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1、=2 分式运算中的常用技巧与方法 在分式运算中，若能认真观察题目结构特征， 灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法, 常常收到事半功倍的效果。现就分式运算中的技巧与方法举例说明。 一、整体通分法 2 例 1 .化简：- -a-1 a-1 分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。 二、逐项通分法 计算 a b 2b 2 2 a b 4b3 a4 -b4 解: 2 -a-1 = 1 2 (a+1)= a1 2 a a1 2 2 (a 1)(a a-1 a-1 1 a1 分析: 解: 1 a 2b a b2 3 4b _(a+b)_(a_b) 2b 4 4 2 72 2 a -b a -
2、b a a2 -b2 b2 4b3 a4 -b4 2b a2 -b2 2b a2 b2 4b3 -b4 2 2 2 2 b(a b ) -2b(a -b ) a4 -b4 4b3 a4 -b4 4b3 a4 -b4 4b3 a4 -b4 =0 三、先约分，后通分 例3 .计算: a2 6a a24 - + - a2 2a a2 4a 4 分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算 曲 a2+6a a2 _4 a(a+6) (a+2)(a_2) a+6 a_2 2a+4 a +2a a +4a+4 a(a+2) (a + 2) a+2 a+2 a + 2 =2 注意到各分母的特征，联想乘法
3、公式，适合采用逐项通分法(ab)(ac)(bc) (ab)(ac)(bc) b+c a+c a+b 解：设 _ _ _k，贝U b+c_ak； a+c_bk； a+b_ck； a b c 把这3个等式相加得 2(a+b+c)_ (a+b+c)k 若 a+b+c_0, a+b_ -c,贝V k_ -1 若 a+b+cz0,则 k_2 (a b)(b c)(c a) _ak bk ck 3 - _ _k abc abc 当k_-1时，原式_ -1 当k_2时，原式_ 8 七、应用倒数变换法 2 例7 .已知_7,求 4 a 2 的值 a2-a+1 a4+a2+1 2 解：由条件知 az0, - -
4、 a_ _,即 a+1 _ a 7 a 71 1 解法 1 ：. _ + =5. xy 丰 0,. x y -5 所以 2x5xy 2y _ y x 1 1 2( x y x 2xy y 1 2 1 11 2 5 -5 _ 5 _ 5 2 7 11 x + y 解法 2 :由一+ =5 得， =5, x+y=5xy x y xy 2x 5xy + 2 y _ 2(x + y) _5xy = 2 疋 5xy _ 5xy = 5xy = 5 x 2xy y (x y) 2xy 5xy 2xy 7xy 7 五、运用公式变形法 1 例5 .已知a2-5a+仁0 ,计算a4+ - 4 a 解：由已知条件
5、可得 az 0,. a+ _5 a 4 1 2 1 a 4_(a + ) 2-2_(a+ 1 2 2 )-2 -2_(5 2 2 -2) -2_527 a a a 六、设辅助参数法 b +c 例6已知b c a + c_ a b，计算： (a b)(b c)(c a) a b c abc 2 =a2+A+ 仁(a+ !)2-1= 15 a a 49 a2 =49 a4 a2 1 15 八、取常数值法 例 8 .已知：xyz 丰 O,x+y+z=O,计算 x y z 解：根据条件可设 x=1,y=1,z=-2. 则 L? + z +匚上=-3.当然本题也可以设为其他合适的常数。 xyz 九、把未
6、知数当成已知数法 解：把c当作已知数，用 c表示a,b得,a=3c, b=2c 2 2 2 2 a +b +c =14c =14 ab bc ac 11c2 11 十、巧用因式分解法 2 .2 2 例 10.已知 a+b+c=0,计算 2. + 2b一+ 2a2 +bc 2b2 +ac 2c2 +ab 解：.a+b+c=O, / a= -b-c,b=-a-c,c=-a-b 2 2 2 2 2a +bc=a +a +bc=a +a(_b_c)+bc=(a_b)(a_c) 同理可得 2b2+ac=(b-c)(b-a),2c 2 2 2 2 2 2 a (b -c) -b a +b c +c a -
7、c b _a (b _c) _a(b+c)(b_c)+ bc(b _c) (a-b)(a-c)(b _c) (a _b)(a_c)(b _c) 2 4 2 a a 1 2 2 a 例 9 .已知 3a-4b-c=0,2a+b-8c=0, 计算: 2 , 2 2 a b c ab bc ac 2 +ab=(c-a)(c-b) 2 a 2 + 2 - + 2a bc 2b ac b2 2 c 2c2 ab b2 - + - + - (a-b)(a-c) (b-c)(b-a) (c-a)(c-b) b2 - - - 1 - (a-b)(a-c) (a-b)(b-c) (c-a)(c-b) _ a2(b _c) _b2(a _ c) c2(a _ b) (a - b)(a - c)(b - c) (ab)(ac)(bc) (ab)(ac)(bc) (b _c)(a _ab _ac be) _ (a _b)(a _c)(b _c) 一 = =1