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1、1 上海市普陀区 2015 届高三数学二模试卷（含答案）2015.4 一、填空题（每小题 4 分，共 56 分） 1 已知集合A =1,0,a 8 = x1 2x :： 2若A| B，则实数a的取值范围是（0,1）. 2. 函数y =cos-（x亠）-sin“（x亠）的最小正周期为 _ :; 3. 在等差数列an中，已知 2, a? a3 =13,则 a6 二 42 . 4. 若tan，- -2,:-是直线y二kx b的倾斜角，贝U 二-arctan2 .（用J的反正切表示） 5. 设（1,2i）z=3-4i （i 为虚数单位），则 |z|二：5 . 6 .直角坐标系xoy内有点 A （2,
2、1）, B （0 , 2）,将线段 AB绕直线y=1旋转一周，所得到几何体的体积为 2 7已知平面向量a =（x,yj,b =（屜，y2），若 芥2, 43爲一6，则出 &设a 0,a 1，行列式D = 点 2,1，则 a =4 -3 中第 3 行第 2 列的代数余子式记作 y，函数y = f x的反函数经过 9.某学生参加 3 门课程的考试。假设该学生第一门、 第二门及第三门课程取得合格水平的概率依次为 且不同课程是否取得合格水平相互独立。则该生只取得一门课程合格的概率为 37 125 10. 已知P是椭圆x2 y2 -1（a b 0）上的一点，F1,F2为椭圆的 左、右 学生 达式 （第1
3、1题图） 1 3 12 .不等式x+引a-2+si ny对一切非零实数 x, y均成立，则实数a的范围为_. 1,3 _ x 13 .平面直角坐标系xOy中，0为坐标原点定义P(x1,y1)、Q(x2, y2)两点之间的“直角距离”为 d(P,Q)= I X2+ |y1- y，已知点 B(1,0)，点 M 是直线 kx- y+ k+ 3= 0 (k? 1)上的动点，d(B,M )的 3 最小值为 2 (k _1). - k Sn -N(1) N(2) N(3) N |N(2n -1) N(2n)，则数列 6 -也(n _ 2)的前n项和的表达式为 、选择题(每小题 5 分，共 20 分) 15
4、.已知1 , m是两条不同的直线，:是一个平面，以下命题正确的是( C ) 则 l / m ; (A) 若丨二，丨m,则m -； (B)若丨 :， m K , (C)若丨丨=,m ：，贝 U l 1 m; (D)若 l _ : ,l _ m, 则 m ：； 16 以下是科学家与之相研究的领域不匹配的是 ( D ) (A)笛卡儿一解析几何； (B)帕斯卡 概率论; (C)康托尔一集合论； (D)祖暅之一复数论; -4 -4 17 .已知各项均不为零的数列 a.,定义向量cn =(an,an1) , 2=( n,n，1), n 二 N* 下列命题中真命题是 (A ) T T * T T (A)若
5、N*总有Cn /bn成立，则数列an是等差数列(B)若 n N*总有C./bn成立，则数列%是等比数列 (C)若 n N*总有Cn _ bn成立，则数列an是等差数列(D)若 n N*总有Cn _ bn成立，则数列an是等比数列 18 方程sinx xcosx =0的正根从小到大地依次排列为 a1, a?1( ,an,川，则正确的结论为( B ) (A) 0 : an 1 -a n ： (B) 2an 1 : an 2 - an 1 (C) 2an 1 二 an .2 an 1 (D) 2an 1 an .2 an-1 2 三、解答题(12+14+14+16+18,共 74 分)14 . 当n
6、为正整数时， 用N(n)表示n的最大奇因数，女口 N(3) =3,N(10) | ,设 4 19 .已知向量 a =1 coswx,1 ,b 二：1, a 3sinwx ( w 为常数且 w 0), 函数f x =a b在R上的最大值为2 . (1) 求实数a的值； (2) 把函数y = f x的图象向右平移一个单位，可得函数 y = g x的图象，若 6w 数，求w的最大值. 解：(1) f(x) =1 cos，x a . 3sin，x 二2sin( x ) a 1 6 因为函数f (x)在R上的最大值为2，所以3a=2故a-1 (2)由(1)知：f(x) = 2sin wx+上I,把函数f
7、(x)=2sin wx+上i的图象向右平移 I 6丿 I 6丿 y = g(x) = 2si n X 又T y = g(x)在|0,上I上为增函数，” ” g(x)的周期T =江即Ocw兰2 IL 4 w 所以w的最大值为 2 20 .已知三棱柱ABC -A1B1C1的侧棱与底面垂直， AA, =AB =AC =1,AB _ AC,M 是 CG 的中点， N 是 H I BC的中点，点P在AB1上，且满足A,P二，A1B1 (1) 证明：PN _ AM ; (2) 当，取何值时，直线 PN与平面ABC所成的角二最 大？并求该角的最大值的正切值。 解：以 AB, AC, AA1分另U为x,y,z
8、轴 1 1 1 1 1 1 PN =( - -, ,-1),AM = 0,1, .PN AM =( - - ) 0 1-1 0,. PN _ AM . (2)显然平面 ABC 2 2 I 2丿 2 2 2 的一个法向量为n -(0,0,1) (*) 个单位，可得函数 6w N C1 M C 建立空间直角坐标系 A - xyz则 则 sin 日=cos v PN ,n 1 5 sin最大，即tan最大(二 除外)，由(*) 2于是问题转化为二次函数求最值，而 0,，当二最大时, -2 6 式：丸=2 时，(S in 日)max = 2 5 ,(ta n O)max =2 21 近年来玉制小挂件备
9、受人们的青睐， 某玉制品厂去年的年产量为 10 万件，每件小挂件的销售价格平均为 100 元，生产成本为 80 元。从今年起工厂投入 100 万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入 100 万元科技成 本，预计产量每年递增 1 万件。设第 n 年每件小挂件的生产成本 g(n) 元，若玉制产品的销售价格不变, 第 n 年的年利润为万元(今年为第 1 年) (1)求利润的表达式 f (n); (2)问从今年算起第几年的利润最高？最高利润为多少万元? 解：(1)f(n)=(10 n) 100(10 n) -80 100n = 1000 一8(ll0) Jn +1 Jn +1 (2) f(n) =
10、1000 _80(n 10)，故 y =100080( Jn +1 +=)，当 n = 8 时，f(n)最大，最高利润为 520 Jn +1 Jn +1 万元。 22 存在对称中心的曲线叫做有心曲线显然圆、椭圆和双曲线都是有心曲线若有心曲线上两点的连线段过中 心，则该线段叫做有心曲线的直径. (1 47 X2 2 (1) 已知点P 1,，求使 PAB面积为 时，椭圆 y2=1的直径AB所在的直线方程； I 2丿 2 3 2 X 2 (2) 若过椭圆 y=1的中心作斜率为k的直线交椭圆于 M , N两点，且椭圆的左、 右焦点分别为F1, F2，若 3 以M为圆心，MF2长度为半径作O M，问是否
11、存在定圆O R ,使得O M恒与O R相切？若存在，求出O R的 方程。若不存在，请说明理由。 (3) 定理：若过圆x2 y2 =1的一条直径的两个端点与圆上任意一点(不同于直径两端点)的连线所在直线的 斜率均存在，那么此两斜率之积为定值 -1.请对上述定理进行推广. 说明：第(3)题将根据结论的一般性程度给与不同的评分. 解：(1)设直线AB的方程为y二kx，代入椭圆方程得 x2 k-1 则 d 22, AB 1 k-2 ,1k2 7 2 故直线AB的方程为科二 x 3 （2）存在O R : （x . 2）2 y12与O M恒相切，圆心N为椭圆的左焦点Fi. 由椭圆的定义知， MF+MF=2
12、a=2y3 二MF2-|MF2|.两圆相内切。 （3）根据结论的一般性程度给与不同的评分. （问题 1-4 层） 过圆x2 y2 =r2 r 0的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均 存在，那么此两斜率之积为定值 -1. 若过圆 x-ai亠iy-b? =r2 r 0的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所 在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值 -1. 2 2 过椭圆x y2 =1 a 0,b 0的一条直径的两个端点与椭圆任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直 a b 过有心圆锥曲线 mx2 ny2 =1（mn = 0）的一条直
13、径的两个端点与曲线上任意一点 （不同于直径两端点） 所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值 . n 证明：设曲线上任一直径 AB, P为异于A, B的曲线上任一点。 设 Ag, % B(捲， ), P(x,y ),kAP = ,kBP = X _ % X 十 Xr =111一 （1）试求a1的值，使数列 n 是一个常数列; k2 J 线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值 b2 -a 的连线 因为代P在曲线上 23 .已知数列 玄：冲, 禺得 T a1 0, 8 （2）试求a1的取值范围，使得数列n 是单调增数列;9 (3)若aj不为常数列，设bn=|anan|(N ), Sn为数列 仇
14、的前n项和，请你写出 1 使得q :恒成立，并说明理由。 2 解：(1 )由 an = an 斗=J3 ,及 a* a 0,得 an = 3. (3)选择& =2 时，由(2)的结论知an ian ： 0. Sn 哉 b2 |l( 0 =02 -ai|+|as a?|+川十口时an 二- a2 - ai 直 - a2 j 11 - a* i a* =d _ an 1 = 2 _ an 1 . H + a 3 3 1 又 an = J - -.故 Sn =2 a.十 v2一 =- 2 2 2 2 an i a* 与 a an 1 同号。 要使an ! - an对任意正整数 n 都成立，只须 a2 - a 0,即 ai,解得 0 ：印：？. 2 当 0 y : 3 时, 2 an ! - an对任何正整数n成立。 a1的一个值,