a1+d=,. 221222由b1=1,b3=,知bn的公比q=或q=, 1010bqbq(1)(1),23123111当时当时qTqT,，,(22);,(22).1010213

31、22132,qq 19. 【 解】 (1)S3=3a1, S9=9a1, S6=6a1, 而a1?0，所以S3，S9，S6不可能成等差数列2分 n936a(1,q)a(1,q)a(1,q)a(1,q)1111S,2,，得n1,q1,q1,q1,q所以q?1，则由公式 即2q6=1+q3 ?2q6a1q=a1q+q3a1q , ?2a8=a2+a5 所以a2, a8, a5成等差数列 12(2)由2q6=1+q3=, 要以a2, a8, a5为前三项的等差数列的第四项是数列an中的第k项， 2k,aa551536k2k,k3,q,q,1,所以q,所以(,),aa442422必有ak,a5=a8,

32、a2,所以 所以2k,153(),24由k是整数，所以不可能成立，所以a2, a8, a5 为前三项的等差数列的第四项不可能也是数列an中的一项. 23262S,a(1，q，q)S,aq(1，q，q)S,aq(1，q，q),. 【 解】 (?), SS,37946,qS、S、SSS,1,34,67,94613 因为, 所以成等比数列. S、S、S(2p,r，nn,n，mp,p，mr,r，m(?)一般地、且m、n、p、r均为正整数)也成等比数列，p,12mn,12mS,aq(1，q，q，？，q)S,aq(1，q，q，？，q)p,p，m1n,n，m1， ， SSp,p，mp,nr,r，m,qr,1

33、2mSS(2p,r，n)S,aq(1，q，q，？，q)p,p，mn,n，mr,r，m1， S、S、Sn,n，mp,p，mr,r，m所以成等比数列. bbb32121. 【 解】 设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，9.直角三角形变焦关系：b,0.94b，xb,30n，1nx1万辆，每年新增汽车万辆，则 ， b,0.94b，xb,b,0.94，b,bn,2nn,1n，1nnn,1所以，当时，两式相减得:(1)二次函数yax2的图象：是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线。是二次函数的特例，此时常数b=c=0.b,b,b,b,？,0b,？,b,30b,b,0n，1nnn

34、,1n121(1)显然，若，则，即，此时二次函数配方成则抛物线的,b,bb,b,0n，1nx,30,30，0.94,1.8.21(2)若，则数列为以一年级有学生 人，通过师生一学期的共同努力，绝大部分部分上课能够专心听讲，积极思考并回答老师提出的问题，下课能够按要求完成作业，具有一定基础的学习习惯，但是也有一部分学生的学习习惯较差，学生上课纪律松懈，精力不集中，思想经常开小差，喜欢随意讲话，作业不能及时完成，经常拖拉作业，以致学习成绩较差，还需要在新学期里多和家长取得联系，共同做好这部分学生行为习惯的培养工作。b,b,x,0.06b,x,1.80.94211为首项，以为公比的等比数列，所以，n

35、b,b,0.94,，x,1.8，1nn. 4、初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受数学在日常生活中的作用,感受加减法与日常生活的密切联系,同时获得一些初步的数学活动经验，发展解决问题和运用数学进行思考的能力。b,b,0b,b,？,b,30b,b,0nn，1nn，1n121(i)若，则对于任意正整数，均有，所以，x,30,30，0.94,1.8.此时， (2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.b,b,0b,b,0x,1.8万n，1nn21(ii)当时，则对于任意正整数，均有，所以，tan1nb,b,？,b,30b,b,0.94,，x

36、,1.8n，1n1，1nn，由，得 n,1,1,0.94，bb，21,，,，,，,，,，30bbbbb？bbbnnn,1n,1n,22111,0.94 n,1,1.81,0.94，x,，300.06， n,1,1.81,0.94，x，30,60b,60nn0.06要使对于任意正整数，均有恒成立， 即 145.286.3加与减（三）2 P81-831.8x,，1.8nn1,0.94对于任意正整数恒成立，解这个关于x的一元一次不等式 , 得 ,7、每学完一个单元的内容，做到及时复习，及时考核，这样可以及时了解学生对知识的掌握情况，以便及时补差补漏。1.8,1.8x,，1.8,nf，n,，1.8n1,0.94,在n,N上的最小值n1,0.94上式恒成立的条件为:，由于关于的函数单1、第一单元“加与减(一)”。是学习20以内的退位减法，降低了一年级上学期孩子们学习数学的难度。退位减法是一个难点，学生掌握比较慢，但同时也是今后竖式减法的重点所在。所以在介绍的：数小棒、倒着数数、凑十法、看减法想加法、借助计数器这些方法中，孩子们喜欢用什么方法不统一要求，自己怎么快怎么算，但是要介绍这些方法。x,3.6调递减，所以，.