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1、2012广州一模试题及答案(数学理)试卷类型:A 2012年广州市普通高中毕业班综合测试 年广州市普通高中毕业班综合测试年广州市普通高中毕业班综合测试 年广州市普通高中毕业班综合测试( ( (一 一一 一) ) ) 数学 数学数学 数学( ( (理科 理科理科 理科) ) ) 2012.3 本试卷共4页，21小题， 满分150分(考试用时120分钟( 注意事项 注意事项注意事项 注意事项: : :1(答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2(选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应
2、题目选项的答案信息点涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3(非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的 相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4(作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多 涂的，答案无效。 5(考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式 参考公式参考公式 参考公式: : :锥体的体积公式Sh V 3 1 =，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高( 方差 ()()()
3、222 2 121nsxxxxxx n ? =?+?+?+? ? ?，其中12 nxxx x n+ = L. 一 一一 一、 、 、选择题 选择题选择题 选择题: : :本大题共 本大题共本大题共 本大题共8小题 小题小题 小题， ， ，每小题 每小题每小题 每小题5分 分分 分， ， ，满分 满分满分 满分40分 分分 分( ( (在每小题给出的四个选项中 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 在每小题给出的四个选项中， ， ，只有一项是符合 只有一项是符合只有一项是符合 只有一项是符合 题目要求的 题目要求的题目要求的 题目要求的( ( ( 1(已知复数( )ii1iab+=?
4、(其中,ab?R，i是虚数单位)，则ab+的值为 A(2 ? B(1? C(0 D(2 2(已知全集U=R，函数1 1 y x = +的定义域为集合A，函数( )2log2yx=+的定义域为集合B，则 集合B ACU?)(= A( ()2,1? B(2,1? C(),2? D()1,?+? 3(如果函数()sin 6 fxx ? =+ ? ?( )0的相邻两个零点之间的距离为12 ，则的值为 A(3 B(6 C(12 D(24 4(已知点( )Pab，(0ab?)是圆O:222xyr+=内一点，直线l的方程为20axbyr+=，那么直 线l与圆O的位置关系是 A(相离 B(相切 C(相交 D(
5、不确定 5(已知函数()21fxx=+，对于任意正数a，12xxa?是()()12fxfxa?时，比较()fx与()ngx的大小，并说明理由; (3)证明:()1232222 11e 2341n ng n ? + ? + ? ?L(*n?N)( 2012 年广州市普通高中毕业班综合测 年广州市普通高中毕业班综合测年广州市普通高中毕业班综合测 年广州市普通高中毕业班综合测试 试试 试( ( (一 一一 一) ) ) 数学 数学数学 数学( ( (理科 理科理科 理科) ) )试题参考答案及评分标准 试题参考答案及评分标准试题参考答案及评分标准 试题参考答案及评分标准 说明:1(参考答案与评分标准
6、指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几 种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点 和能力对照评分标准给以相应的分数( 2(对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误， 就不再给分( 3(解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数( 4(只给整数分数，选择题和填空题不给中间分( 一 一一 一、 、 、选择题 选择题选择题 选择题: : :本大题考查基本知识和基本运算 本大题
7、考查基本知识和基本运算本大题考查基本知识和基本运算 本大题考查基本知识和基本运算( ( (共 共共 共8小题 小题小题 小题， ， ，每小题 每小题每小题 每小题5分 分分 分， ， ，满分 满分满分 满分40分 分分 分( ( ( 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C A B D C A 二 二二 二、 、 、填空题 填空题填空题 填空题: : :本大题 本大题本大题 本大题查基本知识和基本运算 查基本知识和基本运算查基本知识和基本运算 查基本知识和基本运算， ， ，体现选择性 体现选择性体现选择性 体现选择性( ( (共 共共 共7小题 小题小题 小题， ， ，每小题 每
8、小题每小题 每小题5分 分分 分， ， ，满分 满分满分 满分 30分 分分 分( ( (其中 其中其中 其中1415题是选做题 题是选做题题是选做题 题是选做题， ， ，考生只能选做 考生只能选做考生只能选做 考生只能选做一 一一 一题 题题 题( ( (第 第第 第13题仅填对 题仅填对题仅填对 题仅填对1个 个个 个， ， ，则给 则给则给 则给3分 分分 分( ( ( 9(43 3 10 (2 ,2 3 ? ? ? 11 (3 12(1,2 13(35，10 14(62 15(2 三、解答题 解答题解答题 解答题: : :本大题共 本大题共本大题共 本大题共6小题 小题小题 小题， ，
9、 ，满分 满分满分 满分80分 分分 分( ( (解答须写出文字说明 解答须写出文字说明解答须写出文字说明 解答须写出文字说明、 、 、证明过程和演算步骤 证明过程和演算步骤证明过程和演算步骤 证明过程和演算步骤( ( ( 16(本小题满分 本小题满分本小题满分 本小题满分12分 分分 分) ) ) ( ( (本小题主要考查 本小题主要考查本小题主要考查 本小题主要考查两角和的正切 两角和的正切两角和的正切 两角和的正切、 、 、诱导公式 诱导公式诱导公式 诱导公式、 、 、同角 同角同角 同角三角函数的基本关系 三角函数的基本关系三角函数的基本关系 三角函数的基本关系和 和和 和两角差 两角
10、差两角差 两角差的余弦 的余弦的余弦 的余弦等 等等 等 知识 知识知识 知识， ， ，考查化归与转化的数学思想方法 考查化归与转化的数学思想方法考查化归与转化的数学思想方法 考查化归与转化的数学思想方法， ， ，以及运算求解能力 以及运算求解能力以及运算求解能力 以及运算求解能力) ) ) (1)解 解解 解: : :9 f ? ? ? tan 34 ? =+ ? ? 1分 tantan 34 1tantan 34 + = ? 3分 31 23 13 + =? ?( 4分 (2)解 解解 解: : :因为3 tan 3444f ?+=+? ? 5分 ()tan=+6分 tan2=( 7分 所
11、以sin 2 cos =，即sin2cos=( ? 因为22sincos1+=， ? 由?、?解得21 cos 5 =(9分 因为3 , 2 ? ? ? ?，所以5 cos 5=?，25 sin 5=?( 10分 所以cos 4 ? ? ? ? coscossinsin 44 =+ 11分 52252310 525210 ? =?+?=? ? ? ?( 12分 17(本小题满分 本小题满分本小题满分 本小题满分12分 分分 分) ( ( (本小题主要考查 本小题主要考查本小题主要考查 本小题主要考查统计 统计统计 统计、 、 、方差 方差方差 方差、 、 、随机变量的分布列 随机变量的分布列随
12、机变量的分布列 随机变量的分布列、 、 、均值 均值均值 均值( ( (数学期望 数学期望数学期望 数学期望) ) )等知识 等知识等知识 等知识， ， ，考查 考查考查 考查或然 或然或然 或然 与必然 与必然与必然 与必然的数学思想方法 的数学思想方法的数学思想方法 的数学思想方法， ， ，以及 以及以及 以及数据处理能力 数据处理能力数据处理能力 数据处理能力、 、 、运算求解能力 运算求解能力运算求解能力 运算求解能力和应用意识 和应用意识和应用意识 和应用意识) ) ) (1)解 解解 解: : :依题意，得11 (87899696)(87909395) 44a+=+， 1 分 解得
13、3a=. 2分 (2)解 解解 解: : :根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为92 x=.3分 所以乙组四名同学数学成绩的方差为 ()()()()2222 21 87929392939295929 4 s ? =?+?+?+?= ?. 5分 (3)解 解解 解: : :分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4416 =种可能的结 果(6分 这两名同学成绩之差的绝对值X的所有情况如下表: 87 89 96 96 87 0 2 9 9 93 6 4 3 3 93 6 4 3 3 95 8 6 1 1 所以X的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8， 9.8分 甲 乙 X
14、由表可得1 (0) 16 PX=，2(1) 16 PX=，1(2) 16 PX=，4(3) 16 PX=， 2(4) 16 PX=，3(6) 16 PX=，1(8) 16 PX=，2(9) 16 PX=. 所以随机变量X的分布列为: X 0 1 2 3 4 6 8 9 P 1 16 216 116 416 216 316 116 216 随机变量X的数学期望为 121423 012346 161616161616EX=+12 89 1616 +11分 6817 164 =.12分 18(本小题满分 本小题满分本小题满分 本小题满分14分 分分 分) ( ( (本小题主要考查 本小题主要考查本小
15、题主要考查 本小题主要考查空间线面 空间线面空间线面 空间线面关系 关系关系 关系、 、 、直线与平面所成角 直线与平面所成角直线与平面所成角 直线与平面所成角、 、 、空间向量及坐标运算 空间向量及坐标运算空间向量及坐标运算 空间向量及坐标运算等知识 等知识等知识 等知识， ， ，考查 考查考查 考查 数形结合 数形结合数形结合 数形结合、 、 、化归与转化的数学思想方法 化归与转化的数学思想方法化归与转化的数学思想方法 化归与转化的数学思想方法， ， ，以及 以及以及 以及空间想象能力 空间想象能力空间想象能力 空间想象能力、 、 、推理论证能力和 推理论证能力和推理论证能力和 推理论证能
16、力和运算求解能 运算求解能运算求解能 运算求解能 力 力力 力) ) ) (1)证明 证明证明 证明1: : :因为平面? PAC平面ABC，平面PACI平面ABCAC=， PD?平面PAC，ACPD?， 所以PD?平面ABC( 1分 记AC边上的中点为E，在?ABC中，ABBC=，所以AC BE?( 因为6 ABBC=，4=AC，所以()2 222622BEBCCE =?=?=(3分 因为PD ?AC，所以?PCD为直角三角形( 因为3PD =，3CD=， 所以 ()2 2223323PCPDCD =+=+=(4分 连接BD，在Rt?BDE中，因为2 BE=，1DE=， 所以 ()2 222
17、213BDBEDE =+=+=(5分 因为PD ?平面ABC，BD?平面ABC，所以PD?BD( 在Rt?PBD中，因为3PD =，3BD=， 所以 ()()22 22336PBPDBD =+=+=(6分 在PBC ?中，因为6BC=，6PB=，23PC=， 所以222BCPBPC +=( 10分B P A C D E 所以PBC ?为直角三角形(7分 证明 证明证明 证明2: : :因为平面? PAC平面ABC，平面PACI平面ABCAC=， PD?平面PAC，ACPD?， 所以PD ?平面ABC(1分 记AC边上的中点为E，在?ABC中，因为ABBC =，所以ACBE?( 因为6ABBC=
18、，4=AC，所以()2 222622BEBCCE=?=?=( 3分 连接BD，在Rt?BDE中，因为90 BED?=o，2BE=，1DE=， 所以 ()2 222213BDBEDE =+=+=(4分 在?BCD中，因为3CD =，6BC=，3BD=， 所以222BCBDCD +=，所以BCBD?(5分 因为PD ?平面ABC，BC?平面ABC， 所以BCPD ?(6分 因为BDPDD =I，所以BC?平面PBD( 因为PB ?平面PBD，所以BCPB?( 所以PBC ?为直角三角形(7分 (2)解法 解法解法 解法1: : :过点A作平面PBC的垂线，垂足为H，连PH， 则APH ?为直线AP
19、与平面PBC所成的角(8分 由(1)知，?ABC的面积1 22 2ABCSACBE?=( 9分 因为3 PD=，所以1 3PABCABCVSPD?=126 223 33 =( 10分 由(1)知PBC?为直角三角形，6BC=，6PB=， 所以?PBC的面积11 663 22PBCSBCPB?=( 11分 因为三棱锥APBC?与三棱锥PABC?的体积相等，即APBCPABCVV?=， 即126 3 33 AH=，所以26 3 AH=( 12分 在Rt?PAD中，因为3 PD=，1AD=， 所以()2 222312 APPDAD=+=+=(13分 因为26 6 3 sin 23 AH APH AP
20、 ?=( 所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为6 3( 14分 解法 解法解法 解法2: : :过点D作DMAP?，设DMPCM=I， 则DM与平面PBC所成的角等于AP与平面PBC所成的 角(8分 由(1)知BCPD ?，BCPB?，且PDPBP=I， 所以BC ?平面PBD( 因为BC ?平面PBC， 所以平面PBC ?平面PBD( 过点D作DNPB ?于点N，连接MN， 则DN ?平面PBC( 所以DMN ?为直线DM与平面PBC所成的角(10分 在Rt?PAD中，因为3 PD=，1AD=， 所以()2 222312APPDAD=+=+=( 11分因 为DMAP?，所以DMCD AP
21、CA =，即3 24 DM =，所以3 2 DM=( 12分 由(1)知3 BD=，6PB=，且3PD=， 所以336 2 6 PDBD DN PB =( 13分 因为6 6 2 sin 3 3 2 DN DMN DE ?=， 所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为6 3( 14分 解法 解法解法 解法3: : :延长CB至点G，使得BGBC =，连接AG、PG，8分 在?PCG中，6 PBBGBC=， B P A C D E K B P A C D M N 所以90 CPG?=o，即CPPG?( 在?PAC中，因为23 PC=，2PA=，4AC=， 所以222PAPCAC +=， 所以CP
22、PA ?( 因为PAPGP =I， 所以CP ?平面PAG(9分 过点A作AKPG ?于点K， 因为AK ?平面PAG， 所以CPAK ?( 因为PGCPP =I， 所以AK ?平面PCG( 所以APK ?为直线AP与平面PBC所成的 角(11分 由(1)知，BCPB ?， 所以23PGPC =( 在?CAG中，点E、B分别为边CA、CG的中点， 所以222 AGBE=(12分 在?PAG中，2PA =，22AG=，23PG=， 所以222PAAGPG +=，即PAAG?(13分 因为226 sin 3 23AG APK PG ?=( 所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为6 3( 14分
23、解法 解法解法 解法4: : :以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空 间直角坐标系Exyz ?，8 分 则 ()0,2,0A?，()2,0,0B，()0,2,0C，()0,1,3P?( 于是 ()0,1,3AP=uuur，()2,1,3PB=?uuur，()0,3,3PC=?uuur( B P A C D Ex yz 设平面PBC的法向量为( ),xyz=n， 则0, 0. PB PC ? ?= ? ? ?= ? ?uuur uuurn n 即230, 330. xyz yz ? +?= ? ? ?= ? ? 取1 y=，则3z=，2x=( 所以平面PBC的一个
24、法向量为 ()2,1,3=n(12分 设直线AP与平面PBC所成的角为， 则46 sincos 3 26 AP AP AP ? = ? ? uuur uuur uuur n ,n n( 所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为6 3( 14分 若第 若第若第 若第( ( (1)、( )、()、( )、(2) ) )问都用向量法求解 问都用向量法求解问都用向量法求解 问都用向量法求解， ， ，给分如下 给分如下给分如下 给分如下: : : (1)以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间 直角坐标系Exyz ?，1分 则 ()2,0,0B，()0,2,0C，()0,1
25、,3P?( 于是 ()2,1,3BP=? uuur，( )2,2,0BC=? uuur( 因为( )()2,1,32,2,00BPBC=?= uuuruuur ?， 所以BPBC? uuuruuur( 所以BPBC?( 所以PBC?为直角三角形( 7分 (2)由(1)可得， ()0,2,0A?( 于是 ()0,1,3AP=uuur，()2,1,3PB=?uuur，()0,3,3PC=?uuur( 设平面PBC的法向量为( ),xyz=n， B P A C D Exy z 则0, 0. PB PC ? ?= ? ? ?= ? ?uuur uuurn n即230,330. xyz yz ? +?=
26、 ? ? ?= ? ? 取1 y=，则3z=，2x=( 所以平面PBC的一个法向量为 ()2,1,3=n(12分 设直线AP与平面PBC所成的角为， 则46 sincos 3 26 AP AP AP ? = ? ? uuur uuur uuur n ,n n( 所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为6 3( 14分 19(本小题满分 本小题满分本小题满分 本小题满分14分 分分 分) ( ( (本小题 本小题本小题 本小题主要考查等比数列 主要考查等比数列主要考查等比数列 主要考查等比数列的通项 的通项的通项 的通项、 、 、裂项 裂项裂项 裂项求和 求和求和 求和等知识 等知识等知识 等知
27、识， ， ，考查化归与 考查化归与考查化归与 考查化归与转化的数学思想方法 转化的数学思想方法转化的数学思想方法 转化的数学思想方法， ， ， 以及 以及以及 以及抽象概括能力 抽象概括能力抽象概括能力 抽象概括能力、 、 、运算求解能力 运算求解能力运算求解能力 运算求解能力和创新意识 和创新意识和创新意识 和创新意识) ) ) (1)解 解解 解: : :设等比数列 na的公比为q，依题意，有 45 3 2 3224 , 2 2. aa a aa +?=? ? ?=?即345 2 322, 2. aaa aa =+ ? ? ? = ? ? 2分 所以234 111 222 112, 2.
28、aqaqaq aqaq ? =+ ? ? = ? ? 3分 由于10 a?，0q?，解之得11 , 2 1 . 2 a q ? = ? ? ? ? = ? ?或11 , 2 1. a q ? = ? ? ? =? ? 5分 又10,0 aq，所以111 , 22 aq=， 6分 所以数列 na的通项公式为1 2nna ? = ? ?(*n ?N)(7分 (2)解 解解 解: : :由(1)，得()()25 2123nnn ba nn + =? +()()25121232nnnn + =? +( 8分 所以211 21232n nb nn ? =? ? + ? 111 (21)2(23)2nnnn?=? +( 10分 所以12 nnSbbb=+L ()()21111111 3525272212232nnnn? ? =?+?+? ? ? ?+ ? ? L ()11 3232nn =? +(