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1、数学必修4平面向量综合练习题答案一、选择题 【共12道小题】 1、下列说法中正确的是( ) A.两个单位向量的数量积为1 B.若a?b=a?c且a?0,则b=c C. D.若b?c,则(a+c)?b=a?b 参考答案与解析:解析:A中两向量的夹角不确定;B中若a?b,a?c,b与c反方向则不成立;C中应为;D中b?cb?c=0,所以(a+c)?b=a?b+c?b=a?b. 答案:D 主要考察知识点:向量、向量的运算 2、设e是单位向量,=2e,=-2e,|=2,则四边形ABCD是( ) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 参考答案与解析:解析:,所以|=|,且AB?CD,所以四边形ABC
2、D是平行四边形.又因为|=|=2,所以四边形ABCD是菱形. 答案:B 主要考察知识点:向量、向量的运算 3、已知|a|=|b|=1，a与b的夹角为90?,且c=2a+3b，d=ka-4b,若c?d,则实数k的值为( ) A.6 B.-6 C.3 D.-3 参考答案与解析:解析:?c?d,?c?d=(2a+3b)?(ka-4b)=0,即2k-12=0,?k=6. 答案:A 主要考察知识点:向量、向量的运算 4、设0?,2,已知两个向量=(cos，sin),=(2+sin，2-cos)，则向量长度的最大值是( ) A. B. C. D. 参考答案与解析:解析:=(2+sin-cos,2-cos-
3、sin), 所以|=?=. 答案:C 主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示 5、设向量a=(1,-3)，b=(-2,4)，c=(-1,-2)，若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( ) A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6) 参考答案与解析:解析:依题意,4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,所以d=-6a+4b-4c=(-2，-6). 答案:D 主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示 6、已知向量a=(3，4)，b=(-3，1)，a与b的夹角为,则tan等于( ) A. B.- C.3 D.-3 参考答
4、案与解析:解析:由已知得a?b=3(-3)+41=-5，|a|=5，|b|=， . 所以cos=由于?,0，, . 所以sin=所以tan=-3. 答案:D 主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示 7、向量a与b不共线,=a+kb,=la+b(k、l?R),且与共线,则k、l应满足( ) A.k+l=0 B.k-l=0 C.kl+1=0 D.kl-1=0 参考答案与解析:解析:因为与共线,所以设=(?R),即la+b=(a+kb)=a+kb,所以(l-)a+(1-k)b=0. 因为a与b不共线,所以l-=0且1-k=0,消去得1-lk=0,即kl-1=0. 答案:D 主要考察知识点:向量、向
5、量的运算 8、已知平面内三点A(-1,0),B(5,6),P(3,4),且AP=PB,则的值为( ) A.3 B.2 C. D. 参考答案与解析:解析:因为=,所以(4，4)=(2，2).所以=. 答案:C 主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示 9、设平面向量a1，a2，a3的和a1+a2+a3=0，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|=2|ai|，且ai顺时针旋转30?后与bi同向，其中i=1，2，3，则( ) A.-b1+b2+b3=0 B.b1-b2+b3=0 C.b1+b2-b3=0 D.b1+b2+b3=0 参考答案与解析:解析:根据题意,由向量的物理意义,共点的向量模伸长为
6、原来的2倍,三个向量都顺时针旋转30?后合力为原来的2倍,原来的合力为零,所以由a1+a2+a3=0,可得b1+b2+b3=0. 答案:D 主要考察知识点:向量、向量的运算 10、设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若,且?=1,则P点的轨迹方程是( ) A.3x2+y2=1(x,0,y,0) B.3x2y2=1(x,0,y,0) x2-3y2=1(x,0,y,0) D.x2+3y2=1(x,0,y,0) C.参考答案与解析:解析:设P(x,y),则Q(-x,y).设A(xA),xA,B(0,yByB0,=(x,y-yB
7、)=(xAx,-y). ?=2PA,?x=2(xA,x),y-yB=2y,xA=x,yB=3y(x,0,y,0). 又?=1,(-x,y)?(-xA,yB)=1, ?(-x,y)?(x,3y)=1, x2+3y2=1(x,0,y,0). 即答案:D 主要考察知识点:向量、向量的运算 11、已知?ABC中，点D在BC边上，且，若,则r+s的值是( ) A. B.0 C. D.-3 参考答案与解析:解析:?ABC中，=()=-，故r+s=0. 答案:B 主要考察知识点:向量、向量的运算 12、定义ab=|a|b|sin，是向量a和b的夹角，|a|、|b|分别为a、b的模，已知点A(-3,2)、B(
8、2,3),O是坐标原点，则等于( ) A.-2 B.0 C.6.5 D.13 参考答案与解析:解析:由题意可知=(-3,2),=(2,3), 计算得?=-32+23=0， 另一方面?=|cos， ?cos=0, 又?(0,)，从而sin=1，?=|sin=13. 答案:D 主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示 二、填空题 【共4道小题】 1、已知a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7,则向量a与b的夹角是_. 参考答案与解析:解析:由已知得a+b=-c,两边平方得a2+2a?b+b2=c2,所以2a?b=72-32-52=15.设a与b的夹角为,则cos=, 所以=60?.
9、答案:60? 主要考察知识点:向量、向量的运算 2、若=2e1+e2,=e1-3e2,=5e1+e2,且B、C、D三点共线,则实数=_. 解析:由已知可得=(e1-3e2)-(2e1+e2)=-e1-4e2, 参考答案与解析:=(5e1+e2)-(e1-3e2)=4e1+(+3)e2. 由于B、C、D三点共线,所以存在实数m使得, 即-e1-4e2=m,4e1+(+3)e2,.所以-1=4m且-4=m(+3),消去m得=13. 答案:13 主要考察知识点:向量、向量的运算 3、已知e1、e2是夹角为60?的两个单位向量,则a=2e1+e2和b=2e2-3e1的夹角是_. 参考答案与解析:解析:
10、运用夹角公式cos=，代入数据即可得到结果. 答案:120? 主要考察知识点:向量、向量的运算 4、如图2-1所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内的是_. 图2-1 ? ?+ ? ?+ ?- 参考答案与解析:解析:由向量减法法则可知?不符合条件,?显然满足，?不满足. 答案:? 主要考察知识点:向量、向量的运算 三、解答题 【共6道小题】 1、如图2-2所示，在?ABC中,=c,=a,=b,且a?b=b?c=c?a，试判断?ABC的形状. 图2-2 参考答案与解析:解:?a?b=b?c,?b?(a-c)=0. 又b=-(a+c), ?-(a+c)?(a-c)=0,
11、即c2-a2=0. ?|c|=|a|.同理,|b|=|a|, 故|a|=|b|=|c|,所以?ABC为等边三角形. 主要考察知识点:向量、向量的运算 2、如图2-3所示,已知|=|=1，、的夹角为120?,与的夹角为45?,|=5,用，表示.(注:cos75?=) 图2-3 参考答案与解析:解:设=+, 则?=(+)?=+?=+cos120?=. 又?=|cos45?=5cos45?=, ?=, ?=(+)?=?+=cos120?+=+. 又?=|?|cos(120?-45?)=5cos75?=, ?+=. ?=,=. ?=+. 主要考察知识点:向量、向量的运算 3、在四边形ABCD中(A、B
12、、C、D顺时针排列),=(6，1)，=(-2，-3).若有?,又有?,求的坐标. 参考答案与解析:解:设=(x,y),则=(6+x,1+y),=(4+x,y-2),=(-x-4,2-y),=(x-2,y-3). 又?及?, 所以x(2-y)-(-x-4)y=0, ? (6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0. ? 解得或 ?=(-6,3)或(2,-1). 主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示 4、已知平面向量a=(,-1),b=(,). (1)证明a?b; (2)若存在不同时为零的实数k、t,使得x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x?y,求函数关系式k=f(t). 参考答案
13、与解析:(1)证明:因为a?b=(，-1)?(，)=+(-1)=0，所以a?b. (2)解:由已知得|a|=2，|b|=1, 由于x?y,所以x?y=0,即,a+(t2-3)b,?(-ka+tb)=0. 所以-ka2+ta?b-k(t2-3)b?a+t(t2-3)b2=0. 由于a?b=0,所以-4k+t(t2-3)=0. 所以k=t(t2-3). ，t不同时为零得k=t(t2-3)(t?0). 由已知k主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示 5、已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2). (1)若|c|=,且c?a,求c的坐标; (2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,
14、求a与b的夹角. 参考答案与解析:解:(1)设c=(x，y),?|c|=,?,即x2+y2=20, ? ?c?a,a=(1，2),?2x-y=0,即y=2x. ? 联立?得或 ?c=(2,4)或(-2,-4). (2)?(a+2b)?(2a-b),?(a+2b)?(2a-b)=0, (1)定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.即2a2+3a?b-2b2=0. (3)边与角之间的关系：?2|a|2+3a?b-2|b|2=0. ? (一)教学重点（1）圆周角：:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.?|a|2=5，|b|2=,代入?式得a?b=
15、. 2. 图像性质：?cos=-1. 又?,0，,，?=. 主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示 33.123.18加与减（一）3 P13-176、如图2-4所示,已知?AOB,其中=a,=b,而M、N分别是?AOB的两边OA、OB上的点,且=a(0,1),=b(0,1),设BM与AN相交于P,试将向量=p用a、b表示出来. (一)数与代数图2-4 参考答案与解析:解:由题图可知p=或p=,而=a， 设=m()=m(b-a), 又?=b，设=n()=n(a-b), ?p=a+m(b-a)=(1-m)a+mb， p=b+n(a-b)=na+(1-n)b. ?a、b不共线,且表示方法唯一， ?解得 1.圆的定义：?p=,a+， 弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)锐角A的正弦、余弦和正切都是A的三角函数当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。即p=. 主要考察知识点:向量、向量的运算