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1、数学思想方法和常用的解题技巧数学思想方法和常用的解题技巧巩固训练 一、填空题 ，b1a,1(若ab1，P,lg a?lg b，Q,(lg a，lg b)，R,lg,，则P、Q、R的大2,2,是_( 小关系3解析 取a,100b,10此时P, 2Q,lg 1 000R,lg 55,lg 23 025比较可知PQR. 答案 PQ03(函数f(x),的零点个数为_( 2x，1，x?0,2解析 当x0时可作出y,lnxy,x,2x的图象如图所示(由图示可得函数12f(x),ln x,x，2x(x0)有两个零点(当x0时f(x),2x，1有零点x,.综2上可得f(x)有3个零点( 答案 3 24(设0x
2、，则“xsin x1”是“xsinx1”的_条件( 22解析 由0x得0sin x1故由xsin x1可得xsinxxsin x1即“xsin2x1”2112是“xsin x1”的必要条件,而若xsinx1则xsin x1故不能得sin xsin x到xsin x1所以“xsin2x1”是“xsin x1”的必要而不充分条件( 答案 必要不充分 x，y,1?0，,x,1?0，5(在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区,ax,y，1?0域的面积等于2，则a的值为_( 解析 如图阴影部分即为满足x,1?0与x，y,1?0的可行域(而直线ax,y，1,0恒过点(0,1)故看作该直线
3、绕点(0,1)旋转当a,5时则可行域不是一个封闭区域,1时封闭区域的面积是1,当a,2当a3时封闭区域的面积是,当a,3时封闭2区域的面积恰好为2. 答案 3 ，b6(已知a为不垂直的异面直线，是一个平面，则a，在b上的射影有可能是:?两条平行直线;?两条互相垂直的直线;?同一条直线;?一条直线及其外一点( 在上面的结论中，正确结论的序号是_(写出所有正确的序号)( 解析 构造正方体ABCD,A1B1C1D可用其中实例说明A1D1与BC1在平面1ABCD上的射影互相平行AB1与BCCD上的射影互相垂直BC1与DD在平面1AB1CD上的射影是一条直线及其外一点( 在平面AB答案 ? a27(已知
4、函数f(x),ln x,.若f(x)x在(1，?)上恒成立，则a的取值范围是x_( a22解析 ?f(x)x?ln x,1 x3?axln x,x 32令g(x),xln x,xh(x),g(x),1，ln x,3x 211,6xh(x),6x, xx当x?(1，?)时 h(x)0恒成立?h(x)在(1，?)上单调递减( ?h(x)h(1),20. ?即g(x)0 ?g(x)在(1，?)上单调递减( ?g(x),1. 答案 (,1，?) 8(定义在R上的偶函数f(x)满足f(x，1),f(x)，且在,1,0上是增函数，给出下列关于f(x)的命题:?f(x)是周期函数;?f(x)关于直线x,1对
5、称;?f(x)在0,1上是增函数;?f(x)在1,2上是减函数;?f(2),f(0)(其中正确命题的序号是_( 解析 由f(x，1),f(x)可得f(x，2),f(x，1)，1),f(x，1),(,f(x),f(x)所以函数f(x)是周期函数它的一个周期为2所以命题?正确,由f(x1111,，1),f(x)令x,可得f,f,而函数f(x)为偶函数所以f,22221111,f,f解得f,0故f,0.根据函数f(x)在,1,0上为增,22221,函数及,f,0作出函数f(x)在,1,0上的,2图象然后根据f(x)为偶函数作出其在0,1上的图象再根据函数的周期性把函数图象向两方无限延展即得满足条件的
6、一个函数图象如图所示 . 由函数的图象显然可判断出命题?正确而函数f(x)在0,1上是减函数在1,2上是增函数所以命题?是错误的(综上命题?是正确的( 答案 ? 二、解答题 29(设函数f(x),x,aln x(a?R)( x(1)当a,3时，求f(x)的极值; (2)讨论函数f(x)的单调性( 解 (1)函数f(x)的定义域为(0，?)( 22,3x，23x，x,1，x,2，当a,3时，f(x),1，,.令f(x),0，解得x222xxxx,1或2. f(x)与f(x)随x的变化如下表: x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，?) 0 0 f(x) ， , ， f(x) 极大值 极小值
7、所以f(x)在x,1处取得极大值，f(1),1; 在x,2处取得极小值，f(2),1,3ln 2. 22,ax，ax2(2)f(x),1，,， 22xxx2令g(x),x2,ax，2，其判别式,a,8， ?当|a|?22时，?0，f(x)?0，故f(x)在(0，?)上单调递增( ?当a0，g(x),0的两根都小于0，所以在(0，?) 上，f(x)0. 故f(x)在(0，?)上单调递增( 22,8,8a,aa，a?当a22时，0，g(x),0的两根为x,，x,，且1222都大于0， f(x)与f(x)随x的变化如下表: x x x (0，x) (x，x) (x，?) 121122f(x) 0 0
8、 ， , ， f(x) 极大值 极小值 22,a,a,8a，a,8故f(x)在,，,上单调递增，在0，?,2222,a,a,8a，a,8,上单调递减( ，,22综上，当a?22时，f(x)在(0，?)上单调递增;当a22时，f(x)在2222,a,a,8a，a,8a,a,8a，a,8,，,上单调递增，在,0，?，,2222上单调递减( 10(已知各项均为正数的等差数列的公差ad不等于0. na,2，设a，a，a7是公比为的等比数列qb的前三项( 113n(1)求数列ab的前n项和T; nnn(2)将数列a中与b中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列，设cnnn,2n1n1*其前n项和为，求S
9、S,2，3?2(n?2，n?N)的值( ,n2nn12解 因为a，a，a7成等比数列，a是公差d?0的等差数列，所以(，a2d)13n1,a(a，6d)，整理得a,2d. 111baa，2d231又a,2，所以d,1，b,a,2，q,2，所以a,a，(n,111n1baa111,n1nn1)d,n，1，b,b?q,2，所以anbn,(n，1)?2. n1，n1(1)用错位相减法，可求得ba的前n项和T,n?2. nnnnn(2)新的数列c的前2,n,1项和为数列a的前2,1项和减去数列b的nnn前n项和， nnn,1，2，2，2，1,2，2所以S, ,2nn121,2,nn1,(2,1)(2,
10、1)， ,2n1n1所以S,2，3?2,1. ,2nn1132211(已知函数f(x),x,ax，(a,1)x(a?R)( 3(1)若x,1为f(x)的极值点，求正数a的值，并求出f(x)在0,4上的最值; (2)若f(x)在区间(0,2)上不单调，求实数a的取值范围( 22解 (1)f(x),x,2ax，a,1， 2由题意，f(1),0，即a,2a,0， 解得a,0(舍去)或a,2. 2当a,2时，f(x),x,4x，3,(x,1)(x,3)， 令f(x)0，解得x3;令f(x)0， 解得1x3. f(x)的增区间为(,?，1)，(3，?)，减区间为(1,3)( 于是f(x)在0,1上单调递
11、增，在1,3上单调递减;在3,4上单调递增， ,444,因此f(x)在0,4上的最大值为maxf(1)，f(4),max，,;f(x)在0,4上的,3330，0最小值为minf(0)，,0.f(3),min 84.164.22有趣的图形1 整理复习2(2)函数f(x)在区间(0,2)上不单调?函数f(x)在(0,2)内存在零点，而f(x),0的两根为a,1，a，1，所以0a,12，或0a，12，即1a3或,1ab0) 的右焦点F，22ab2. 图像性质：且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x,a2上的射影依次为点D，K，E. (1)若抛物线x2,43y的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方
12、程; (2)连接AE，BD，证明:当m变化时，直线AE，BD相交于一定点( 解 (1)由题意，易知b,3，椭圆C的右焦点F(1,0)， 9切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长想等，圆外切四边形对边相等，直角三角形内切圆半径公式.则c,1，所以a,2. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.22xy故所求椭圆C的方程为，,1. 432,(2)由题意，知F(1,0)，K(a0)( 先探索:当m,0时，直线l?x轴，此时四边形ABED为矩形，由对称性，21，a,知AE，BD相交于FK的中点,N,，0.猜想:当m变化时，直线AE，BD,2,21，a,相交于定点,N,，0. ,2,（6）二次
13、函数的图象：是以直线x=h为对称轴，顶点坐标为（h，k）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）22证明:设A(x，y)，B(x，y)，D(a，y)，E(a，y)( 112212顶点坐标：（，）首先证明当m变化时，直线AE过定点N. x,my，1，,222222222222,由，bm)y，2mby，b(1,a),0.则,4ab(a消掉x，得(axy，,1，,22 ,ab22，mb,1)0(a1)， 222，2mb，1,ab用求根公式可求得方程的两根，从而得，yy,，yy,. 1212222222a，bma，bm推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,
14、那么它们所对应的其余各组量都分别相等.,y,y12又k,，k,， ANEN221,a,1a,my122互余关系sinA=cos(90A)、cosA=sin(90A),y,y12所以k,k, ANEN22a,11,a,my1222a,1，y，y，,myy12122, 221,aa,1,my,12,2,函数的增减性：2222，a,12mbb，1,a,?,m?222222a，a，2,bm,bm, 221,a,1a,my,122,三角形内心的性质:三角形的内心到三边的距离相等. (三角形的内切圆作法尺规作图)2222m，1,a2，b,2m，1,a，b,0. 2,1a,2222，1,a，,my,，a，bm，1,2,所以k,k.所以A，E，N三点共线(同理可证B，D，N三点共线(所以当ANENm变化时， 21，a,直线AE，BD相交于定点,N，0. ,2,