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1、工作文档高等数学下_复旦大学出版_习题十答案详解习题十21. 根据二重积分性质，比较ln()dxy，,ln()dxy，,与的大小，其中:,DD(1)D表示以(0，1)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形; (2)D表示矩形区域. (,)|35,02xyxy,解:(1)区域D如图10-1所示，由于区域D夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有图10-1 12,，,xy从而 0ln()1,，,xy2故有 ln()ln()xyxy，,，2ln()dln()dxyxy，,，,所以 ,DD(2)区域D如图10-2所示.显然，当时，有. (,)xyD,xy，,3图10-2 从而 ln(x+y)1 2故
2、有 ln()ln()xyxy，,，2ln()dln()dxyxy，,，,所以 ,DD2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值: IxyDxyxy,，,4d,(,)|02,02,(1); ,D22IxyDxyxy,sinsind,(,)|0,0(2); ,D2222(3)IxyDxyxy,，,，,(49)d,(,)|4,. ,D02,x解:(1)因为当时，有, (,)xyD,02,y因而 . 04,xy从而 2422,，,xy2d4d22d,，,xy故 ,DDD2d4d22d,，,xy即 ,DDDd,而 (为区域D的面积)，由=4 ,D84d82,，,xy,得 . ,D22(2) 因为，从而 0
3、sin1,0sin1,xy22 0sinsin1,xy220dsinsind1d,xy故 ,DDD220sinsindd,xy,即 ,DD2,而 2220sinsind,xy,所以 ,D22(3)因为当时，所以 (,)xyD,04,，,xy2222 9494()925,，,，,xyxy229d(49)d25d,，,xy故 ,DDD229(49)d25,，,xy即 ,D2,24而 2236,，,(49)d100xy,所以 ,D3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值: 22222()d,(,)|;axyDxyxya,，,，,(1) ,D222222(2) axyDxyxya,，,d,(,)
4、|.,D22解:(1)在几何上表示以D为底，以z轴为轴，以(0，0，a)为顶()d,axy,，,D1223点的圆锥的体积，所以 axya,，,()d,D3222(2)在几何上表示以原点(0，0，0)为圆心，以a为半径的上半球axy,d,D22223的体积，故axya, d.,D312224. 设f(x，y)为连续函数，求.fxyDxyxxyyr,，,lim(,)d,(,)|()()002,Dr,0r解:因为f(x，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，使得，,(,),D2fxyfrf(,)d(,),(,) ,Dr,0又由于D是以(x，y)为圆心，r为半径的圆盘，所以当时，(,)(,),xy0
5、000112lim(,)dlimfxyrff,(,)lim(,)22,Drrr,000rr于是: ,ffxylim(,)(,),00,xy(,)(,)00fxy(,)d,5. 画出积分区域，把化为累次积分: ,D(1); Dxyxyyxy,，,(,)|1,1,02(2) Dxyyxxy,(,)|2,2(3) Dxyyyxx,(,)|,2,2 x解:(1)区域D如图10-3所示，D亦可表示为.yxyy,11,0111,y所以 fxyyfxyx(,)dd(,)d,Dy01,2(2) 区域D如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y的交点为(1，-1)，(4，2)，区域D2可表示为 . yxyy
6、,，,2,12图10-3 图10-4 22y，所以 fxyyfxyx(,)dd(,)d,2,Dy,12(3)区域D如图10-5所示，直线y=2x与曲线的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，y,x224),曲线y,与x=2的交点为(2，1)，区域D可表示为,yxx2,12.xx图10-5 22xfxyxfxyy(,)dd(,)d,所以. 2,D1x6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序: elnx22yd(,)dxfxyy(1); (2) ;d(,)dyfxyx2,100ysinx132,y(3) ; (4) d(,)dxfxyy;d(,)dyfxyxx,0sin0y21233yy,d(,
7、)dd(,)dyfxyyyfxyx，(5) . ,00102解:(1)相应二重保健的积分区域为D:如图10-6所示.02,2.,yyxy图10-6 xD亦可表示为: 04,.,xyx2224yx所以 d(,)dd(,)d.yfxyxxfxyy,x2,00y2(2) 相应二重积分的积分区域D:如图10-7所示.1e,0ln.,xyx图10-7 yD亦可表示为: 01,ee,yxeln1exd(,)dd(,)dxfxyyyfxyx,所以 y,100e(3) 相应二重积分的积分区域D为:如图10-8所示.01,32,yyxy图10-8 D亦可看成D与D的和，其中 122D: 01,0,xyx1113
8、,0(3).,xyxD: 2212,yxx13213(3)2d(,)dd(,)dd(,)dyfxyxxfxyyxfxyy,，所以.,y00010x(4) 相应二重积分的积分区域D为:如图10-9所示.0,xyx,sinsin.2图10-9 D亦可看成由D与D两部分之和，其中 12D: ,10,2arcsinyyx;1D: 01,arcsin,yyxyarcsin.2sin0xy1,arcsin所以d(,)dd(,)dd(,)dxfxyyyfxyxyfxyx,，x,0sin12arcsin0arcsin,yy2 (5) 相应二重积分的积分区域D由D与D两部分组成，其中 12D: D: 01,02
9、,yxy13,03.,yxy12如图10-10所示. 图10-10 x02,3;,xyxD亦可表示为: 2123323yyx,所以d,dd(,)dd(,)dyfxyxyfxyxxfxyy，, ，x,0010027. 求下列立体体积: 2222(1)旋转抛物面z=x+y,平面z=0与柱面x+y=ax所围; 222(2)旋转抛物面z=x+y,柱面y=x及平面y=1和z=0所围. 解:(1)由二重积分的几何意义知，所围立体的体积 2222()ddxyxy，V=其中D: (,)|xyxyax，,D22由被积函数及积分区域的对称性知，V=2， ()ddxyxy，,D1其中D为D在第一象限的部分.利用极坐
10、标计算上述二重积分得 1acos,acos,11334444222Vrrraa,.2dd2dcosd,000042320(2) 由二重积分的几何意义知，所围立体的体积 22Vxyxy,，()dd, ,D2其中积分区域D为xOy面上由曲线y=x及直线y=1所围成的区域，如图10-11所示.图10-11 2D可表示为: ,11,1.xxy112222所以Vxyxyxxyy,，,，()ddd()d 2,Dx,111111188，23246 ,，,，,xyyxxxxxd()d.,112333105，x8. 计算下列二重积分: 2x1(1) dd,:12,;xyDxyx,2Dyxxy2edd,xy(2)
11、 D由抛物线y=x,直线x=0与y=1所围; ,D22xyxy,dd,(3) D是以O(0,0)，A(1，-1)，B(1，1)为顶点的三角形;,Dcos()dd,(,)|0xyxyDxyxxy，,(4) . ,Dx222222xxxx3dddddd解:(1) xyxyxxxx,，1,22111Dyyy1xx2119，42,xx. ,424，1(2) 积分区域D如图10-12所示. 12 图10-2D可表示为: 01,0.,yxyxxx2211yyxyyy所示 edddedded()xyyxyy,0000Dy2yx1111yyy ,yyyyyyyyed(e1)dedd,000001111111y
12、yy2 ,yyyyyydedeed.,0000220(3) 积分区域D如图10-13所示. 图10-13 D可表示为: 01,.,xxyxx211x，xyy222222ddddarcsindxyxyxxyyxyx,，,所以,00Dx22x，,x11123 ,xxxd.,022360(4)cos()dddcos()dsin()dxyxyxxyyxyx，,，,，x,Dx00,，,sin(xxxxxx)sin2d(sinsin2)d ,0011，,.coscos2xx，,2，209. 计算下列二次积分: 1ysinx(1)dd;yx,0yx yy1yy1xx2(2)dedded.yxyx，111,y
13、224sinx解:(1)因为求不出来，故应改变积分次序。 dx,x积分区域D:0?y?1, y?x?，如图10-14所示。 y图10-14 2D也可表示为:0?x?1,x?y?x. 所以 111yxsinsinsinxxx2dddd()dyxxyxxx,2,000yxxxx111 ,(sinsin)dsindsindxxxxxxxxx,000111,，,sindcosd1sin1.xxxxxxcos0,00yx(2)因为求不出来，故应改变积分次序。积分区域D分为两部分，其中edx,1111DyxyDyyxy:,:1,., 124222如图10-15所示: 图10-15 积分区域D亦可表示为:
14、12,xxyx1,. 2于是: xyyy1y11yyx1xxx2xdeddeddeddyxyxxyx，,xe11111,2,yx222224x 113eee1x2xx,(ee)dxxx,x1xee,1,182222210. 在极坐标系下计算二重积分: 222222(1) sindd,;xyxyD，,(,)|xyxy,，,4,D22,，()xy22(2)D为圆=1所围成的区域; edd,xyxy，,Dx2222(3)D是由=4, =1,及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内arctandd,xyxy，xy，,Dy的闭区域; 22()dd,xyxy，(4)D是由曲线=x+y所包围的闭区域。 xy
15、，,D解:(1)积分区域D如图10-16所示: 图10-16 D亦可采用极坐标表示为: ?r?2, 0?2 所以 2222sindddsindxyxyrrr，,D0 22,26.rrrcossin,(2)积分区域D可用极坐标表示为: 0?r?1, 0?2. 所以: 21122221,，,()2xyrrxyrrr,eddded2ed(),D000,2 11,2,r,.1,e0e,(3)积分区域D如图10-17所示. 图10-17 D可用极坐标表示为: 0?, 1?r?2. 4所以: 2x4arctanddarctan(cot)ddxyrr,D01y 239,4,d.,0264,2(4)积分区域D
16、如图10-18所示， 图10-18 D可用极坐标表示为: 3,，, ,0cossinr 44所以: 3cossin,，24()ddd(cossin)dxyxyrr，,，,0D,4cossin，3,3r4,d(cossin)，,304 3144,，(cossin)d,3434,44,sind.，,32,4411. 将下列积分化为极坐标形式，并计算积分值: 222aaxxax,2222(1)d()d;(2)dd;xxyyxxyy， ,0000122,xaay,122222 (3)d()d;(4)dd.xxyyyx， ，xy，2,x000解:(1)积分区域D如图10-19所示. 图10-19 D亦可
17、用极坐标表示为: , 0,02cosra2所以: 2cosa,24,2a22cosaxxa,r22322d()ddddxxyyrr，,0000040 31344442,4cosd4aaa.,04224(2)积分区域D如图10-20所示. 图10-20 D可用极坐标表示为: , 0,0secra 4于是: asec,33asecxa,ar2223444dddddsecd，,xxyyrr,000000330 33aa4，,，,sectanln(sectan).,2ln(21)，,，066(3)积分区域D如图10-21所示. 图10-21 D也可用极坐标表示为: . , 0,0sectanr4于是:
18、 1,x,1sectan2,22144d()dddsectandxxyyrrr，,2,x0000 4,sec21,0(4)积分区域D如图10-22所示. 图10-22 D可用极坐标表示为: , 0,0ra2于是: a224aaya,r22342 d()ddd.yxyxrra，,00002840*12. 作适当坐标变换，计算下列二重积分: 22xyxydd(1),其中D是由xy=2,xy=4,x=y,y=3x在第一象限所围平面区域;,D222dd,1;xyD,，,(2) (,)xyy，xy，x,D12,x22d()d,xxyy，(3)令x=v,x+y=u; ,01,x2222xy,xy(4) d
19、d,:1;xyD，,，,2222Dabab,2222dd,;xyD,xy，,9(5) (,)xyxy，,4,D2222dd,.xyD,xy，,4(6) (,)xyxyy，,2,D解:(1)积分区域D如图10-23所示: 图10-23 y令xy=u,则 ,vxuxyuvuv,(24,13) v111vvu,xx,2,(,)1xy22uvuv,uv J,.,yy,(,)2uvvvu,uv22uvuv于是: 4333411281u2222xyxyuuvvuuddddddln3., lnv,D12223vv231224,u13,v24所示。(2)积分区域D如图10- 图10-24 令x+y=u,x-y
20、=v,则 uvuv，,xy, 22且 -1?u?1, -1?v?1. 11,(,)1xy22J, 11,(,)2uv,22于是: 4224211uuvv，21224224()ddddd(2)dxyxyuvuuuvvv，,，,D,1188,11u,11v111112121，,423542 ,dduuuvuvvuu，,11843535，,11114121，53,.uuu，,445595，,1(3)积分区域D: 0?x?1, 1-x?y?2-x xy令x=v, x+y=u, 则y=u-v 积分区域D变为D: xyuv0?v?1, 1?u?2. 01,(,)xy且 J,111,(,)uv于是 2121
21、21,x1，2222223d()dd(22)ddxxyyvvuvuuv，,，,vuvuu2,，,01010,x3，1 1137237,，232v,d.vvvvv23,，,，,023323,，0(4)令x=arcos, y=brsin则积分区域D变为 D: 0?2, 0?r?1, raarcossin,(,)xy Jabr,bbrsincos,(,)r,于是: 1222111,xy，234 ,xyrabrrabrrab,dddddd2abr，,22DD00r,2，4ab,0(5) 令x=rcos，y=rsin. 即作极坐标变换， 则D变为:0?r?3, 0?2. 于是: 232222dddddd
22、xyrrrr,xy，,4rr,44,DD002333， ,2(4)d(4)drrrrrr,，,02，23,4111，2442,2.，22rrrr,2，4402,(6)积分区域D如图10-25所示:D可分为D,D?D,D四个部分.它们可分为用极坐标1234表示为。 图10-25 D: 0?, 0?r?2sin, 1D?D: 0?, 2sin?r?2, 23D: ?2, 0?r?2 4于是: 22222222ddddddddxyxyxyxy,，xyyxyyxyyxyy，,，,，,，,2222,DDDDD,1234,2sin222222,，,，,d(2sin)dd(2sin)dd(2sin)drrr
23、rrrrrrrrr,0002sin0,222sin2,322332rrrr，,d(2sin)d,，,d(2sin)dd(2sin)drrrrr,00002sin,2sin224442，222rrr333,，dddrrrsinsinsin,00344343，02sin0,2416416,44,，sinddd4sinsin4sin,，,003333,281616,4,dd，,，sind4sin,4sin,0033,32811631，,，,8sind,，sin2sin4,034328，023,，,809.3213. 求由下列曲线所围成的闭区域的面积: 2bb2yxyx,(1)曲线所围(a0,b0);
24、 aa22(2)曲线xy=a,xy=2a,y=x,y=2x所围(x0,y0). 2bb2yxyxab,(0,0)解:(1)曲线所围的图形D如图10-26所示:aa图10-26 D可以表示为: aa,2yxy,2 bb,0,yb,所求面积为: abyb1aa,2b Sxyyxyab,ddddd.yy,a,200Dy62bb,b22(2)曲线xy=a,xy=2a,y=x,y=2x(x0,y0)所围图形D如图10-27所示: 图10-27 所求面积为 Sxy,dd ,Dy,v令xy=u,则 xu22xyuvauav,(2,12) v,(,)1xy J,(,)2uvv于是 222a22211aa, S
25、xyuvvuvdddddddln22,Da112222vvv22,aua2,v1214. 证明: byb1，1nnyyxfxxfxbxx,d()()d()()d;(1) ,aaan，11fxyxyfuu()dd()d，,(2),D为|x|+|y|?1; ,1D122222faxbycxyufu()dd21d，,(3),其中D为x+y?1且，uabc，,1D22a+b?0. 解:(1)题中所给累次积分的积分区域D为 a?y?b, a?x?y. 如图10-28所示: 图10-28 D也可表示为a?x?b，x?y?b， 于是: bbybbb1nn，1nyyxfxxxyxfxyx,d()()dd()(
26、)ddfxyx,()(),aaaxan，1x b1，1n,fxbxx()()d.,an，1(2)令x+y=u,x-y=v，则 uvuv，,xy,且-1?u?1,-1?v?1 22,(,)1xy,于是 ,(,)2uv11111 fxyxyfuuvufuvfuu，,()dd()ddd()d()d.,11122Du,11v,11aubvbuav,，(3)令,则 xy,2222abab，22faxbycfuabc()()，,，ab,222222 ,(,)xyababab，J,，,12222ba,，(,)uvabab2222abab，22当x+y?1时， 22222222aubvbuav,，,()()a
27、buabv，22，,，,uv1. ,222222ab，abab，,于是 22faxbycxyfuv()dddd，,，uabc，,22Duv，,12,u1122,ddufv，uabc，2,u11 2,u1122,fvud，uabc，2,1,u11222,21d.ufu，uabc，,122222215. 求球面x+y+z= y含在圆柱面x+y=ax内部的那部分面积。 解:如图10-29所示: 图10-29 222zaxy,上半球面的方程为，由 ,zxzy , 222222,xyaxyaxy,得 22,za,z,1，, ,222,y,x,axy,由对称性知 22,za,z,Axyxy,，,41dd4
28、dd,222DD,y,x,axy,cosa,112,arrarr4dd4dd,2222D00arar, cosa,cosa1,(1),2222，22,2dd()2daara2,2()ar,22000，0ar,22,4(1sin)d2(aaaa).,0222xy，16. 求锥面z=被柱面z=2x所割下部分的曲面面积。 2222解:由z=x+y,z=2x两式消去z得 2222x+y=2x，则所求曲面在xOy面上的投影区域D为:x+y?2x,而 ,zxzy,;, 2222,xyxyxy，2222,zxy,z,112.，,，,222,yxyxy，,x,故所求曲面的面积为. 22,2cos,z,z,21
29、dd2dd2d2d,Axyxyrr,，,DD00,y,x, 2cos,222222d42cosd22(1cos2)d2.,，,r,00,0022222217. 求底面半径相等的两个直交圆柱面x+y=R及x+z=R所围立体的表面积。222解:由对称性知，所围立体的表面积等于第一卦限中位于圆柱面x+y=R内的部分面积的16倍，如图10-30所示。 图10-30 22这部分曲面的方程为zRx,，于是所求面积为. 222,x,z,z,2161dd1610ddAxyxy,，,，,22DD,y,x,Rx,22,RRxRR 16dd16dd,xyxy,2222D00RxRx,22,RxRRR，2y16d16
30、d16.,xRxR,2200Rx,，018. 设薄片所占的闭区域D如下，求均匀薄片的重心。 (1)D由所围成; ypxxxy,2,0022xy，,1,0y(2)D是半椭圆形闭区域:; 22ab(3)D是介于两个圆r=acos,r=bcos(0a0,b0)对x轴及坐标原点的转动惯量(面ab为常数). 解:所围三角区域D如图10-37所示: 图10-37 a3bayb,aba,2223bIyxyyyxy,ddddd.ayy,x,D00012b,aay,a3bbayb,，x22222b Ixyxyyxyxy,，,，,()ddd()dd，yx,0,D0003，033b，abaay22,23,，d().
31、yba，,ayy1,0123bb,，24. 求面密度为常量的匀质半圆环形薄片: 2222RyxRyz,0对位于z轴上点M(0,0,a)(a0)处单位质量的质点的引力012F. 解:由对称性知F=0，而 yR,xrcos22,FxGGrrddd,33,DR,122222222，()()xyara22RRrr222 令,GrGrratcosdd2d(tan),33,RR,112222222，ra，()ra RR2222arctanarctanattan2aa,2secd2(seccos)dGattGtttRR33,11,arctanarctanatsecaa22,RaR，RR2221,2ln,，G
32、222222,RaRRaRa，1121,R,ddrr22FGaGa,d,z33,DR,122222222，ra，()xya，R2111,GaGa1,222222RaRa，2，21ra，,R1故所求引力为: 22,RaR，RR2221,FG2ln,0,，222222,RaRRaRa，1121, 11,Ga ,2222,RaRa，21,Ifxyzxyz,(,)ddd25. 化三重积分为三次积分，其中积分区域分别是:,(1)由双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0所围成的闭区域; 22(2)由曲面z=x+y及平面z=1所围成的闭区域; 222(3)由曲面z=x+2y及z=2-x 所围成的闭区
33、域; 22xy(4)由曲面cz=xy(c0)，所围成的第I卦限内的闭区域。，,1,0z22ab解:(1)积分区域如图10-38所示， 图10-38 01,x,可表示为: 01,yx,0,zxy,11,xxyIxyfxyzz,dd(,)d.故 ,000(2)积分区域如图10-39所示。 图10-39 ,11x,22可表示为: ,11xyx,22xyz，,1,2111,x故 Ixyfxyzz,dd(,)d.222,，11xxy22,zxy,，2,222(3)由消去z得 xyx，,22,2zx,2,2222即，所以在xOy面的投影区域为x+y?1，如图10-40所示。xy，,1图10-40 可表示为
34、: 22222-1?x?1, , x+2y?z?2-x ,11xyx故22112,xx Ixyfxyzz,dd(,)d.222,，112xxy(4)积分区域如图10-41所示。 可表示为: bxy220,0,0,xayaxz ac图10-41 故 bxy22,aaxacIxyfxyzz,dd(,)d. ,00026. 在直角坐标系下计算三重积分: 23xyzxyzddd(1),其中是由曲面z=xy与平面y=x,x=1和z=0所围成的闭区域;,dddxyz(2)，其中为平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的四面体;3,，1xyz，22222222(3)zxyzddd，是两个球:x+y+z?R和x+y+z?2Rz(R0)的公共部分;,xyzxyzddd(4),其中是由x=a(a0),y=x,z=y,z=0所围成; ,y222edddxyz(5),其中是由x+z-y=1,y=0,y=2所围成; ,yxsin(6),其中是由所围成。 dddxyzyxyxz,，,0,2x解:(1)积分区域如图10-42所示。 图10-4