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1、数学-初二-一元一次不等式一元一次不等式组多元智能教育倡导者 讲义编号: 副校长/组长签字: 签字日期: 学 员 编 号 : 年 级 :初三 课 时 数 :3 学 员 姓 名 : 辅 导 科 目 : 学 科 教 师 : 课 题 ? 预习课 ? 同步课 ? 复习课 ? 习题课 第 次 课 型 课 次 2015年 4月 5 日 8 :00 10 :00 p.m.(E) 授课日期及时段 1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质; 2.理解不等式的解(解集)的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法; 教 学 目 的 3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组; 1.会根
2、据题中的不等关系建立不等式(组)，解决实际应用问题; 2.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法重 难 点 是学习数学的一种重要途径. 教 学 内 容 【基础知识网络总结与巩固】 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、不等式 1.不等式:用符号“,”(或“?”)，“,”(或“?”)，?连接的式子叫做不等式. 要点诠释: (1)不等式的解:能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. (2)不等式的解集:对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集( xa,解集的表示方法一般有两种:一种是用最简的不等式表示，例如，等;另一种是用数轴表示，如下图xa,
3、所示: 1 多元智能教育倡导者 (3)解不等式:求不等式的解集的过程叫做解不等式( 2. 不等式的性质: 不等式的基本性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变( 用式子表示:如果a,b，那么a?c,b?c 不等式的基本性质2:不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变( ab用式子表示:如果a,b，c,0，那么ac,bc(或)( ,cc不等式的基本性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变( ab用式子表示:如果a,b，c,0，那么ac,bc(或,)( cc要点二、一元一次不等式 1. 定义:不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数
4、，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 要点诠释:ax+b,0或ax+b,0(a?0)叫做一元一次不等式的标准形式( 2.解法: 解一元一次不等式步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 要点诠释:不等式解集的表示:在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”:一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用:列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即: (1)审:认真审题，分清已知量、未知量; (2)设:设出适当的未知数; (3)找:找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义;
5、 (4)列:根据题中的不等关系，列出不等式; (5)解:解出所列的不等式的解集; (6)答:检验是否符合题意，写出答案. 要点诠释: 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点二、一元一次不等式与一次函数 1.一次函数定义:自变量x和因变量y有如下关系:y=kx+b; 则此时称y是x的一次函数。 要点诠释: 1.当b=0时，y是x的正比例函数。 即:y=kx (k为常数，k?0) y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截
6、距。 2.一次函数的图像及性质: (1)作法与图形:通过如下3个步骤 ?列表一般取两个点,根据两点确定一条直线; ?描点; ?连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直 2 多元智能教育倡导者 线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) (2)性质:?在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式:y=kx+b(k?0)。?一次函数与y轴交 点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。 (3)k，b与函数图像所在象限: 当k,0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k,0时，直线必通过二、四象限，y随x
7、的增大而减小。 当b,0时，直线必通过一、二象限; 当b=0时，直线必通过原点。 当b,0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。 这时，当k,0时，直线只通过一、三象限;当k,0时，直线只通过二、四象限。 (4)特殊位置关系 当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值(即一次项系数)相等 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1) 3.确定一次函数的表达式 已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx
8、+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程: y1=kx1+b ? 和 y2=kx2+b ? (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 4.一次函数在生活中的应用 (1)当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。 (2)当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S即g=S-ft。 要点四、一元一次不等式组 关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 要点诠释: (1)不等式组的解集:不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组
9、的解集. (2)解不等式组:求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. (3)一元一次不等式组的解法:分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集. (4)一元一次不等式组的应用: ?根据题意构建不等式组，解这个不等式组;?由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案( 【重难点例题启发与方法总结】 【典型例题】 类型一、不等式 1.用适当的符号语言表达下列关系.。 (1)a与5的和是正数. (2)b与-5的差不是正数. (3)x的2倍大于x. (4)2x与1的和小于零. (5)a的2倍与4的差不少于5. 【答案与解析】 3 多元智能教育倡导者 解:
10、(1)a+50;(2)b-(-5)?0; (3)2xx; (4)2x+10;(5)2a-4?5. 【总结升华】正确运用不等符号翻译表述一些数学描述是学好不等式的关键，要关注一些常见的描述语言，如此处:不是、不少于、不大于 举一反三: 【变式】用适当的符号语言表达下列关系: 111(1)y的与3的差是负数.(2)x的与3的差大于2.(3)b的与c的和不大于9. 222111【答案】(1); (2);(3)。 bc，,9y,30x,322222.用适当的符号填空: (1)如果ab，那么a-3_b-3; 7a_7b;-2a_-2b. 11(2)如果ab，那么a-b_0;a+5b_6b;. abb,_
11、22【思路点拨】不等式的基本性质1,2,3( 【答案】(1),; ,;,( (2),;,;,( 【解析】 (1)在不等式ab两边同减去3，得a-3,b-3; 在不等式ab两边同乘以7，得7a,7b; 在不等式ab两边同乘以,2，得-2a,-2b( (2)在不等式ab两边同减去b，合并得a-b,0; 在ab两边同加上5b，合并得a+5b,6b; 111babb,在a;(2),( 【变式2】判断 22ab,acbc,(1)如果，那么; 22ab,acbc,(2)如果，那么. 【答案】(1);(2)?( 类型二、一元一次不等式 3(1)5xx，,x，,13. 解不等式 82【思路点拨】不等式中含有分
12、母，应先根据不等式的基本性质2去掉分母，再作其他变形(去分母时，不要忘记给分子加括号( 【答案与解析】 解:去分母，得8x+3(x+1),8-4(x-5)， 去括号，得8x+3x+3,8-4x+20， 移项，得8x+3x+4x,8+20-3， 4 多元智能教育倡导者 合并同类项，得15x,25， 5系数化为1(得( x,35?不等式的解集为( x,3【总结升华】解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤异同见下表: ax,b ax,b ax,b bb; ; 解:当a,0时，解:当a,0时，x,x,baa解:当a?0时，; x,bba当a,0时，; 当a,时，x,; x,当a,0，b?0时，无解;
13、aa当a,0，b,0时，x为任意当a,0，b?0时，无解; 当a,0，b?0时，无解; 有理数( 当a,0，b,0时，x为任意当a,0，b,0时，x为任意有理数( 有理数( 举一反三: 51x,【变式】(湖南益阳)解不等式，并把解集在数轴上表示出来( ,x13【答案】 解:去分母得5x-1-3x,3， 移项、合并同类项，得2x,4， 系数化为1，得x,2， 解集在数轴上的表示如图所示( 4.某种商品进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商店准备降价出售，但要保证利润不低于10%，那么商店最多降价多少元出售商品, 【思路点拨】利润,售价,进价，售价,进价，利润,进价(1，利润率
14、). 【答案与解析】 225,x解:设商店降价元出售该商品，则?， x150(110%)，解得x?60. 答:商店最多降价60元出售商品。 【总结升华】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，解答过程中应注意“设”与“答”的区别( 类型三、一元一次不等式组 x,3(x,3),5?,5. 解不等式组: ，并求出正整数解。 ,1，2x,x,1?,3,【思路点拨】分别解出各不等式，取所有的公共部分。 【答案与解析】 x解:由不等式?得?2， x,4由不等式?得， 5 多元智能教育倡导者 x,2,x,2?由?得，即 ,x,4,x,2?原不等式组的解集是，正整数解为1,2(
15、【总结升华】求不等式(组)的特殊解的一般步骤是先求出不等式(组)的解集，再从中找出符合要求的特殊解( 举一反三: ,3(2)4xx,【变式】求不等式组的整数解( ,25x,x1,3,【答案】 解:解不等式-3(x-2)?4-x，得x?1， 25x,解不等式，得x,-2， ,x13所以该不等式组的解集为:-2,x?1， 所以该不等式组的整数解是-1，0，1( 类型四、综合应用 x,132xyk，,6.若关于x,y的方程组的解满足，求k的整数值. ,y,123yx,【思路点拨】从概念出发，解出方程组(用k表示x、y)，然后解不等式组. 【答案与解析】 43k,x,32xyk，,7得解:解方程组 ,
16、29k，,，,xy23,y,.,7,43k,1,x,1,7即?， ,29k，y,1,1.,7,5,1k解得:, 2?整数k的值为0，1，2. 【总结升华】方程组的未知数是x、y，k在方程组里看成常数.通过求解方程组可以用k表示x、y.方程组的解满足不等式，那么可以将x、y用含k的式子替换，得到关于k的不等式组，可以求出k的取值范围，进而可以求出k的整数值. 举一反三: xmm6151,x【变式】m为何值时，关于x的方程: 的解大于1, 632【答案】 xmm6151,31m,x,x解:由，得， 563231m,m,2,1?，解得( 5xmm6151,m,2,x?当时，关于x的方程: 的解大于1
17、. 6326 多元智能教育倡导者 7.某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满;若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位( (1)求该校八年级学生参加社会实践活动的人数; (2)已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元(根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆(可以坐不满)(请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金( (【思路点拨】(1)设单独租用35座客车需x辆(根据单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满和单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位，分别表示出总人数，从而列方程求解;
18、(2)设租35座客车y辆，则租55座客车(4-y)辆(根据不等关系:?两种车坐的总人数不小于175人;?租车资金不超过1500元(列不等式组分析求解( 【答案与解析】 解:(1)设单独租用35座客车需x辆，由题意得: , 3555(1)45xx,x,5解得:. 35355175x,，,?(人). 答:该校八年级参加社会实践活动的人数为175人( (2)设租35座客车y辆，则租55座客车()辆，由题意得: 4,y3555(4)175yy，,?,， ,320400(4)1500yy，,?,11解这个不等式组，得( 12?y44?取正整数，?= 2. yy?4, = 4,2 = 2(辆). y?32
19、02，4002 = 1440(元). 所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元( 【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系( 【重难点关联练习巩固与方法总结】 类型一、不等式 1.用适当的语言翻译下列小题: (1)x与9的差是正数或0; (2)b与-5的和既不是正数也不是负数; (3)y的5倍既大于x又小于3x+2; (4)a的2倍与-4的差小于5或大于7; 1yx,0(5); 21,230x(6); 27 多元智能教育倡导者 (7) (8) 【总结升华】对“既又”，“既是也是”，“是
20、或是”等连接词也要逐步领会积累( 2. 设xy，试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x或y的值是多少? 【思路点拨】比较两个代数式的大小，可以运用不等式的性质得出比较方法。 【总结升华】两个数量的大小可以通过它们的差来判断: abab,0? abab,0? abab,0? 举一反三: 【变式】己知:x9的解集中的一个值,试求a的取值范围. 类型三、一元一次不等式组 8 多元智能教育倡导者 ,2x731x,，,42,4. 求不等式组的整数解. x31x，,33,25x,x1,3,【思路点拨】分别解出各不等式，取所有的公共部分. 【总结升
21、华】求不等式组的特殊解的一般步骤是先求出不等式组的解集，再从中找出符合要求的特殊解( 举一反三: x，15,x3,2【变式】若关于不等式组只有四个整数解，求a的取值范围. ,22x，,，xa,3,5. 某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台(三种家电的进价和售价如下表所示: 价格 进价(元/台) 售价(元/台) 种类 电视机 2000 2100 冰 箱 2400 2500 洗衣机 1600 1700 (1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案? (2)国家规定:农民购买
22、家电后，可根据商场售价的13,领取补贴(在(1)的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元? 【思路点拨】 (1)设购进电视机、冰箱各x台，则洗衣机为(15-2x)台(根据两个关键词:“不大于”、“不超过”就可以建立不等式组，根据x的取值讨论确定进货方案(2)分别求出(1)中各方案所需的补贴，再比较确定国家财政的最多补贴( 【总结升华】利用不等式解答实际问题的策略是:?根据题意构建不等式(组);解这个不等式(组);?由不等式9 多元智能教育倡导者 (组)的整数解的个数确定方案( 类型四、综合应用 x，1,m,03,6.已知不等式组的解集为，试求m，n的值( ,x23
23、,2,nx,4(1)1,【总结升华】先分别求出每一个不等式的解集，再求出这个不等式组的解集，然后根据题意，建立关于m、n的方程求解( 7.潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表: 种植A类蔬菜面积(单位:种植B类蔬菜面积(单种植户 总收入(单位:元) 亩) 位:亩) 甲 3 1 12500 乙 2 3 16500 说明:不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等( (1)求A、B两类蔬菜每亩平均收入各是多少元? (2)某种植户准备租20亩地用来种植A、B两类蔬菜，为了使总收入不低于63000元，且种植A类蔬菜的面积多于种植
24、B类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数)，求该种植户所有租地方案( 【总结升华】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，读懂统计表，能够从统计表中获得正确信息，及熟练解方程组和不等式组是解题的关键( 举一反三: 【变式】某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元;培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元( (1)求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元, (2)据市场调研，1株甲种花木售价为760元， 1株乙种花木售价为540元(该花农决定在成本不超过30000元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株,那么要使总利润不少
25、于21600元，花农有哪几种具体的培育方案, 10 多元智能教育倡导者 【课后强化巩固练习与方法总结】 【巩固练习】 一、选择题 1. 已知ab0，则下列不等式不一定成立的是( )( 112A. abb B. a+cb+c C. bc ab2. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质量m (g)的取值范围，在数轴上可表示为( )( 0 0 1 A 1 2 2 A B A 1 2 0 0 1 2 C D 240x,3.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )( ,x，10?,( ( ( ( ? ? ? ? ,1 0 ,1 ,1 ,1 0 2 0 2 2 0 2 A B C D 4
26、. 如果关于x的不等式 (a+1)xa+1的解集为x0 B. a-1 D. a-1 ,20x,5. 不等式组的正整数解的个数是( )( ,30,x,A(1个 B(2个 C(3个 D(4个 6. 以下各式中，一元一次不等式个数为( )( x,1x，112a,3,2x，3x,1x,y,0?;?;?;?;? ,x,332xA. 1 B. 2 C. 3 D. 0 7.不等式9,x,x，的正整数解的个数是( )( A(1 B(2 C(3 D(无数个 8.三个连续自然数的和小于11，这样的自然数组共有( )组( A(1 B(2 C(3 D(4 二、填空题 11 多元智能教育倡导者 9. 当x_时,代数式,
27、3x+5的值不大于4( 10.一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是_. x，1,0,11(不等式组的整数解是_. ,x，2,3,212(已知，是正数，则的取值范围 . (2)230xxya,，,ayx,1,13(不等式组的解集是 ( ,x,30,八、教学进度表14(关于x的方程2x+3k=1的解是负数,则k的取值范围是_. 15(若不等式(,)x,2的解集是x,则,的取值范围是_. 16(小明借到一本有72页的图书,要在10天之内读完,开始2天每天只读5页,那么以后几天里每天至少要读多少页?设以后几天里每天至少要读x页,所列不等式为_. 三、解答题 17(我市某初中举行“八荣八耻
28、”知识抢答赛，总共50道抢答题. 抢答规定:抢答对1题得3分，抢答错1题扣1分，不抢答得0分. 小军参加了抢答比赛，只抢答了其中的20道题，要使最后得分不少于50分，问小军至少要答对几道题, 初中阶段，我们只学习直角三角形中，A是锐角的正切；18. 在数学学习中，及时对知识进行归纳、类比和整理是提高学习效率的有效策略，善于学习的小明在学习解一元一次不等式中，发现它与解一元一次方程有许多相似之处(小明列出了一张对照表: 4、初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受数学在日常生活中的作用,感受加减法与日常生活的密切联系,同时获得一些初步的数学活动经验，发展解决问题和运用数学进行思考的能力。从表中
29、可以清楚地看出，解一元一次不等式与解一元一次方程有一定的联系，利用这种联系解决下列问题: (1)若不等式kx,b的解集是x,1，求方程kx=b的解; 集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。(2)若方程kx=b的解是x=-1，求不等式kx,b的解集( （2）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)12 六、教学措施：多元智能教育倡导者 156.46.10总复习4 P84-9019.解下列不等式(组)，并把不等式的解集表示在数轴上( 125,x(1) (2) ,34(1)33(21),，,，xx366、增加动手操作的机会，使学生获得正确的图形表象，正确计算一些几何形体的周长、面积和体积。20(舟山)某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车10辆(经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李( 53.264.1生活中的数3 P24-29(1)请你帮助学校设计所有可行的租车方案; (2)如果甲车的租金为每辆2000元，乙车的租金为每辆1800元，问哪种可行方案使租车费用最省? 【本次课程重点核心笔记与分析、方法总结】 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.13