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1、系统动态优化控制机械优化设计论文可行方向法专业：机械工程及其自动化 班级： 020102班 学号： 02010227 姓名： 库后涛 2013年 11月 22日可行方向法15摘要: 以机械优化设计的传统求解方法为基础，探讨了优化设计的MATLAB实现方法，该方法初始参数输入简单，编程工作量小，具有明显的优越性通过实例介绍了MATLAB进行优化设计的基本原理和过程，为机械零件的优化设计提供了一种新方法。在机械优化设计中问题，绝大多数都属于约束优化设计问题，Zoutendiji可行方向法就是求解约束优化问题的一种有代表性的直接解法。关键词:机械优化设计 ，Zoutendiji可行方向法，约束优化问
2、题。Abstract: Based on the traditional solving method to mechanical optimization design，this paper discusses the realization with MATLABThe MATLAB software simplifies the input of initial parameters and the computer programming，which make it have the apparent superior .The authors use an example to sh
3、ow the fundamental and the process of using MATLAB to realize the optimal designConsequently a new method is providedAmong mechanical optimization design problems, of which the vast majority are constraint optimization problems, Zoutendiji feasible direction method is a representative direct method
4、of solving constrained optimization problems Keywords：mechanical optimization design ，Zoutendiji feasible direction method，constrained optimization problems目录引言.4线性不等式约束的Zoutendijk可行方向法.4非线性约束问题可行方向法.7Zoutendijk法使用举例.8总结 .11一、引言 械优化设计中问题，绝大多数都属于约束优化设计问题，其数学模型为：minfx s.t.Axbx+c （1.1）Ex=e求解式（6-1）的方法称为
5、约束优化方法。根据求解方式不同，可分为直接求解法和间接求解法。 在约束优化问题的直接求解法中，可行方法是最大的一类，它也是求解大型约束优化问题的主要方法之一。这种方法的基本原理就是：给定一个可行点之后，用某种方法确定一个改进的可行方向，然后沿方向，求解一个有约束的线搜索问题，得极小点，按迭代公式计算：，如果不是最优解，则重复上述步骤。可行方向法就是利用线性规划方法来确定的。可行方向法常用方法有Zoutendijk可行方向法，既约梯度法，Rosen梯度投影法，Frank-Wolfe方法。Zoutendijk可行方向法对线性和非线性的不等式约束问题均适用，但约束条件不含等式约束，是可行方向法中选择
6、可行下降方向的主要方法之一。二、线性不等式约束的Zoutendijk可行方向法1、可行方向的搜索策略考虑NLP问题minfx s.t.Axbx+c (2.1)Ex=eTh1设x是问题(4.1.1)的可行解，在点x处有A1x=b1,A2=b2,其中A=A1A2,b=b1b2则非零向量d为x处的可行方向的充要条件是：A1d0,Ed=0.Zoutendijk法把确定搜索方向归结为求解LP:minfxTds.t. A1d0, Ed=0, (2.2)dj1, j=1,n显然d=0是可行解。由此可知，目标函数的最优值必小于等于0.:最优值小于0，则可得下降可行方向d，否则我们可证x是KKT点。Th2 考虑
7、问题(2.2)，设x是可行解，在点x处有A1x=b1,A2x=b2，其中 A=A1A2,b=b1b2则x为KKT点的充要条件是问题（4.1.2）的目标函数最优值0。2、确定一维搜索步长设xk是（2.1）的可行解，不妨看做第k次迭代的出发点，dk为xk处一个下降可行方向。后继点xk+1由下列迭代公式给出：xk+1=xk+kdkk的取值原则有两点：第一， 保持迭代点xk+kdk的可行性；第二， 使目标函数值尽可能减小。根据上述原则，可以通过求解下列一维搜索问题来确定步长：min fxk+dks.t. A(xk+dk）b Exk+dk=e (2.3)0问题(2.3)可作进一步简化。由于dk是可行方向
8、，必有Edk=0Exk=e因此，(2.3)中第2个约束是多余的在点xk处，根据约束是否起作用，记A=A1,A2T，b=b1,b2T A1xk=b1 （2.4） A2xkb2 （2.5）于是，(2.3)中第1个约束可写成： A1xk+A1dkA2xk+A2dkb1b2 （2.6）由于dk为可行方向，A1dk0，A1xk=b1，0，A1xk+A1dkb1自然成立。约束（2.6）化为A2xk+A2dkb2 （2.7）这样，问题(2.3)化简为min fxk+dk A2xk+A2dkb2 （2.8）0根据（2.8）的约束条件，易求出的上限，令b=b2-A2xk (2.9)d=A2dk (2.10)由（
9、2.5）知b0，（2.9）的约束可写成db0由此得到的上限max=minbididi0,当dib2，3）求解问题minfxTds.t. A1d0, Ed=0, (2.13)dj1, j=1,n，得最优解dk。4）如果fxTdk=0，计算结束，xk是KKT点；否则转5。5）利用（2.8）-（2.11）计算，然后再0, 上作一维搜索min fxk+dk s.t. 0max设k为最优解，令xk+1=xk+kdk6）置k=k+1，转2三、非线性约束问题可行方向法1、非线性约束设是问题的一个可行解，令，即是点紧约束的指标集，设和在点可微，在点连续，如果，则是一改进的可行方向。2、非线性不等式约束的Zou
10、tendijk方法的计算步骤：1) 选取允许误差，求一初始可行点，令，转2)。2）确定指标集。3) 若，且，计算结束，取；若，且，令，转6)；若，转4)。4) 令，求解线性规划问题(4-2)的最优解；5) 若，计算结束，取；否则令，转6)。6) 求出线搜索问题的最优解，其中；令，返回2)。四、Zoutendijk法使用举例求minfx=x1-12+x2-22+1=x12+x22-2x1-4x2+6, xR2s.t. g1x=2x1-x21g2x=x1+x22g3x=-x10g4x=-x20matlab程序：定义所求函数并赋值function h= fun1(x)syms a b;x1=a b;
11、f=a2+4*b2;h=subs(f,x1,x);end求导函数dfx：function dfx=dfxfun(x)syms a b;x1=a b;f=a2+4*b2;grad=jacobian(f,x1);dfx=subs(grad,x1,x);end根据max得到新的可行方向：function h=fun(lamda,d,x)syms a b;x1=a b;f=a2+4*b2;xx=x+lamda*d;h=subs(f,x1,xx);end主函数function Zoutendijk(x0,A,b)c=0;kk=0;options=optimset(Display,off); while
12、c=b(i)-1e-4 %不起作用约束A1,b1 k=k+1; A1(k,:)=A(i,:); b1(k,1)=b(i); end if Cb(i)-1e-4 %起作用约束放到A2，b2 j=j+1; A2(j,:)=A(i,:); b2(j,1)=b(i); end end %A1,b1 %A2,b2 if isempty(A2) %A2为0向量矩阵 f1=dfxfun(x0); if (abs(f1) zoutendijk(x0,A,b)Optimization terminated.Optimization terminated.Optimization terminated.Optim
13、ization terminated.Optimization terminated.可行方向法：迭代次数：kk=5最优解：x0 = 0.5000 1.5000函数最值：fval3 = 1.5001Warning: Trust-region-reflective algorithm does not solve this type of problem, using active-setalgorithm. You could also try the interior-point or sqp algorithms: set the Algorithm option tointerior-p
14、oint or sqp and rerun. For more help, see Choosing the Algorithm in the documentation. In fmincon at 472 In zoutendijk at 61用非线性约束规划检验：最优解为：x = 0.5000 1.5000约束条件下函数最值：fval = 1.5000所得到结果为： 根据数学解法，代入验证结果符合要求，表明可行方向法编程正确！,五、总结与其他多维约束优化方法对比：随机方向搜索法特点：简单、方便，对目标函数性态无特殊要求，收敛较快，但计算精度不高，对严重非线性问题一般只能提供较近似的最优解。使用原则：适用于中小型无约束或有约束优化问题。复合型法特点：具有单纯型法的特点，适合于求解n15)和有等式约束的优化，是求解非线性优化的有效方法之一，在优化设计中得到广泛应用。可行方向法特点：1）可行方向法是用梯度去求解约束优化设计问题的一种有代表性的直接搜索方法。2）收敛速度快，效果较好，但程序比较复杂。使用条件：适用于大中型约束优化设计问题的求解。参考文献：机械优化设计及应用 樊军庆 主编机械优化设计 李志锋 主编