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1、练习 第一讲 数与式 1.1 数与式的运算 1.1.1. 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: 22(1)平方差公式 ; ()()ababab，,222(2)完全平方公式 ( ()2abaabb,，我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: 2233(1)立方和公式 ; ()()abaabbab，,，,，2233(2)立方差公式 ; ()()abaabbab,，,2222(3)三数和平方公式 ; ()2()abcabcabbcac，,，33223(4)两数和立方公式 ; ()33abaababb，,，33223(5)两数差立方公式 ( ()33abaababb,，,对上面列出的五个
2、公式，有兴趣的同学可以自己去证明( 22【例1】 计算:( (1)(1)(1)(1)xxxxxx，,，2222，(1)(1)xxx,，,解法一:原式= ，242 = (1)(1)xxx,，6x,1 =( 22解法二:原式= (1)(1)(1)(1)xxxxxx，,，,，33 = (1)(1)xx，,6x,1 =( 222abc，【例2】 已知abc，,4，abbcac，,4，求的值( 2222解: ( abcabcabbcac，,，,，,()2()8练习: 123xx,，,3101、已知，求的值( x，3x12xx,，,310解: ？x,0 ？x，,3x1111222原式= (x，)(x,1，
3、),(x，)(x，),3,3(3,3),182xxxx111111a，b，c,02、已知，求的值( abc()()()，bccaab？a，b，c,0,？a，b,c,b，c,a,c，a,b解: b，ca，ca，ba,，b,，c, 原式= ？bcacab第1页 练习 333aabbccabc()()(),， ? ,，,bcacababc33223 ？a，b,(a，b)(a，b),3ab,c(c,3ab),c，3abc3abc333？a，b，c,3abc ?，把?代入?得原式= ,3abc说明:注意字母的整体代换技巧的应用( 1.1.2. 因式分解 因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公
4、式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法( 一、公式法 【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式: 338，x0.12527,b (1) (2) 333382,分析: (1)中，(2)中( 0.1250.5,27(3),bb3332解:(1) 82(2)(42)，,，,，,，xxxxx33322 (2) 0.125270.5(3)(0.53)0.50.53(3),，bbbbb2 ,，(0.53)(0.251.59)bbb333说明:(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如，8(2)abab,nnn这里逆用了法则;(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，
5、一定要看准因式中各项的()abab,符号( 二、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式(而对于四项mambnanb，以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取(因此，可以先将多项式分组处理(这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法(分组分解法的关键在于如何分组( 2222 【例2】把分解因式( abcdabcd()(),分析:按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式( 22222222解: abcdabcdabcabdacdbcd()(),，第2页 练习 2222 ,，,()()abcacdbcdabd,，,
6、，acbcadbdbcadbcadacbd()()()() 说明:由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律(由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用( 222 【例3】把分解因式( 2428xxyyz，,222 分析:先将系数2提出后，得到，其中前三项作为一组，它是一个完全xxyyz，,24平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式( 222222解: 24282(24)xxyyzxxyyz，,，,22 ,，,，,2()(2)2(2)(2)xyzxyzxyz说明:从例5、例6可以看出:如果一个多项式的项分组后，
7、各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式( 三、十字相乘法 2xpqxpq，()1(型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是: ;(2) 常数项是两个数之积;(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和( (1) 二次项系数是122 xpqxpqxpxqxpqxxpqxpxpxq，,，,，,，()()()()()2因此， xpqxpqxpxq，,，()()()运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式( 【例4】 分解因式: 22 (1)x,3x，2; (2)x，4x,12; 2
8、2xyxy,，,1 (3); (4)( xabxyaby,，()2 解:(1)如图1(2,1，将二次项x分解成图中的两个x的积，再将常数项2分2解成,1与,2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为,3x，就是x,3x，2中的一次项，所以，有 2x,3x，2,(x,1)(x,2)( x 1 x 1 ,2 ,1 ,ay ,1 1 x x 1 6 ,2 ,by ,2 图1(2,3 图1(2,1 第3页 图1(2,4 图1(2,2 练习 说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1(2,1中的两个x用1来表示(如图1(2,2所示)( (2)由图1(2,3，得 2x，4x,12,(x,2
9、)(x，6)( (3)由图1(2,4，得 22x ,1 ()()xayxby, , xabxyaby,，()y 1 xyxy,，,1(4),xy，(x,y),1 图1(2,5 ,(x,1) (y+1) (如图1(2,5所示)( 22(关于x的二次三项式ax+bx+c(a?0)的因式分解( 2若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式axbxca，,0(0)xx122就可分解为. axxxx()(),axbxca，,(0)12【例5】 把下列关于x的二次多项式分解因式: 222xx，,21(1); (2)( xxyy，,442xx，,21x,，12x,12解: (1)令=0，则解得， 122，
10、xx，,21= ?xx,，,(12)(12)，=( (12)(12)xx，,，22xy,，(222)xy,(222)(2)令=0，则解得， xxyy，,441122 ?=( 2(12)2(12)xyxy，,，xxyy，,44四、其它因式分解的方法 1(配方法 2xx，,616 【例6】分解因式 222222解: xxxxx，,，,，,616233316(3)5,，,，,(35)(35)(8)(2)xxxx 说明:这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解(当然，本题还有其它方法，请大家试验( 2(拆、添项法 32xx,，34 【例7】分解因
11、式 分析:此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行(细查式中无一次项，第4页 练习 如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决( 3232解: xxxx,，,，,34(1)(33)22 ,，,，,，,，,，,(1)(1)3(1)(1)(1)(1)3(1)xxxxxxxxx22 ,，,，,，,(1)(44)(1)(2)xxxxx说明:本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成222,3x可以用公式法及提取公因式的条件(本题还可以将拆成，将多项式分成两组xy,4232,，44x和( ()xx，
12、一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行: (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式; (2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解; (3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解; (4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止( 练习:1(把下列各式分解因式: 333a，278,m,，278x (1) (2) (3) (把下列各式分解因式: 234nn，332232 (1) (2) (3) xxy,yxxy(2),，xyx，3(把下列各式分解因式: 2222xx,，32xx,627mmnn,45 (1) (2)
13、 (3) 4(把下列各式分解因式: 543nnn，21222axaxax,，1016aabab，,6 (1) (2) (3) (2)9xx,222 (4) (5) 82615xxyy，,7()5()2abab，,，,5(把下列各式分解因式: 32228421xxx，, (1) (2) (3) 33axayxyy,，,51526xxxyy,，,43222422663abababab，, (4) (5) (6) 414xyxy，,xyx,，212 (7) xxyxyx(1)()，,，22222ababab，26(已知，求代数式的值( abab，,23第5页 练习 53nnn,，547(证明:当为大
14、于2的整数时，能被120整除( n3223aacbcabcb，,，,08(已知，求证:( abc，,0答案: 2221( (3)(39),(2)(42),(23)(469),aaammmxxx，,，,，,，2222n224322( xxyyxyxxxyxxyy()(),()(),，,，,，yxxxxx(1)(4321),，(2)(1)xx,(9)(3)xx,，(5)()mnmn,，3(， 3n2(2)(415),xyxy,，4( ; ; axxx(2)(8),aabab(3)(2)，,(3)(1)(23)xxxx,，,，(772)(1)abab，, 2(12)(12),，,xyxy5(; ()
15、(3),(21)(21),(3)(52)xyayxxxxy,，,，23333( abababxyxyxxyxy()(),(1)(1),()(1)，,，,，286( 3537( nnnnnnnn,，,，54(2)(1)(1)(2)3223228( aacbcabcbaabbabc，,，,，()()1.,.3(绝对值 绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零(即 aa,0, |0,0,aa,aa,0.,绝对值的几何意义:一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离( a,b两个数的差的绝对值的几何意义:表示在数轴上，数和数b之间的距离( a绝对值的性质
16、: 2(1)a,|a|,0 222(2) (,a),a,|a|2222(3) |a|,|b|,a,b;|a|,|b|,a,b|x|,a,a,x,a(a,0);|x|,a,x,a或x,a(a,0)(4) 第6页 练习 |x，2|,3【例1】解不等式: 书P14 |x，2|,|2x,1|解方程: 【例2】书P14 【例3】 解不等式:xx,，,13,4( 解法一:由，得;由，得; x,1,0x,1x,30x,3,(1)(3)4xx?若，不等式可变为， x,1即,，24x,4，解得x,0， 又x,1， 0; ?x,(1)(3)4xx,?若，不等式可变为， 12,x即1,4， ?不存在满足条件的x;
17、(1)(3)4xx,，,?若x,3，不等式可变为， 即24x,4， 解得x,4( 又x?3， ?x,4( 综上所述，原不等式的解为 x,0，或x,4( x,1解法二:如图1(1,1，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|,|x,1|;|x,3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，|PB|,|x,3|( 即|x,3| xx,，,13所以，不等式,4的几何意义即C A P D B 为 |PA|，|PB|,4( x x 0 1 3 4 由|AB|,2，可知 |x,1| 点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点图1(1,1 D(坐标为4)的右侧( x,0
18、，或x,4( 练习: 1、解下列不等式(组): |x|,1|x，1|,21,|2x,1|,2 (1) (2) (3) 2、解下列方程: 第7页 练习 2(1) (2) |x,1|,|x，1|,1x,|x,1|,1,03、化简: |x,5|,|2x,13|(x,5)、若，求的值 4|x,1|，|x,3|1,x,35、解不等式: (1) (2) |2x,1|，|x,2|,3|3x,1|,|x，2|,11.1.4(二次根式 一般地，形如的代数式叫做二次根式(根号下含有字母、且不能够开aa(0),222得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而32aabb，ab，2222221xx，等是有理式(
19、 axxyy，22其性质如下: 22aa,| (1) (2) ()(0)aaa,bb (3) (4) ababab,(0,0),(0,0)abaa1(分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化(为了进行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念(两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，3aa22axby，与，与，等等( 一般地，与，36，36,2332,2332，axxaxby,与，与互为有理化因式( axb，axb,分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程;而分子有理化则
20、是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式ababab,(0,0);而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算;二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式( 二次根式的化简结果应满足: ?被开方数的因数是整数，因式是整式; ?被开方数不含能开得尽方的因数或因式( 二次根式的化简常见类型有下列两种: ?被开方数是整数或整式(化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来; 第8页 练习 a3x?分母中有根式(如)或被开
21、方数有分母(如)(这时可将其化为形式2b23，xx(如可化为) ，转化为 “分母中有根式”的情况(化简时，要把分母中的根式化223(23),3为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简(如化为，(23)(23)，,23，其中与叫做互为有理化因式)( 23，23,22(二次根式的意义 aaa,0,2 aa,aa,0.,【例1】将下列式子化为最简二次根式: 624(0)xyx,aba(0),(1); (2); (3)( 12b解: (1); 1223bb,2 (2); abababa,(0)633 (3)( 422(0)xyxyxyx,【例2】计算:( 3(33),3, 解法一: 3(33),
22、33,3(33),， , (33)(33),，333， , 93,3(31)， , 631， ,( 23解法二: , 3(33),33,3 , 3(31),1 , 31,31， , (31)(31),，第9页 练习 31， ,( 2【例3】试比较下列各组数的大小: 2(1)和; (2)和. 1110,226,1211,64，1211(1211)(1211)1,，解: (1)?， 1211,112111211，1110(1110)(1110)1,， ， 1110,111101110，又， 12111110，,，?,( 1110,1211,226(226)(226)2,+ (2)? 226,122
23、6226+又 4,22， ?6，4,6，22， 2 ?,. 226,64，20042005( 【例4】化简:(32)(32)，,20042005解: (32)(32)，,20042004 , (32)(32)(32)，,2004， ,(32)(32)(32)，, ，2004 , 1(32),( 32,12xx，,2(01)945,【例5】化简:(1); (2)( 2x,，5454 解:(1)原式 22 ,，(5)22522 ,(25),25( ,52112()x,x (2)原式=， xx01,x?， 1?， ,1xx第10页 练习 1 所以，原式,( ,xx3232,，22【例6】 已知，求的
24、值 ( 353xxyy,，xy,3232，,3232,，22 解: ?， xy，,，,，,(32)(32)103232，,3232,， xy,13232，,2222 ?( 3533()1131011289xxyyxyxy,，,，,，,说明:有关代数式的求值问题:(1)先化简后求值;(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量( 练习: 21(二次根式成立的条件是( ) aa,A(a,0 B(a,0 C(a,0 D(是任意实数 a296|6|,，,xxx2(若，则的值是( ) x,3A(, B(, C(, D(, 3(计算: 22 (1) (
25、2) (34)xyz,(21)()(2)ababab，,，122222 (3) (4) ()()()abaabbab，,，,，(4)(4)ababab,，44(化简(下列的取值范围均使根式有意义): a13a, (1) ,8a (2) a1124ab，, (3) (4) 23231，,abba,5(化简: mm122xyxy,29102mmm，, (1) (2) , (0)xy2325mx2xy1133xxyy，,26(若，则的值为( ): xyxxyy,3355 A( B(, C(, D( 53532211xxyy，xy,7(设，求代数式的值( xy，3232,，111222abcabbca
26、c，,8(已知，求代数式的值( axbxcx,，,，,，20,19,21202020第11页 练习 51,42xxx，,21x,9(设，求的值( 210(化简或计算: 113212 (1) (2) (184),，,22(25),，23323,52，xxxyxxyy， (3) , 2xyy,xxyy,答案: 1( C 2( A 22222353421aabbab,，,，3( (1) (2) xyzxyxzyz，,，916682412233,33abab (3) (4) ab,1642()2ab，,22 1aaa4( ab,213mmxy 25( 6( D 7( ,36xy，43 8( 3 9(
27、10( 35,3,3y1.1.5(分式 1(分式的意义 AAA形如的式子，若B中含有字母，且B,0，则称为分式(当M?0时，分式BBB具有下列性质: AAM，; ,BBM，AAM,( ,BBM,上述性质被称为分式的基本性质( 2(繁分式 第12页 练习 amnp，b像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式( 2mcd，np，54xAB，AB,，求常数的值( 【例1】若xxxx(2)2，ABAxBxABxAx(2)()254，解: ?，,， xxxxxxxx，2(2)(2)(2)AB，,5, ? ,24,A,AB,2,3 解得 ( 111,【例2】(1)试证:(其中n是正整数); nnn
28、n(1)1，111 (2)计算:; ，1223910，1111，, (3)证明:对任意大于1的正整数n， 有( 2334(1)2，nn11(1)1nn，,(1)证明:?， nnnnnn，1(1)(1)111, ?(其中n是正整数)成立( nnnn(1)1，(2)解:由(1)可知 111 ，1223910，11111 ,，,，,(1)()()2239101 ,1109 ,( 10111，(3)证明:? 2334(1)，nn111111 , ()()(),，,，,23341nn，11 ,， ,21n，又n?2，且n是正整数， 1 ? 一定为正数， n，1第13页 练习 1111， ?, ( 223
29、34(1)，nnc22【例3】设，且e,1，2c,5ac，2a,0，求e的值( e,a222解:在2c,5ac，2a,0两边同除以a，得 2 2e,5e，2,0， ?(2e,1)(e,2),0， 1 ?e, ,1，舍去;或e,2( 2e,2( ?3、多项式除以多项式 做竖式除法时，被除式、除式都要按同一字母的降幂排列，缺项补零(除式的缺项也可以不补零，但做其中的减法时，要同类项对齐)，要特别注意，得到每个余式的运算都是减法。结果表示为:被除式=除式商式+余式 ，42【例4】计算 (x,3x),(3,x)2,x,324解: ,x，34x，0，0,3x，042x，0,3x23x,3x23x,9,3
30、x，9422 (x,3x),(3,x)，(,x,3)，9,3x？练习: 2x,y2x,1、 若，则 ,x，y3yx,y222、正数满足，则 x,y,x,y,2xyx，y1111，？，3、= 1，22，33，499，1003112a4a4、 ，,2244,，abab，ababxyyzzx5、已知，则 ,1,2,3x,x，yy，zz，x3226、计算:(1) (3x，10x，13x,27),(x，2x,3)232(2) (2x，x,2),(x,1)2243232A,B(3)已知求: A,9x,21x,2x，11x,2,B,3x,5x,4x，1第14页 练习 14x,15322答案:6(1)(3x，
31、10x，13x,27),(x，2x,3),3x，4， 2x，2x,3x232(2)(2x，x,2),(x,1),x，2， 2x,1222(3) A,B,(3x,2)第二讲 函数与方程 2(1 二次函数 22.1.1 二次函数y,ax，bx，c的图像和性质 22问题1 函数y,ax与y,x的图象之间存在怎样的关系, 1222为了研究这一问题，我们可以先画出y,2x，y,x，y,2x的图象，通过这2222些函数图象与函数y,x的图象之间的关系，推导出函数y,ax与y,x的图象之间所存在的关系( 22先画出函数y,x，y,2x的图象( 先列表: x ,3 ,2 ,1 0 1 2 3 2 x 9 4
32、1 0 1 4 9 22x 18 8 2 0 2 8 18 22从表中不难看出，要得到2x的值，只要把相应的xy 22 y,x的值扩大两倍就可以了( y,2x 22再描点、连线，就分别得到了函数y,x，y,2x的图象(如图2,1所示)，从图2,1我们可以得到这两个2函数图象之间的关系:函数y,2x的图象可以由函数y2,x的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到( 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y,122x，y,2x的图象，并研究这两个函数图象与函数y2x O 2,x的图象之间的关系( 图2.2-1 通过上面的研究，我们可以得到以下结论: y 22二次函数y,ax(a?0)的图象可以由y,x
33、的图象2，1 y,2(x，1)各点的纵坐标变为原来的a倍得到(在二次函数y,22ax(a?0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和 y,2(x，1)2在同一个坐标系中的开口的大小( y,2x 22问题2 函数y,a(x，h)，k与y,ax的图象之间存在怎样的关系, 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系(同学们可以作出函数22y,2(x，1)，1与y,2x的图象(如图2,2所示)，2从函数的同学我们不难发现，只要把函数y,2x的图x ,1 O 象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以2得到函数y,2(x，1)，1的图象(这两个函数图象之图2.2-2 第15
34、页 练习 间具有“形状相同，位置不同”的特点( 22类似地，还可以通过画函数y,3x，y,3(x,1)，1的图象，研究它们图象之间的相互关系( 通过上面的研究，我们可以得到以下结论: 2二次函数y,a(x，h)，k(a?0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向;h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”;k决定了二次函数图象的k正上移，k负下移”( 上下平移，而且“2由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y,ax，bx，c(a?0)的图象的方法: 22bbbb222由于y,ax，bx，c,a(x，)，c,a(x，)，c, xx24a4aaa2bbac,42 ,，ax()，
35、24aa22所以，y,ax，bx，c(a?0)的图象可以看作是将函数y,ax的图象作左右平移、上2下平移得到的，于是，二次函数y,ax，bx，c(a?0)具有下列性质: 2bacb4,2(,),(1)当a,0时，函数y,ax，bx，c图象开口向上;顶点坐标为，24aabbb对称轴为直线x,;当x,时，y随着x的增大而减小;当x,时，y,2a2a2a24acb,b随着x的增大而增大;当x,时，函数取最小值y,( ,4a2a2 (2)当a,0时，函数y,ax，bx，c图象开口向下;顶点坐标为2bacb4,bb(,),，对称轴为直线x,;当x,时，y随着x的增大而增大;,24aa2a2a24acb,
36、bb当x,时，y随着x的增大而减小;当x,时，函数取最大值y,( ,4a2a2a上述二次函数的性质可以分别通过图2(2,3和图2(2,4直观地表示出来(因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来2y 解决问题( bacb4,y b(,), A x, 24aa2a O x O x 2 bacb4,b(,),A x, 24aa2a 图2.2-4 图2.2-3 2【例1】 求二次函数y,3x,6x，1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当x取何值时，y随x的增大而增大(或减小),并画出该函数的图象( 第16页 练习 22解:?y,3x,6x，
37、1,3(x，1)，4， y A(,1,4) ?函数图象的开口向下; 对称轴是直线x,1; 顶点坐标为(,1，4); 当x,1时，函数y取最大值y,4; 当x,1时，y随着x的增大而增大;当x,1D(0,1) y随着x的增大而减小; 时，采用描点法画图，选顶点A(,1，4)，与x轴交B C O x 233,233，(,0)(,0),于点B和C，与y轴的交点为33D(0，1)，过这五点画出图象(如图2,5所示)( x,1 说明:从这个例题可以看出，根据配方后得到的性图2.2,5 质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确( 【例2】 某种产品的成本是120元/
38、件，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间关系如下表所示: x /元 130 150 165 y/件 70 50 35 若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元,此时每天的销售利润是多少, 分析:由于每天的利润,日销售量y(销售价x,120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值( 解:由于y是x的一次函数，于是，设y,kx，(B) y,70;x,150，y,50代入方程，有 将x,130，70
39、130,，kb, ,50150,，kb,解得 k,1，b,200( ? y,x，200( 设每天的利润为z(元)，则 2z,(,x+200)(x,120),x，320x,24000 2 ,(x,160)，1600， ?当x,160时，z取最大值1600( 答:当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元( 2【例3】把二次函数y,x，bx，c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，2得到函数y,x的图像，求b，c的值( 2bb22解法一:y,x，bx，c,(x+)，把它的图像向上平移2个单位，再向左平，,c422bb22移4个单位，得到的图像，也就是函数y,x的图像，所以， yxc
40、,，,，(4)224第17页 练习 b,40,2 解得b,8，c,14( ,2b,c,，,20,42x，bx，c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单 解法二:把二次函数y,22位，得到函数y,x的图像，等价于把二次函数y,x的图像向下平移2个单位，再向2右平移4个单位，得到函数y,x，bx，c的图像( 2 由于把二次函数y,x的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数222y,(x,4)，2的图像，即为y,x,8x，14的图像，?函数y,x,8x，14与函数y,2x，bx，c表示同一个函数，?b,8，c,14( 说明:本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，
41、同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律( 这两种解法反映了两种不同的思维方法:解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大;而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点(今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题( 2【例4】已知函数y,x，,2?x?a，其中a?,2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值( 分析:本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论( 2,2时，函数y,x 解:(1)当a的图象仅仅对应着一个点(,2，4)，所以，函数的最大值和
42、最小值都是4，此时x,2; )当,2,a,0时，由图2(2,6?可知，当x,2时，函数取最大值y,4;(22当x,a时，函数取最小值y,a; (3)当0?a,2时，由图2(2,6?可知，当x,2时，函数取最大值y,4;当0时，函数取最小值y,0; x,2(4)当a?2时，由图2(2,6?可知，当x,a时，函数取最大值y,a;当x,0时，函数取最小值y,0( y y y y 2 4 a4 4 2 a2 a x x xx O O OO a a aa 2 ,2 ,2 ,22 ? ? ? 图2.2,6 说明:在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论(此外，本例中所研究的二次函数的自变
43、量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题( 第18页 练习 2【例5】当时，求函数的最小值。 ,2,x,2y,x,2ax，2见书P51例2 练习: 21、求二次函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值。当 y,2x,4x，3x取时的函数值分别是，试比较的大小。 ,2007,2008,2009a,b,ca,b,c22、当自变量在下列范围内取值时，求函数的最值。 y,x,2x,3x(1);(2);(3) ,2,x,01,x,3,1,x,223、当时，求函数的最大值。 ,1,x,1y,x，2ax，124、已知，求函数的最小
44、值。 t,x,x，1y,x,2x25、求函数的最大值和最小值。 y,4,3x，5x,22226、求函数的最大值或最小值。 y,(x，3x，2)(x，3x，7)，3x，9x2 7、求在区间上的最大值和最小值。 0,1y,ax,4x，1y,1,a,c,b答案:1、开口向上，对称轴，顶点坐标， (1,1)x,1min、(1)5，-3;(2)0，-4;(3)0，-4; 3、略; 4、略 23899 5、; 6、时，无最小值; t,4,4y,y,y,maxmaxmin4166a,0时，y,1,y,a,37、(1) maxmina,0时，y,1,y,3 (2) maxmin0,a,2时，y,1,y,a,3
45、 (3) maxmin42a4y1,y1 (4) ,时，,maxmina4a4ya3,y1 (5) ,时，,maxmina2.1.2 二次函数的三种表示方式 通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式: 21(一般式:y,ax，bx，c(a?0); 22(顶点式:y,a(x，h)，k (a?0)，其中顶点坐标是(,h，k)( 除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示(为了研究另一种表示2方式，我们先来研究二次函数y,ax，bx，c(a?0)的图象与x轴交点个数( 2当抛物线y,ax，bx，c(a?0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有 2ax，bx，c,0( ? 2 并且方程?的解就是抛物线y,ax，bx，c(a?0)与x轴交点的横坐标(纵坐标为2零)，于是，不