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1、 从等腰三角形的一个性质谈起 性质：若 D 位于等腰三角形 ABC 底边 BC 上一点，贝 U AD=ABD DC 证明：过 A 作 AEL BC 垂足 E(图 1). / BD DC =(BE-DE)(EC+DE) 2 2 =(BE-DE)(BE+DE)=BE -DE =AB-AE2-DW=AB-AD2 , AD2=AB-BD DC 若D在 BC 延长线上则 AD=AB+BD DC (证略). 本文将此性质推广到一般三角形中. 定理： ABC 中，AB AC D 是 BC 上一点，则： 空 a ( AB3 -AC：1 AD2 -BD DC+-. I EC丿 证明：将厶 ABC 补成一等腰 A
2、BE 图 2).2 由性质得: 2 2 2 AD=AB-BD DE=AB-BD(DC+CE). AC2 =AB2 -BC* CE.CE 二 氏严 BC 说明: 当 AB=AC 时，就得前面已证的结果，同理可证：当 若 D 为 BC 中点时，则得到中线长公式. 若 AD 为角平分线，则得角平分线长公式. 将=ABa 啟 + AC2 器-ED SC BC (Stewart)定理，故上述定理可视为 Stewart 定理的变形. 这个定理可以解某些国内外竞赛题.D C _A DC BD + AD=AC- L AC3 - AB BC BC ABAC, AE 平分/A且交 BC 于 E,在 BC 上有一点
3、 S,使 BS=EC 2 2 2 求证：AS-AE =（AB-AC），如图 3（1979 年江苏数学竞赛题）. 证明：/ BS=EC 二 BE=SC 又/ AE 是/A的平分线，由角平分线性质得: BE _ AB EC _ AC BC _ AB + AC BC AB+AC -得 AC* BC = 例 2 在直角平分线上取一定点 P,过 P 点的一直线截角的边长为 a, b 的两条 銭段见图 4）证明：丄十的值与这条直线的位置无关.（苏联中学数学輿林匹 a b AB2-AC2 BC AE2 AB2-BE EC+ ABS - AC2 EC AS1 AE2 =BE* ECBS * SC (BS AB2 -ACa AB * BC BC ( AB =AB2 -BS 能 + BC 團 3 4 克竞赛题） T ZACB = 90 , 由角平分线性质得: 证明：不失一般性，设 c ab,（图 4）. PB CP，= aJ - AP PB + -b ab（a3 +b2） 得 1 V2 + = _ a b CP