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1、2021/3/11,1,高 等 数 学 B 吉林大学数学学院,2021/3/11,2,第二章多元函数的微分学及其应用,偏导数全微分复合函数的微分法隐函数微分法方向导数与梯度多元微分学的几何应用多元函数的Taylor公式与极值问题,2021/3/11,3,7 多元微分学的几何应用,7.1空间曲线的切线与法平面,7.2曲面的切平面与法线,2021/3/11,4,复习: 平面曲线的切线与法线,已知平面光滑曲线,切线方程,法线方程,若平面光滑曲线方程为,故在点,切线方程,法线方程,在点,有,有,因,2021/3/11,5,7.1 空间曲线的切线与法平面,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法,位
2、置.,空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限,平面.,2021/3/11,6,1. 曲线方程为参数方程的情况,切线方程,2021/3/11,7,此处要求,也是法平面的法向量,切线的方向向量:,称为曲线的切向量 .,如个别为0, 则理解为分子为 0 .,不全为0,因此得法平面方程,切线方程,2021/3/11,8,例7.1 求曲线,在点(1,1,1)处的切线与法平面方程.,解：,点(1,1,1)对应于参数t=1,故曲线在点(1,1,1)处的切向量,所求切线方程为,法平面方程为,即,2021/3/11,9,2. 曲线为一般式的情况,光滑曲线,取x为参数，,根据上述情形的结论，在点处的切向
3、量为,切线方程为,法平面方程为,2021/3/11,10,光滑曲线,当,曲线上一点, 且有,时, 可表示为,处的切向量为,3. 空间曲线的情况,2021/3/11,11,则在点,切线方程,法平面方程,有,或,2021/3/11,12,为了便于记忆，用行列式记为,2021/3/11,13,也可表为,法平面方程,2021/3/11,14,例7.2 求曲线,在点,M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程.,切线方程,解法1 令,则,即,2021/3/11,15,法平面方程,即,解法2. 方程组两边对 x 求导, 得,曲线在点 M(1,2, 1) 处有:,切向量,解得,2021/3/11,16
4、,切线方程,即,法平面方程,即,点 M (1,2, 1) 处的切向量,2021/3/11,17,当空间曲线由,给出时，若,连续且不同时为零，则曲线上每一点处,都有切线，并且切线随着切点的移动而连续地变动，称,为光滑曲线,当空间曲线,给出时，若,连续，则此曲线是光滑曲线,当空间曲线,给出时,若F,G是 类,函数且Jacobi行列式,不同时为零时，则此曲线是光滑曲线,2021/3/11,18,.设有光滑曲面,通过其上定点,对应点 M,切线方程为,不全为0 .,则 在,且,点 M 的切向量为,任意引一条光滑曲线,下面证明:,此平面称为 在该点的切平面., 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都,在同一
5、平面上.,7.2 曲面的切平面与法线,2021/3/11,19,证:,在 上,得,令,由于曲线 的任意性 ,表明这些切线都在以,为法向量,的平面上 ,从而切平面存在 .,2021/3/11,20,曲面 在点 M 的法向量,法线方程,切平面方程,2021/3/11,21,曲面,时,则在点,故当函数,法线方程,令,2.当光滑曲面 的方程为显式,在点,有连续偏导数时,切平面方程,2021/3/11,22,法向量,用,将,法向量的方向余弦：,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分别记为,则,向上,2021/3/11,23,例7.4 求椭圆抛物面,在点M(1,-1,3)处的,切平面方程和法线方程,解：
6、因,故所求切平面方程为,即,法线方程为,2021/3/11,24,.设曲面 的参数方程为,记,不妨设 由隐函数存在定理,方程组x=x(u,v),y=y(u,v),在点(x0,y0,u0,v0)的某一邻域唯一确定一组隐函数u=u(x,y),v=v(x,y),并且在(x0,y0)处，,将u=u(x,y), v=v(x,y),代入z=z(u,v)得z=z(u(x,y),v(x,y).,2021/3/11,25,z=z(u(x,y),v(x,y).在(x0,y0)处对x,y求偏导，由连锁规则, 有,曲面 在点M0的法向量为,或,2021/3/11,26,切平面方程为,法线方程为,2021/3/11,2
7、7,例7.5 求曲面,在对应于,u=1,v=-1的点处的切平面方程,解：曲面上对应于u=1,v=-1的点为M(0,2,0),在该点,故所求切平面方程为,即,2021/3/11,28,当曲面,给出时，若,连续且不同时为零，则曲面上每一点处都有切平面和,法线，并且法线随着切点的移动而连续地变动，称,为光滑曲面,2021/3/11,29,1.,求圆柱螺旋线,对应点处的切线方程和法平面方程.,切线方程,法平面方程,即,即,解: 由于,对应的切向量为,在, 故,2021/3/11,30,2. 确定正数 使曲面,在点,解: 二曲面在 M 点的法向量分别为,二曲面在点 M 相切, 故,又点 M 在球面上,于
8、是有,相切.,与球面, 因此有,2021/3/11,31,3. 如果平面,与椭球面,相切,提示: 设切点为,则,(二法向量平行),(切点在平面上),(切点在椭球面上),2021/3/11,32,证明 曲面,上任一点处的,切平面都通过原点.,提示: 在曲面上任意取一点,则通过此,4. 设 f ( u ) 可微,证明原点坐标满足上述方程 .,点的切平面为,2021/3/11,33,5. 证明曲面,与定直线平行,证: 曲面上任一点的法向量,取定直线的方向向量为,则,(定向量),故结论成立 .,的所有切平面恒,2021/3/11,34,6. 求曲线,解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,与法平面.,在点(1,1,1) 的切线,2021/3/11,35,作业：习题2.61 (1)(4), 3 (1)， ;2,