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1、1目录 上页 下页 返回 结束 复习二元函数的极限二元函数的连续性2目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极限多元函数的极限3目录 上页 下页 返回 结束 说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似4目录 上页 下页 返回 结束 课内练习课内练习 p63,6(6)5目录 上页 下页 返回 结束 确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：6目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3.设 二 元函数定

2、义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上如果否则称为不连续,此时称为间断点.则称 二元函数连续.连续,7目录 上页 下页 返回 结束 直观上来看，二元连续函数的图像就是一连绵不断地曲面直观上来看，二元连续函数的图像就是一连绵不断地曲面8目录 上页 下页 返回 结束 例例5.证明在全平面连续.证证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得9目录 上页 下页 返回 结束 定理定理：若 f(P)在有界闭域 D 上连续,则*(4)f(P)必在D 上一致连续.在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定

3、理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)10目录 上页 下页 返回 结束 第二节一、一、偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算二二、高阶偏导数、高阶偏导数 偏 导 数 第九章 11目录 上页 下页 返回 结束 偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法12目录 上页 下页 返回 结束 一、一、偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法回忆一元函数的导数回忆一元函数的导数13目录 上页 下页 返回 结束 二元函数的偏导数二元函数的偏导数关于关于x的偏增量的偏增量 f(x,y)对自变量对自变量x的偏导数的偏导数14目录 上页 下页 返回 结束 关于关于y的偏增量的偏增量 f(x,y)

4、对自变量对自变量y的偏导数的偏导数15目录 上页 下页 返回 结束 偏导函数：偏导函数：16目录 上页 下页 返回 结束 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 17目录 上页 下页 返回 结束 求偏导数的方法？求偏导数的方法？比较导数的定义比较导数的定义和偏导数的定义和偏导数的定义偏导数实际上就是导数偏导数实际上就是导数18目录 上页 下页 返回 结束 求偏导数的方法求偏导数的方法要求偏导数要求偏导数只需将自变量只需将自变量y暂时看成不变的常量暂时看成不变的常量对自变量对自变量x求导数即可。求导数即可。y 视为常量要求偏导数要求偏导数只需将自变量

5、只需将自变量x暂时看成不变的常量暂时看成不变的常量对自变量对自变量y求导数即可。求导数即可。同理！19目录 上页 下页 返回 结束 解解20目录 上页 下页 返回 结束 课内课内练习练习解解21目录 上页 下页 返回 结束 注注也可以先将也可以先将 代入，得一元函数代入，得一元函数然后对然后对x求导：求导：课内课内练习练习22目录 上页 下页 返回 结束 例例2证证幂函数求导公式幂函数求导公式指数函数求导公式指数函数求导公式23目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求的偏导数.解解:同理，由对称性，得同理，由对称性，得24目录 上页 下页 返回 结束 利用对称性求偏导数的一个小窍门：利用对称性

6、求偏导数的一个小窍门：如果函数如果函数f(x,y)关于自变量关于自变量x和和y对称：对称：则则例如例如25目录 上页 下页 返回 结束 偏导数记号是一个例例4.已知理想气体的状态方程求证:证证:说明说明:(R 为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,26目录 上页 下页 返回 结束 二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义27目录 上页 下页 返回 结束 导数导数 反映出曲线反映出曲线 在点在点P()处的处的倾斜程度倾斜程度曲线越陡，导数越大。曲线越陡，导数越大。28目录 上页 下页 返回 结束 29目录 上页 下页 返回 结束 30目录 上页 下页 返回 结束 31目录

7、 上页 下页 返回 结束 32目录 上页 下页 返回 结束 33目录 上页 下页 返回 结束 二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线对 y 轴的34目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系35目录 上页 下页 返回 结束、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，36目录 上页

8、 下页 返回 结束 偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系37目录 上页 下页 返回 结束 38目录 上页 下页 返回 结束 高阶偏导数高阶偏导数39目录 上页 下页 返回 结束 二、高阶偏导数二、高阶偏导数设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:40目录 上页 下页 返回 结束 类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为z=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶偏导数为41目录 上页 下页 返回 结束 42目录

9、上页 下页 返回 结束 例例5.求函数解解:注意注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及 43目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,二二者者不不等等44目录 上页 下页 返回 结束 则定理定理.例如例如,对三元函数 u=f(x,y,z),说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续连续时,有而初等(证明略)证明 45目录 上页 下页 返回 结束 例例6.证明函数满足拉普拉斯证：证：利用对称性,有方程46目录 上页 下页 返回 结束 课内课内练习练习由对称性由对称性47目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.偏导数的概念及有关结论 定义;记号;几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)48目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习解答提示:P130 题 5P130 题 5,6即 xy0 时,49目录 上页 下页 返回 结束 P130 题6(1)(2)50目录 上页 下页 返回 结束 作业P69 1（偶数），3，4，5