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1、2015届高考数学热点题型训练：第2章 第2节 函数的单调性与最值第二节 函数的单调性与最值 答案:? 考点一 函数单调性的判断与证明 2 例1 已知函数f(x),x，1,ax，其中a0. (1)若2f(1),f(,1)，求a的值; (2)证明:当a?1时，函数f(x)在区间0，?)上为单调减函数( 自主解答 (1)由2f(1),f(,1)， 2可得22,2a, 2，a，所以a,. 3(2)证明:任取x，x?0，?)，且xx， 121222f(x),f(x), x，1,ax, x，1，ax 12112222, x，1, x，1,a(x,x) 121222,xx12,a(x,x) ,1222x，
2、1， x，112x，x12,a,(x,x). 12,22x，1， x，112,22?0?x x，1，0x x，1， 1122x，x12?00， 12?f(x)在区间0，?)上为单调减函数( 【方法规律】 利用定义证明函数单调性的步骤 利用定义法证明函数单调性的步骤为: 取值?作差?变形?确定符号?得出结论 ax试讨论函数f(x),x?(,1,1)的单调性(其中a?0)( ，2,1x解:设,1,x,x,1， 12axaxa,x,x,xx，1,122112则f(x),f(x),. 122222x,1x,1,x,1,x,1,1212版权所有:中华资源库 22?,1,x,x,1，?x,x,0，x,1
3、,0，x,1,0，,1,xx,1，?xx，1,0. 1221121212,x,x,xx，1,2121?,0. 22,x,1,x,1,12因此，当a,0时，f(x),f(x),0， 12?f(x),f(x)，此时函数在(,1,1)上为减函数; 12当a,0时，f(x),f(x),0， 12?f(x),f(x)，此时函数在(,1,1)上为增函数( 12考点二 求函数的单调区间 例2 求下列函数的单调区间: 2(1),，2|，1; yxx12(2)y,log(x,3x，2)( 22,x，2x，1,x?0,，,自主解答 (1)由于y, 2 ,x,2x，1,x,0,，,2,x,1,，2,x?0,，,即y
4、, 2 ,x，1,，2,x,0,.,画出函数图象如图所示，单调递增区间为(,?，,1和0,1，单调递减区间为,1,0和1，?)( 122(2)令u,x,3x，2，则原函数可以看作y,logu与u,x,3x，2的复合函数( 22令u,x,3x，2,0，则x,1或x,2. 12?函数y,log(x,3x，2)的定义域为(,?，1)?(2，?)( 232又u,x,3x，2的对称轴x,，且开口向上( 22?u,x,3x，2在(,?，1)上是单调减函数，在(2，?)上是单调增函数( 1而y,logu在(0，?)上是单调减函数， 212?y,log(x,3x，2)的单调减区间为(2，?)， 2单调增区间为
5、(,?，1)( 版权所有:中华资源库 【互动探究】 2若将本例(1)中的函数变为“y,|,x，2x，1|”，则结论如何, 22解:函数y,|,x，2x，1|的图象如图所示(由图象可知，函数y,|,x，2x，1|的单调递增区间为(1,2，1)和(1，2，?);单调递减区间为(,?，1,2)和(1，1，2)( 【方法规律】 函数单调区间的求法 (1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域(对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等; (2)如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的
6、单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间( 2求函数y,x，x,6的单调区间( 222,，,6，,，,6可以看作,与,，,6的复合函数( 解:令uxxyxxyuuxx2由u,x，x,6?0，得x?,3或x?2. 2?u,x，x,6在(,?，,3上是减函数，在2，?)上是增函数，而y,u在(0，?)上是增函数( 2?y,x，x,6的单调减区间为(,?，,3，单调增区间为2，?)( 高频考点 考点三 函数单调性的应用 1(高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中( 2(高考对函数单调性的考查主要有以下几个命题角度: (1)利用函数的单调性比
7、较大小; (2)利用函数的单调性解决与抽象函数有关的不等式问题; (3)利用函数的单调性求参数; (4)利用函数的单调性求解最值(或恒成立)问题( 例3 (1)(2014?济宁模拟)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，版权所有:中华资源库 1,当xx1时，f(x),f(x)?(x,x)ab B(cba C(acb D(bac (2)(2013?天津高考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，?)上单1调递增(若实数a满足f(loga)，f(loga)?2f(1)，则a的取值范围是( ) 221,，0，A(1,2 B. ,2,，1，2C. D(0,2 ,2，,3,
8、1,，4，1，axax,(3)已知函数f(x),x?x都有满足对任意的实数12 ,logx，x?1a,fxfx12ac. ,22,1(2)由已知条件得f(,x),f(x)，则f(loga)，f(loga)?2f(1)?f(loga)，f(,222loga)?2f(1)?f(loga)?f(1)， 22又f(loga),f(|loga|)且f(x)在0，?)上单调递增， 221所以|loga|?1?,1?loga?1，解得?a?2. 222(3)据题意要使原函数在定义域R上为减函数，只需满足3a,10，,110a1，a0，当x时，y随x的增大而增大。综上所述，a的取值范围是(0,1( 1、认真研
9、读教材，搞好课堂教学研究工作，向课堂要质量。充分利用学生熟悉、感兴趣的和富有现实意义的素材吸引学生，让学生主动参与到各种数学活动中来，提高学习效率，激发学习兴趣，增强学习信心。提倡学法的多样性，关注学生的个人体验。答案:(0,1 课堂归纳通法领悟 1个防范函数单调区间的表示 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写，不能用符号“?”联结，也不能用“或”联结( 2种形式单调函数的两种等价变形 tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。，?，且0?f(x)在a，b上是增函数;,0?f(x)在a，x,xx,x1212b上是减函数( (2)
10、(x,x)f(x),f(x),0?f(x)在a，b上是增函数;(x,x)f(x),f(x),121212120?f(x)在a，b上是减函数( 6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30，南偏东45(东南方向)、南偏西为60，北偏西60。2条结论函数最值的有关结论 166.116.17期末总复习(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值(当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到( 3、学习并掌握100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)( 3种方法函数单调性的判断方法 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论( (2)复合法:同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数( (3)图象法:利用图象研究函数的单调性( 版权所有:中华资源库