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1、1.2.1任意角的三角函数教学案 (教师用书独具)三维目标1知识与技能(1)初步理解任意角的三角函数的概念；(2)初步学会判断三角函数在各象限中的符号；(3)初步学会使用三角函数线表示三角函数值；(4)能够推导同角三角函数的基本关系式；(5)能够学会使用公式一和同角三角函数的基本关系解题2过程与方法(1)借助于单位圆，得出任意角的三角函数的概念；通过相似三角形法，理解在不同情景下的三角函数的定义的统一性；(2)通过探究三角函数值在各象限的符号，发现三角函数值的分布规律；(3)观察角的终边在各象限时，三角函数线的画法及所表示的含义，加深对三角函数定义的理解；(4)学会使用定义法、公式法、数形结合
2、法解题3情感、态度与价值观通过本节课的学习，树立数形结合的思想，养成逻辑推理的习惯，发现数学中所蕴含的哲学思想. 重点难点重点：三角函数的定义、三角函数线难点：用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切(教师用书独具)教学建议 1三角函数的定义关于三角函数定义的教学，建议教师在教学过程中，注意引导学生由锐角三角函数推广到任意角的三角函数，这样讲很自然地把新旧知识连成线，又让学生体会到了由特殊到一般的思维方法2三角函数定义域、函数值符号的判定(1)关于三角函数定义域的教学，建议教师紧紧抓住任意角三角函数的定义，让学生自己观察、思考、总结，得出结论(2)关于函数值符号的判定的教学，建议教师让学生独立
3、完成，最后以教师点评的方式进行，同时引导学生推导终边落在坐标轴上时正、余弦函数的取值情形3三角函数线关于三角函数线的教学，建议教师在教学过程中，利用多媒体予以呈现，让学生直观的感受三角函数线与三角函数线的关系，及在单位圆中的位置结合图形，讲清三角函数线的位置、方向和大小教学流程通过例2及其变式训练，使学生掌握利用三角函数在各象限的符号规律判断三角函数值符号的方法.通过例3及其变式训练，使学生掌握三角函数线的画法及利用三角函数线求角范围的方法.课前自主导学课标解读1.理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值2会判断给定角的三角函数值的符号(重点、难点)3会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的
4、大小及表示角的范围(难点)任意角的三角函数的定义【问题导思】根据锐角三角函数的定义，完成下面的填空：图形定义sin A_，cos A_，tan A_【提示】，.在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点P的坐标是(x，y)并记|OP|r(此时r0)，那么名称定义定义域正弦sin R余弦cos R正切tan |k，kZsin ，cos ，tan 分别称为正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数三角函数在各象限符号【问题导思】如果角的终边在x轴上方，那么能否判断sin 的符号？【提示】sin ，y0，r0，sin 0.三角函数线【问题导思】1结合图形思考：在单位圆中，三角函数能否用图中的有向线段来
5、表示？【提示】能2若选取角终边与单位圆的交点为P(x，y)，如何求sin ，cos ？【提示】r1，sin y，cos x.(1)有向线段：规定了方向的线段(2)三角函数线课堂互动探究三角函数的定义及应用例1(2013青岛高一检测)已知角的终边上有一点P(，m)，且sin m，求cos 与tan 的值【思路探究】先利用三角函数定义sin ，求出m的值，再用公式cos ，tan 代入数据求解【自主解答】由已知r，m，解得m0，或m，(1)当m0时，cos 1，tan 0；(2)当m时，cos ，tan ；(3)当m时，cos ，tan .规律方法1利用三角函数的定义求一个角的三角函数值需明确三个
6、量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.2当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论互动探究将本例中条件改为“已知角的终边上有一点P(m，)(m0)，且cos m”，如何求tan 的值？【解】由已知得m，m0，m，当m时，tan ；当m时，tan .三角函数值的符号例2判断下列各式的符号：(1)是第四象限角，sin tan ；(2)sin 3cos 4tan()【思路探究】先确定各角所在象限，再判定各个三角函数值符号，然后判定三角函数式的符号【自主解答】(1)是第四象限角，sin 0，tan 0.(2) 3，40，cos 4
7、0，sin 3cos 4tan()0时，ra，sin .当a0，cos 0，则a的取值范围为_【解析】sin 0，cos 0，终边在第二象限或y轴正半轴上，3a90，a20，2a3.【答案】(2，37已知角的终边与射线y3x(x0)重合，则sin cos tan 的值为_【解析】在角终边上取一点P(1，3)，此时x1，y3.r.由三角函数定义得sin ，cos ，tan 3.sin cos tan (3)3.【答案】8使sin xcos x成立的x的一个变化区间是_，；，；，；0，【解析】如图，画出三角函数线sin xMP，cos xOM，由于sin()cos()，sin cos ，为使sin
8、 xcos x成立，由图可得x.【答案】二、解答题9(2013杭州高一检测)已知角的终边过点(a，2a)(a0)，求的三个三角函数值【解】因为角的终边过点(a，2a)(a0)，所以r|a|，xa，y2a.当a0时，sin ，cos ，tan 2；当a0时，sin ，cos ，tan 2.10已知角的顶点在原点上，始边与x轴的非负半轴重合，且sin 0，tan 0.(1)求角的集合；(2)判断为第几象限角；(3)判断tan ，sin cos 的符号【解】(1)因为sin 0，tan 0，所以角是第三象限角，故角的集合为|2k2k，kZ(2)由(1)知kk (kZ)当k2m(mZ)时，2m2m(m
9、Z)，所以是第二象限角；当k2m1(mZ)时，2m2m(mZ)，所以是第四象限角所以是第二或第四象限角(3)由(2)知是第二或第四象限角，从而tan 0，sin cos 0.11利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围 (1)sin x；(2)|cos x|.【解】(1)作出单位圆如图所示在02内，sin ，sin，满足sin x的角x在(，)内故在任意角范围内满足sin x的角x的范围是2kx2k(kZ)(2)作出单位圆如图所示在0内，|cos |，|cos |.在2内，|cos |，|cos |.根据余弦线的变化情况可知满足|cos x|的角x的取值范围是kxk(kZ).(教师用书独具)备选
10、例题求函数f()的定义域【思路探究】要使函数f()有意义，则sin .利用三角函数线可得x的范围，即为函数f()的定义域【自主解答】要使函数f()有意义，必须使2sin 10，则sin .如图，画出单位圆，作出x轴的平行直线y，交单位圆于两点P1，P2，连接OP1，OP2，分别过点P1，P2作x轴的垂线，画出如图的两条正弦线，易知这两条正弦线的值都等于.在0，2)内，sin sin .由于sin ，故满足条件的角的终边在图中阴影部分，所以函数f()的定义域为|2k2k，kZ规律方法利用三角函数线求三角函数的定义域时，一般转化为不等式(组)，其解题思路是：(1)首先画出取边界值的角1的终边并在02(或20)范围内写出1的值(2)根据三角函数线所在的范围，确定满足条件的角终边所在范围(3)写出解集备选变式求函数ylg(2sin x)的定义域【解】要使函数y有意义，只需即如图所示，由单位圆知2kx2k，kZ.故原函数的定义域为x|2kx2k，kZ