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1、广东省深圳市2013届高三第一次调研考试（数学理）（2013深圳一模）绝密?启用前 试卷类型:A 2013年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科) 2013.2 本试卷共 6 页，21小题，满分 150 分(考试用时 120 分钟( 注意事项: 1 (答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确;之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损( 2 (选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
2、擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上(不按要求填涂的，答案无效( 3 (非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液(不按以上要求作答的答案无效( 4 (作答选做题时，请先用 2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答(漏涂、错涂、多涂的答案无效( 5 (考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回( 参考结论: 参考公式: 1若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为. v,sh3432若球的半径为 R ，则球的表面积为
3、，体积为 S,4,RV,R.3n(x,x)(y,y),ii,1iy,bx，a回归直线的方程是 : ， 其中:b,a,y,bx.n2(x,x),i,1i一、选择题:本大题共8个小题;每小题5分，共40分(在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的( ,1(化简的结果是 sin2013,A( B( C( D( sin33cos33,sin33,cos3313i(1，i),2(已知 i 是虚数单位，则复数 1，i1,i,1，i,1,iA( B( C( D( 3(图1是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积、体积分别是 128321616,32,16,12,8,A. B.
4、C. D. 333322x,my,14(双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，则m= 11A. B. C. 2 D. 4 42aa,a,aa,a,a5(等差数列中,分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在n123123下表的同一列( 则a的值为 4A( 18 B(15 C(12 D(20 6(我们把各位数字之和为 6 的四位数称为“六合数”(如 2013 是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有 A( 18 个 B(15 个 C(12个 D(9 个 7(函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 y,ln|x,1|y,2cos,x(,2,x,4)A( 8 B(6 C
5、(4 D(2 8(函数若存在常数C ，对任意的存在唯一的使得 x,D,x,Dy,f(x),x,D,1233则称函数在D上的几何平均数为C (已知f(x),x,x,1,2, 则函数f(x),xf(x)f(x)f(x),C,12在1,2上的几何平均数为 A( B(2 C(4 D( 222二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分(本大题分 为必做题和选做题两部分( (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题，每道试题考生都必须 作答( 5(1，2x),a，ax，ax，ax，ax，ax,a9(若 ，则=_ 012345310(容量为60 的样本的频率分布直方图共
6、有n(n1)个小矩形，若其中一 1个小矩形的面积等于其余 n-1个小矩形面积和的,则这个小矩形对 5应的频数是_( 2,A,(x,y)|x,4,y,0,x,y,0,11( 已知,若向区域上随机投,(x,y)|x，y,6,x,0,y,0一点P ，则点 P 落入区域 A 的概率是_( N,1312(若执行图 2 中的框图，输入 ，则输出的数等于_( S,0S,OS:,0(注:“”，即为“ ”或为“”() 2222,A,(x,y)|(x,4),，y,1,B,(x,y)|(x,t)，(y,at，2),1,13(设集合 如果命题“”是真命题，则实数a 的取值范围是_( ，t,R,A,B,(二)选做题:第
7、 14、15 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分( 14(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐,x,t,标系(曲线的参数方程为(t 为参数)，曲线的极坐标方程为则与CCC,sin,cos,3,121y,t，1.,交点在直角坐标系中的坐标为 _ ( C2,15(几何证明选讲选做题)如图3 ，在?O中，直径AB 与弦CD垂直，垂足为 E ，EFBC，垂足为 F ，若 AB=6，CF,CB=5，则AE =_( 三、解答题:本大题共6小题，满分80分(解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤( 16(本小题满分12分)
8、,x,f(x),2sin(，)(0,x,5),已知函数 点 A 、B 分别是函数图像上的最高点和最低点( y,f(x)63OA,OB(1)求点A 、B 的坐标以及的值; (2)设点A 、B 分别在角、的终边上，求 的值( ,tan(,2,)17(本小题满分12分) 一次考试中，五名同学的数学、物理成绩如下表所示: (1)请在图4 的直角坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的回归方程; (2)要从4 名数学成绩在90 分以上的同学中选2 人参加一项活动，以X 表示选中的同学的物理成绩高于 90 分的人数，求随机变量 X 的分布列及数学期望 的值( E(X)18(本小题满分14分) ,，C
9、AB,45,，DAB,60,F如图 5，?O 的直径AB=4，点C 、D 为?O 上两点，且为BC弧的中点(沿直径 AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图6 )( (1)求证: / OF 平面 ACD; (2)求二面角C- AD-B的余弦值; (3)在BD弧上是否存在点 G ，使得 FG/平面 ACD,若存在，试指出点 G 的位置，并求直线AG 与平面ACD所成角的正弦值;若不存在，请说明理由( 19(本小题满分14分) 2a,n，1a已知数列满足:(其中p 为非零常数，)( aaaaap,1,(,0),n,Nnn12，2anan，1(1)判断数列是不是等比数列, ana(2)求; nn
10、an，2SSb(3)当a=1时，令b 为数列的前 n 项和，求 ( ,nnnnan20(本小题满分14分) 已知两点点 P 在以、 为焦点的椭圆 C 上，且、构成等F(,1,0)及F(1,0),FF|PF|FF|PF|12121122差数列( (1)求椭圆C 的方程; l(2)如图7，动直线:与椭圆C 有且仅有一个公共点，点 M, N是直线上的两点，且l:y,kx，m(求四边形面积S 的最大值( FM,FN,lFMNF121221(本小题满分14分) af(x),x,(a,0),g(x),2lnx，bx,已知且直线与曲线相切( y,2x,2y,g(x)x(1)若对内的一切实数x ，不等式恒成立
11、，求实数a 的取值范围; 1,，,)f(x),g(x)(2)当a=1时，求最大的正整数 k ，使得对是自然对数的底数)内的任意 k 个实e,3(e,2.71828？数x,x,x,？,x都有f(x)，f(x)，？f(x),16g(x)成立; 123k12k,1kn4i,ln(2n，1)(3)求证: (n,N) ,24i,1,1i2013年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)答案及评分标准 说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则( 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题
12、的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分( 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数( 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数( 一、选择题:本大题每小题5分，满分40分( 1 2 3 4 5 6 7 8 C C C D A B B D 二、填空题:本大题每小题5分，满分30分( 81280109( ; 10( ; 11(; 12(; 27134113(; 14(; 15( (2,5)0,a,3三、解答题 16(本小题满分12分) xf(x),2sin(，)(0,x,5)AB已知函数，点、
13、分别是函数图像上的最高点和最低点( yfx,()63AB(1)求点、的坐标以及的值; OA,OBAB(2)设点、分别在角、的终边上，求的值( ,tan(,2,),x7？0,x,5解:(1)， ， 1分 ？,，,36361x( 2分 ？,，,sin()1263xx2x,1当，即时，取得最大值; f(x)sin()1，,，,63632x7x1,1x,5当，即时，取得最小值( f(x)，,sin()，,636632AB因此，点、的坐标分别是、( 4分 A(1,2)B(5,1),？,，,OAOB152(1)3( 6分 (2)点、分别在角、的终边上， ,A(1,2)B(5,1),1？,tan2,，tan
14、,， 8分 ,51，,2()55？， 10分 ,tan21212,1()55,2()2912？( 12分 ,tan(2)52，,12()12【说明】 本小题主要考查了三角函数的图象与性质，三角恒等变换，以及平面f(x),Asin(,x，,)向量的数量积等基础知识，考查了简单的数学运算能力( 17(本小题满分12分) 一次考试中，五名同学的数学、物理成绩如下表所示: A A A A A 学生 123458991939597数学,分, x物理,分, y 87898992934(1)请在图的直角坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的回归方程; 42X90(2)要从名数学成绩在分以上的同学中选
15、人参加一项活动，以表示选中的同学的物理成绩X90高于分的人数，求随机变量的分布列及数学期望的值( E(X)y(物理成绩) 解:(1)散点图如右图所示(1分 94 ,89，91，93，95，9793=， ,x92 587，89，89，92，9390 y90=， ,588 52222,(,),(,4)，(,2)，0xx,i i,189 91 93 95 97 x(数学成绩) O 22 ，2，4,40,图4 5(x,x)(y,y),(,4)，(,3)，(,2)，(,1)，0，(,1)，2，2，4，3,30， ,iii,130 ，( 5分 bx,69.75aybx,20.25b,0.7540 故这些数
16、据的回归方程是:( 6分 yx,，0.7520.25X120(2)随机变量的可能取值为，( 7分 2112C1C1CC22222PX(0)=,PX(1)=,PX(2)=, ;( 10分 222C6C3C6444X 故的分布列为: 0 X12 121p 11分 6361121=+=( 12分 ？EX()0，2，1，636【说明】本题主要考察读图表、线性回归方程、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力( 18(本小题满分14分) AB,4DC5?O?O如图，的直径，点、为上两点，且， ，CAB=45DABFAB6?，为的中点(沿直径折起
17、，使两个半圆所在平面互相垂直(如图)( BC,60OF/ACD(1)求证:平面; C-AD-B(2)求二面角的余弦值; GFGACDGAGBD(3)在上是否存在点，使得/平面,若存在，试指出点的位置，并求直线与ACD平面所成角的正弦值;若不存在，请说明理由( C ,FC, F,BA ,OAB,O ,DD 图6 图5 CO(法一):证明:(1)如右图，连接， C,？CO,AB， ？，CAB,45F,？FBC 又为的中点， ？，FOB,45AB,OE？OF/AC( ,GD？OF,ACDAC,ACD平面，平面， OF/ACD？平面(3分 EOOE,ADCE解:(2)过作于，连( ABDABC？CO,
18、AB，平面?平面( ABDCO？?平面( ？AD,ABD又平面， ？CO,AD ， ？AD,CEOAD,CE平面， CEOC-AD-B则?是二面角的平面角( 5分 ,OA,2？OE,3？ ， ( ，OAD,60ABDABDCOOE,CEO 由?平面，平面，得为直角三角形， CO,2CE,7？，( 321cos，CEO =( 8分 ？77GFGACDBD(3)设在上存在点，使得/平面， OF/ACDACDOFG/平面， 平面平面， ？OG/AD，( ，BOGBAD=60GFGACDGBDBD因此，在上存在点，使得/平面，且点为的中点(10分 AGAGACDGACDh连，设与平面所成角为，点到平面
19、的距离为( ,111SS,S =7，=3， ？，AD，CE，2，7，2，3,ACD,GAD,OAD22222111VV 由=，得=，得h,( 12分 ？，7，h，3，2G-ACDC-AGD733,AG,AOGAO,OG,223 在中，由余弦定理得=，13分 ，AOG,120h7=( 14分 ？,sin,7AGzAB(法二):证明:(1)如图，以所在的直线y为轴，以C,OCO所在的直线为轴，以为原点，作空间直角坐标系zF,，则，( C0,0,2O,xyzA,0,20,，ABO,y， AC,(0,0,2),(0,2,0),(0,2,2)G,DxFFBC0,22,点为的中点，？点的坐标为，( OF,
20、(0,2,2)，2OFAC/？,OFAC，即( 2ACDAC,ACD？OF,平面，平面， OF/ACD？平面( 3分 D，D3,1,0AD,(3,1,0)解:(2)，？点的坐标，( ，,DAB60,ACDCADB-设二面角的大小为，为平面的一个法向量( nxyz,，1,xyz,0,2,20,，,220,yz，,nAC,0,1 由 有 即 ,30.xy，,xyz,3,1,00,nAD,0,，,，,1,x,1y,3 取，解得，( z,3，1,-3,3=( 5分 ？n1ADB 取平面的一个法向量=， 6分 ，0,0,1n210(3)031，,，nn,1221(8分 ,？,cos7|n|n|,71,1
21、2GFGACDBD(3)设在上存在点，使得/平面， OF/ACD平面， ？OFG/ACDOG/AD平面平面，则有( ？OGAD,(0)AD,(3,1,0) 设，( ？,OG,30,，222,1,1又OG,2，？，,(3)02,，解得(舍去)( GBD？,OG,310，则为的中点( ，GFGACDGBDBD因此，在上存在点，使得/平面，且点为的中点(11分 AGACD设直线与平面所成角为， ,AG,(3,1,0)(0,2,0)(3,3,0)， ACDn,-,133根据(2)的计算为平面的一个法向量， ，1313(3)03，,，AGn,17 ( ,？,sincos(90)7|AGn,237，17A
22、GACD因此，直线与平面所成角的正弦值为( 14分 7【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，线面角、二面角及三角函数等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力( 19(本小题满分14分) 2a*n，1aaaa,(0)p已知数列满足:a,1，(其中为非零常数，)( apn,N,n21n，2anan，1(1)判断数列是不是等比数列, an(2)求a; nnan，2a,1b(3)当时，令，S为数列的前项和，求S( ,bnnnnnan2aaan，2n，1n，1解:(1)由，得( 1分 p,ap,n，2aaann，1nan，1令，则ca,，cpc,( ,
23、c1nn，1nanc，1na,0？,c0，(非零常数)， ,p1cnan，1数列是等比数列( 3分 ？ancp(2)数列是首项为，公比为的等比数列， anann,11n,1n，1ccpap,，即(4分 ？,apn1anaaann,230nn,12n,2当时， ,，()()()1aaapapapn1aaann,1212nn,，32n,12 ， 6分 ,ap2nn,，32n,1*2a？,aapn,N满足上式， ( 7分 1naaannn,1221nnn，221(3)， ,，,()()apapapaaannn，1na21n,n，2a,1？当时，,( 8分 bnpnpan1321n,？,，Sppnp1
24、2， ? n232121nn,，pSpnpnp,，,， 1(1) ? n2,p,1？当，即时，?得: p,12npp(1),，213212121nnn(1),，,pSpppnpnp， n21,p221nn，ppnp(1),即Sp,1( 11分 n222(1)1,ppnn(1)，Sn,，,12而当时， 12分 p,1n2nn(1)，Sn,，,，,(1)(2)()当时，(13分 p,1n2,，nn(1),1,p,2,，nn(1),Sp,1,综上所述，14分 ,n2,221nn，,ppnp(1),1.p,222(1)1,pp,【说明】考查了等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错
25、位求和等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化、分类讨论的思想( 20(本小题满分14分) PC已知两点及，点在以F、F为焦点的椭圆上，且、构成F(,1,0)F(1,0)PFFFPF12121122等差数列( C(1)求椭圆的方程; Cl(2)如图7，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且lykxm:,，MN,y SFMNFFM,l，FN,l( 求四边形面积的最大值( 1212l M 22xyC解:(1)依题意，设椭圆的方程为，,1( N 22abO FF构成等差数列， PFFFPF、x 1 2 1122a,2？， ( 224aPFPFFF,，,1122图7 2c,1又，(
26、？,b322xyC？，,1椭圆的方程为( 4分 4322lC3412xy，,(2) 将直线的方程代入椭圆的方程中，得ykxm,，222(4k，3)x，8kmx，4m,12,0( 5分 2222lC,，,644(43)(412)0kmkm由直线与椭圆仅有一个公共点知， 22化简得:( 7分 mk,，43km，,，kmdFM, 设， 9分 dFM,1122y 22k，1k，1l M k,0l,(法一)当时，设直线的倾斜角为， H N 则， ddMN,，tan,12O FFx 1 2 dd,12， ？,MNk222m2m8dddd,11212,，11分 Sdd,，,()12221m3,221kkk，
27、m，1，m411422k,0S,23，当时，m，,3，,3，( ？m,3mk,，43m33k,0FMNF当S,23时，四边形是矩形，(13分 12SFMNF所以四边形面积的最大值为23(14分 12222,，kmkm2()2(53)mkk，2222(法二)， ？dd，,，,()()122222kk，11kk，11222mk,，kmkm33k，( dd,3122222kk，11kk，1122222？,MNFFdd()( ,，,4(2)dddd121212122k，111FMNF,(d，d)四边形的面积，11分 SMNdd,，()12121222k，12116k，12222S,(d，d，2dd),
28、 1212222k，1(k，1)12,16,4(,2),12(13分 2k，12k,0SS,12,23当且仅当时，故( S,23maxSFMNF23所以四边形的面积的最大值为(14分 12【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查分类讨论、数形结合、化归与转化思想( 21(本小题满分14分) a已知，且直线与曲线相切( g(x),2lnx，bxy,2x,2y,g(x)f(x),x,(a,0)x(1)若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围; 1,，,)xf(x),g(x)aa,1ke,2.
29、71828k(2)当时，求最大的正整数，使得对(是自然对数的底数)内的任意e,3x,x,？,xf(x)，f(x)，？，f(x),16g(x)个实数都有成立; 12k12k,1kn4i*,ln(2n，1)(n,N)(3)求证:( ,24i,1,1i(x,y)解:(1)设点为直线与曲线的切点，则有y,2x,2y,g(x)002lnx，bx,2x,2( (*) 00022,，( (*) ？，b,2？g(x),，bxx0b,0由(*)、(*)两式，解得，( 2分 g(x),2lnxa由整理，得， f(x),g(x),x,2lnxx2？x,1，？要使不等式恒成立，必须恒成立( f(x),g(x)a,x,
30、2xlnx12,h(x),2x,2(lnx，x,),2x,2lnx,2h(x),x,2xlnx设， x2,x,1？h(x),2,，？当时，则是增函数， h(x),0h(x)x,a,1，是增函数，(5分 h(x)？h(x),h(1),0h(x),h(1),10,a,1因此，实数的取值范围是( 6分 a1a,1(2)当时，f(x),x,， x81,，在上是增函数，在上的最大值为( e,3f(x)e,3f(3),？f(x)？f(x),1，,023xkx,x,？,xf(x)，f(x)，？，f(x),16g(x)要对内的任意个实数都有 e,312k12k,1k成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右
31、边的最小值， x,x,？,x,3x,e？当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值( 12k,1k8k,13，解得( ？(k,1)，,16，23k13因此，的最大值为( 10分 a,1(3)证明(法一):当时，根据(1)的推导有，时， x,(1,，,)f(x),g(x)11即( 11分 lnx,(x,)2x6、因材施教，重视基础知识的掌握。2k，12k，112k，12k,1ln,(,)令，得， x,2k,122k,12k，12k,14kln(2k，1),ln(2k,1),化简得，13分 24k,1七、学困生辅导和转化措施nn4iln(2n，1),ln(2i，1),ln(2i,1),(14
32、分 ,24i,1,1,1ii2、第三单元“生活中的数”。通过数铅笔等活动，经历从具体情境中抽象出数的模型的过程，会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。4n,1ln3(法二)数学归纳法:当时，左边=，右边=， 3tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与邻边的比；1根据(1)的推导有，时，即( x,(1,，,)f(x),g(x)x,2lnxx14x,3令，得，即( 3,2ln3,ln333n,1因此，时不等式成立( 11分 周 次日 期教 学 内 容55625444？e,(),27？4,ln27(另
33、解:？e,，即() ,ln321623如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.k4in,k,ln(2k，1)假设当时不等式成立，即， ,24i,1,1in,k，1则当时, tanA不表示“tan”乘以“A”；，1kk4i4i4(k，1)4(k，1),，,ln(2k，1)， ,22224i,14i,14(k，1),14(k，1),1,11ii4(k，1)n,k，1要证时命题成立，即证， ln(2k，1)，,ln(2k，3)24(k，1),14(k，1)2k，3,ln即证( 22k，14(k，1),1（2）顶点式：2k，31x,在不等式中，令，得 x,2lnx2k，1x2k，312k，32k，14(k，1)ln,(,),( 22k，122k，12k，34(k，1),1？n,k，1时命题也成立( 13分 n4i*,ln(2n，1)根据数学归纳法，可得不等式对一切成立( 14分 n,N,24i,1,1i【说明】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、定义：在RtABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即;数学归纳法等综合知识，考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识( 1、开展一帮一活动，让优秀学生带动后进生，促使他们的转化。命题: 喻秋生、姚亮、宋晓勤 审题:魏显峰