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1、数学解题技巧漫谈立方倍积、化圆为方、三等分任意角三大几何难题（已证明不能仅用尺规作出）让无数的数学家或数学爱好者耗尽了毕生的心血；数学王子高斯在上大学期间成功地用尺规作出了正十七边形而立志终身从事数学研究工作；笛卡尔因成功解答一道几何征解题而受到数学家毕克门的赞许，从此开始用心于数学，并创立了解析几何. 一个好的问题可以引起许多人的数学兴趣，解好一个题可能影响一个人的一生.学习数学的过程也是学习解数学题的过程. 学习数学从解题开始，学好数学（或学会数学）意味着善于解题.如何解题呢？学习数学的人和研究数学的人（或数学教育工作者）都不能回避这个问题. 许多数学杂志、专著，从不同的角度详细讲解或论述
2、解题的技巧、方法和规律. 美国著名数学家波利亚（G.Polya）在其名著怎样解题中为规范解题过程，给出了解题表，并对解题过程的四个阶段描述的淋漓尽致，是一本不可多得的好书，若能仔细品味，定会受益. 解题的过程是学习数学知识、方法，培养能力，提高数学素质的过程，也即学会学习的过程. 坦率地讲，不会做一个题，甚至没有学好数学的人也能成为名人名家，但不容质疑的是具有深厚数学素养的人与没有多少数学知识的人在思维方式和工作能力上定有天壤之别. 究其因，并不是他那丰富的数学知识在起决定作用（从事数学或与数学相关的工作的人除外），而是他在学习数学时所形成的严谨的学习态度和工作习惯在起作用，他在学习数学时所形
3、成的思维方式在起作用. 帮你解好几个题，也许对你学好一两个知识点起作用，然而授人于鱼不如授人于渔，什么是解题的“渔”呢？本文也只能在学习和实践前人经验的基础上，结合多年的探索，谈一谈解题一些体会，希望能对你的学习提供一点帮助. 解题是一个非常复杂的过程，难于一概而论，各环节也不能厚此薄彼，更不能随意割裂，为了叙述方更，本文将从几个方面分别去探讨，但各个部分并无先后主次之分.解题的心态 考古学家面对一件陶器或是一件出土文物，用放大镜不停地从不同的角度去仔细观察；精于茶道的人面对一杯好茶，不急不忙，先观其色，再品其味，而后漫饮，更有精于此道者最后连茶叶也一点点吃下去. 当一个个数学题出现在你面前时
4、，你将如何做？你是不是像考古学家那样，将题目反复分析，试图找出该题的来龙去脉，探求解决该题的方法和规律？你是不是也应像品茶人那样，“品味”题目的背景，题目所涉及的知识；解题所需的方法、技巧；给出解答后，再对结论或解答的合理性给予必要的验证或完善；还要回味解题的过程，若是感觉很精彩，还能给自己发一点“纪念品”，在解其他难题时，在美好的回忆中寻前进的方向.解题时，你的全部注意力集中在如何解决面前的问题上，一心一意地思考条件与结论的内在联系，或许是不停地演算、作图、推证，这是解好数学题所必不可少的程序. 但也应该想到，你解题的目的不仅仅是找到正确的答案. 我们解数学题的情景不尽相同，所解的题目更是千
5、差万别，所用的方法也是灵活多样，但有一点是肯定的，不论是课上还是课下，所解的题目大都已有很好的解答，所用方法也是基本定型的，我们所作的工作只不过是重复前人工作的再发现过程. 能解答也罢，解答不好也罢，对他人、对社会并没有太大的影响.解题，就是在解题过程中加深对概念、定理、公式的理解；在解题过程中掌握有关的解题方法技巧；在解题的过程中积累解题的经验，在解题的过程中锻炼分析问题和解决问题的能力；在解题的过程中形成科学的数学思想、严谨的工作态度和良好的学习习惯；. 解题离不开知识、方法和经验，解题也是为了学到更多的知识、方法和经验. 解题时还要有意识地去改题或命题（下文中还将细谈），在这解题与命题中
6、苦苦探索，在成功的喜悦中不断要用心去解题前进. .解好每一个题 做练习或做习题是学习过程中的一个重要环节，也是在已有知识、方法. 和能力基础上的一个锻炼提高，是在特定的环境和心态下的一种学习要解好一个题，不妨考虑以下几个方面事情：1审题 审题是解题的开始，通过审题，要找出题目所涉及的知识点，对题目的结构2.y=sin类型有一个大致的定位，要较准确把握题中一些条件的特征例如：“求函数 x + cos x3.”的值域该题目涉及到二次函数、函数值域、正余弦函数的值域，同角关系式等内容，2.x是一个求函数值域的题目再如“方程(1)x+1=02.”k有大于有根，求实数k的取值范围是一个二次方程问题；含有
7、一个字母系数；不仅有解，而且是有大于2的解；求解的是字. 母k的范围而不是k的值审题也是把面前的题目与头脑中已有的知识或题目进行比较，.发现其典型特征的过程，这是解题的开始，也是下一步的基础.归类 回想以前是否解答过该题或与该题相近的题目，该题大致上是属于那种类型这一步既是对曾经解过的题目或已掌握题型的回顾过程，也是试图把所解题目转化成已有.y=sin2解决方法或解答策略的题目的过程比如上例，是否求解过：“求函数 x + sin x 322xx.”y=x的值域（减少了一种函数）、“求函数 + x3.”y= + 3 3的值域、“求函数 .”. 的值域等题目或其中之一，并能对其异同有所比较，有所把
8、握我们已学习了大量的数学. 知识，并积累了丰富的解题经验，这是继续学习数学的资本，是解决面前题目的前提.联想 联想解决该类型的题有那些常用的方法或用到那些公式、定理还以上题为例，如果你是刚进入高中，面对题目，你能想到的方法不是很多，这不要紧，至少你不是第一.次求函数值域，总有一些求值域的经验和方法你一定求解过：一次函数、二次函数、幂函数及其复合函数的值域；也使用过：图象法、二次函数极值法，配方法等；以后还会学到反函.数法、判别式法，利用函数单调性、基本不等式法、三角代换法、数形结合法等等解一个题，.一般不一定要把上述方法都用到，但所列方法中至少有一种或几种方法可以将问题解决也.许你会说，解一个
9、题，你就想这么多，这需要多长时间可你想过没有，只有这样才能使你所学的知识、方法条理化、网络化，才能使你所掌握的方法始终处于用之即来的状态，才能.使你的解题更有成效反之，今天做题时，你不去想以前做过的题目，以后再做题时，你能去想做该题时所获得的经验吗？验证结论 在分析出思路的基础上认真解答，并分析所得结论的合理性，可能的. 话给出验证不论什么类型的题目，都要掌握其解题步骤和格式，要有认真解答的体验，但. . 未必把每一个习题都给出详细的解题过程对所得结论，要有考虑其合理性的习惯比如解方程，应考虑方程应有几根，求出根后还验证各根是否适合方程；解不等式，尽量验证边界值是否成立（或合理），也可以验证区
10、间内的值是否满足题目要求（区间外的值是否不-1,1.满足要求）；正余弦函数的值是否在内；反三角函数值是否在其值域内等等这一步看.似多余，但它的的确确能让你减少许多出错的机会回顾小结 回顾解题过程，总结解题规律，归纳容易出现的种种错误，题目还可.y=log能以何种形式出现（改变题目的条件或结论）等等比如：求函数2 (x+3x+2)的值域和22 x单调区间. 一般是先求真数t=+3x+2log t的值域再求的值域，即求复合函数的值域的一. 般规律是：从“里”往“外”求求单调区间用复合函数法，很容易将单调区间写成x(?,?32 3/2 ,+y =的单调和（ ?）而不考虑函数的定义域.再如：求函数21
11、xaxx. y=区间并证明在各单调区间上的单调性也许是以“”y、“”的形式出221x1x. 现，或是求其奇偶性、求其值域的形式出现若能有一题多解的习惯，力求找到最简捷的解法，无疑会使你的工作锦上添花；若还能有意识地将题目作一些改动并能认真分析其中的.异同和解决的规律，学好数学对于你来说已不成问题了上文所谈的几个方面从不同的角度描述了解题的一般过程，实际操作中不一定按图索.骥，而应针对具体的题目各有侧重，机械地运用或随意地否定都不是科学的态度准确把握解好每一组题.各环节并能开创性地用于解题实践，想信你会在不断探索中找到适合自己的解题方法一个题目所涉及的知识、方法和规律毕竟有限，要掌握好一个知识点
12、或是一个章节的内容，要作多个题目.我们所用的教材（这里指课本中的练习、习题及复习题）或练习册大多是经过专家精心编选过的，题目之间各有侧重，又遥相呼应，是一个有机体.在解答好每一个题目的同时，还要有以下几个方面的意识：1.要比较所做的几个题的异同，这是解题的基础，也是解好一个题的标志.比如：求下2222列函数 （1）y=xy=x?3x+5y=x?3x?52x+3 (2)y=x+2x+5 (3) (4) 的单调区间. 前两个抛物线的开口方向不同；后两个是无理式，根号内都是抛物线（二次函数），且开口方向相同，但定义域不同，其中一个定义域是实数集R，另一个则不是（求该函数的单调区间要先求其定义域）.2
13、.要比较所解题目在解决过程中的个性与共性；如果解一个题的注意力集中在题目的个性方面，那么解题组是要有意识地分析所解题组的共性和区别.比如:题1.直线y=x+m被2222椭圆4x+9y=36 所截得的弦长为4,求m的值. 题2.求直线y=2x+b被椭圆4x+5y=100 2所截得弦中点的轨迹方程. 两个题的要求不同，但解题过程都是将直线方程代入圆锥线，消去未知数y，得到一个关于x的一元二次方程，再利用韦达定理求出x+x和xx，前者求1212出|xx|，利用“弦长公式”列方程求解m，后者由x+x得到弦的中点横坐标x，再代入1212 直线方程求出y，最后求出中点轨迹方程. 要注意体会其中的异同. 没
14、有发现共性，你就没有找到解决该类题目的一般方法和规律，你的解题活动难有较大收获；没有发现相似题目间的区别，你就不能保证解题的正确性，解题的质量也不高. 发现共性的东西便是掌握了解题的规律，分清了题目间区别是你解好一个题的标志. 无意识地作了固然可以，有意识地去做，才是会使你的更学习主动，才会使解题更有成效.3.要把握该知识点的考查方式. 与某个知识点有关的题目也许很多，经过认真解答、总结后也可发现其考查方式还是有一定的规律。如函数的单调性，一是判定并证明常见函数(或其复合函数)在某个区间上的单调性；二是找出常见函数的单调区间；三是利用函数的单调性求函数的最值；后两类的的题目中涉及二次函数、对数
15、函数、正余弦函数、反三角函数占大多数. 对数函数的考查，一是对数函数的性质；二是对数运算；三是对数方程和对数不等式的解法；四是对数函数与其它函数复合后的单调性和最值. 4.要及时整理、归类、总结，明确每一个知识点或知识单元所涉及的题型及相应解题方法. 如求函数值域的题目遍及高一代数的多个单节，题型繁杂、解法灵活，但不是无规律可循，分式型且分子、分母最高次数不超过一次的函数用反函数法求解；分式型且分、分母最高次数不超过二次的用判别式法求解；二次函数型的用配方法；复合型的多用到函数的单调性；两个无理式（内部都是二次）相加、减的用两点间距离公式并结合几何图形的一些性质来解等等. 一题多解，一题多变苏
16、霍姆林斯基说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是.” 一个发现者、研究者、探索者一题多解促使我们综合运用所学的基础知识去分析问题和解决问题；一题多解有助于找到最简捷的解题途径；一题多解有助于锻炼人的发散思维、培养.人们的创新能力；一题多解使我们更易体验到成功的喜悦和自信一题多解的另一层意思是将一些特别典型的题目多次求解，这不仅可以复习巩固所学的方法技巧，而且会对该类题.目和解法有更深层的理解,一题多变 荷兰著名学者弗赖登塔尔说：“学习数学的唯一正确方法是再创造也就是由学生本人把要学的东西发现或创造出来。” 一题多变是在正确解答题目的基础上，. 对题目进行适当的改变或创新
17、后再求解的解题模式当前教学改革的一个重要任务就是还学np(?1)?(mnpN ,mn)IIIm、?且、互质的图象在第、象. 生学习的主体地位学生的主体地位不仅体现在课堂上的广泛参与，也体现在解题中的主动y=x限，且不过原点，则（ ）. 探索与创新如下例：已知幂函数A pnmB pnm、为奇数，为偶数 、为偶数，为奇数C pmnD pmn、为奇数，为偶数 、为偶数， 为奇数C. 1. 该题的答案是给出正确解答所，不妨再考虑：将题干中条件 “不过原点”改为2. IIII“过原点”；将题干中条件“图象在第、象限”改为“图象只在第象限”、“图象在IIII3. pnm第、象限”；将题目结构改变成“当 、
18、为奇数，为偶数时，图象是否过原点？，pnm. 图象在第几象限？”；“当 、为奇数，为偶数时，写出函数的定义域、值域”等等.若是在学完第一章后复习时用到该题，还可以考虑其单调性、奇偶性、反函数等等再如：若方程2m. 有解，求的取值范围该题属于含有未知系数的无理1?x=x+m. 1.方程，可用数形结合的方法求解解答后，不妨考虑如下改变：变系数 将方程“22”变为“”，变原来的“直线与上半圆的关系”为“直1?x=x+m1?2x=x+m222.线与上半椭圆的关系”；变符号 将方程“”变为“1?x=x+m1x=x+m23.”，变为“直线与（上半）双曲线的关系”；变次数 将方程“”变为1?x=x+m“;
19、4.1?x=x+m”，变为“直线与（上半）抛物线的关系变字母位置 将方程“22”变为“”，变“平行直线系与（上半）圆锥曲线的关1?x=x+m1?x=mx+2系”为“定点直线系与（上半）圆锥曲线的关系”。在变化中，掌握了该类问题的一般解法，并从中看到了圆锥曲线的内在联系；从解题到改题用至命题，在主动探索中寻找学习的乐.趣;进行该类训练，可以拓宽所学知识可以培养学生思维的深度、广度、灵活程度，提高数学能力；也有助于所学知识条理化、网络化、所学的方法技能实用化；也能在试图命题中学. 会巧解题、妙解题，并能有意识地避免一些错解你是学习的主人，而不是解题的奴隶！你是用解题的有限去培养无限的能力，大胆的创
20、新是你的追求，也是你行动！加强运算能力 高中数学教学大纲中明确的四种能力是：逻辑思维能力、空间想象能力、运算能力、以及运. 用所学数学知识和方法分析问题和解决问题的能力本文之强调要加强运算能力并无轻视其它能力之意，只不过提高运算能力比较易操作，且易见实效；运算能力提高对其它能力的. 培养和提高会有很大的帮助在实践中不妨从以下几个方面入手：1. 在平时学习中，若能用心记住常用的平方数、勾股数、特殊的.三解函数值、组合数等有助于提高解题速度，还有助于找到解题的思路2.要提高运算速度不仅要掌握算法，还要理解算理. 对数学运算是高中数学教学的一个难点，也是大多数学生的薄弱环节. 出现这一局面的原因很多
21、，其中之一便是学生公式记忆不准确.如将公式lg(x?y)=lgx+lgylg(x?y)=(lgx)?(lgy)ly(x+y)=lgx+lgy误记为或或lg(x+y)=(lgx)?(lgy)，再究其因，许多学生并不知道对数运算的作用是为了简化乘除（包括乘方、开方）运算，再加上学习时间紧，练习不到位，出现上述情况也便不足为奇了. 学习这一部分知识时，若能结合指数运算、指数函数性质、指数函数与对数函数的联系，将对数运算法则认真推导几边，在理解的基础上将公式记准确，在练习的基础上将公式用熟，突破这一难点也能水到渠成. 三角函数的诱导公式，五组共20个，记忆的关健是符号，符号的来源是定义式中点P的纵横坐
22、标（或是点P所在象限），理解了定义，便能推导公式或理解性地记忆公式，从而能准确运用公式，加快计算速度. 3 模块化是结构化程序设计时，将功能相对独立而又常用的程序22设计成模块. 解题中，不妨将常用而又较固定的解题过程当作“解题模块”来处理. 如求二A，（cos2A1）转化为2sinA等等. 这样可以将平时的成果逐渐次函数最值用配方法，分式形函数求值域反函数法或判别式法，见到（cos2A转化为解题台阶，缩短思考的距离，优化思维的结构，提高解题的质量.1）转化为2cos归纳是学好数学的重要思想方法 .面对高中数学各个学科和解不完的习题，不少同学感叹高中数学太难学那么有没有省时.省力的学习方法呢？
23、有，这就是归纳通过归纳，可以使人透过现象看本质，找到知识的精华；通过归纳，可以使所学内容条理清晰，用起来得心应手；通过归纳，可以找出致错根弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.源，避免再犯同样的错误那么，应如何运用归纳呢？简单地说就是“在归纳中学习，在学习中归纳”可从几个方面价绍：1 归纳知识：首先，在学习新知识时应注意通过归纳发现所学内容的内在规律，减轻.记忆负担，加深对所学知识的理解，从而减小掌握知识的难度其次，注意对每一部分知识函数的取值范围是全体实数；.进行归纳把所学知识分门别类地理顺，从而使所学知识体系化、网络化，提高综合运用的.能力点在圆上 d=r;2. 归纳题型：不少人只知道熟能生
24、巧，认为只要大量做题，自然会学好数学这正是3、通过教科书里了解更多的有关数学的知识，体会数学是人类在长期生活和劳动中逐渐形成的方法、理论，是人类文明的结晶，体会数学与人类历史的发展是息息相关。. 许多中学生学的太累的一个重要原因其实题海无边，即使每天不休息地去做也做不完所. 以问题的关键不在做题的数量，而在于做题的效果做一道题就要有做一道题的效果，做函数的增减性：.一道题就要归纳出一点解题的经验，就要对所学的知识和方法有一点更新的认识3.归纳方法：方法是解题过程中的思维模块，是解决一类所用到的比较固定的过程(2)中心角、边心距：中心角是正多边形相邻两对角线所夹的角，边心距是正多边形的边到圆心的
25、距离.如上文中提到的求函数值域，有许多种方法，每一种方法都能解决一类或几类题目在解题(三)实践活动.时若能有意识归纳方法，可以使你的解题思路清晰、畅通，使你的学习越来越轻松4.归纳思路：数学的一大功能就是训练思维能力在学习数学的过程中不仅要掌握所.学知识，而且要领会所用的数学思想方法并形成较为固定解题思路解题能力的大小除了取决于对所学知识的掌握程度以外，更重要的取决于思维能力的高低，而对思维方法的掌握23.53.11加与减（一）4 P4-12.和运用情况又制约着思维能力的发挥定义：在RtABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即;. 以上简述了学习高中数学中运用归纳的几个方面在学习中，有意识地不断进行归纳，.发现其中的规律，就一定能比较轻松地学好高中数学A(x+2)再如：求与圆：d=r 直线L和O相切.2222+y=1B(x2)+y=36M. 和圆：都相切的圆的圆心轨迹一变：将A两个圆的位置由内含变为内切、外切、相离等再求解；二变：将其中的一个圆变（例如：22(x+2)+y=1A(2,0)x）为一个点；三变：将其中的一个圆变为与轴垂直的直线，并考虑直. 线与圆相交、相切、相离的情形在这变化过程中，准确理解并掌握利用圆锥曲线的定义求. 方程的一般方法和规律，在这变形求解中体会到圆锥曲线的另一种对立统一在这一题多变中感受到数学的乐趣。