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1、数学高考总复习：三角函数的化简与求值经典例题_0经典例题精析 类型一:角的相关概念 1(若在第三象限,则角在_象限，在_象限. 思路点拨:要判断角所在象限，只须化成“k?360?+n?”或“2k+”(k?Z)的形式即可，其中0?n,360或-180,n?180, 0?,2或-,?.为了凑出2的整数倍，需要对整数进行分类，如k=2n, k=2n+1或者k=3n, k=3n+1, k=3n-1等等. 方法一: ? ? 当k=2n时， ?在第二象限， , n?Z 在第三象限，即, k?Z , n?Z , k?Z 当k=2n+1时， ? ? ? 当k=3n时， ?在第一象限. 在第四象限， 可能在第二
2、或第四象限. ,k?Z，?,k?Z. , k?Z 当k=3n+1时， ?在第三象限. , k?Z. 当k=3n-1时， ?在第四象限. , k?Z. ? 可能在第一、三、或四象限. 方法二: 总结升华: (1) 由图知: 的终边落在二，四象限;的终边落在一，三，四象限。 确定角所在的象限是确定函数值符号的关键，故必须掌握由已知角的范围，求与 的角的范围( 有运算关系 (2)确定“分角”所在象限的方法:若 ( 时针 是第k (1、2、3、4)象限的角，利用单位圆判断， )是第几象限角的方法:把单位圆上每个象限的圆弧n等份，并从x正半轴开始，沿逆 方向依次在每个区域标上1、2、3、4，再循环，直到
3、填满为止，则有标号k的区域就是角 ，如下图中标有号码2的区域就是终边所在位置( ()终边所在的范围。如:k=2举一反三: 【变式1】试确定下列角的终边分别在哪些象限? ?; ?; ? ， 的终边在第一象限; 的终边在第二象限; 的终边在第四象限. ，角5与角终边相同，求 ，即: ; ; 。 . ， 【答案】? ? 【变式2】设 【答案】由条件有: ? ?k=1时， k=2时， k=3时， 【变式3】若A=x|x= 【答案】由B中的x= 而A中的x= . , k?Z, B=x|x=+是 =+, k?Z, 则A _B。 的奇数倍所构成的集合。 ,可视为的所有整数倍，因此B A。 类型二:任意角的三
4、角函数 2(若，则角在_象限。 思路点拨:首先确定与的符号，再判断所在的象限，或者先化简关系式再确定的范围，或者用特殊值(各个象限各取一个)来判断所在的象限。 方法一:由知(1)或(2) 由(1)知在第一象限，由(2)知在第三象限， 所以在第一或第三象限。 方法二:由 所以有， , 即 当k=2n(n?Z)时，为第一象限，当k=2n+1(n?Z)时，为第三象限 故为第一或第三象限。 方法三:分别令 只有、，代入满足条件， ， 所以为第一或第三象限。 总结升华:角的象限和角的三角函数值符号可以相互判定，方法三只能用于选择题或填空题. 举一反三: 【变式1】确定的符号。 【答案】 因为-3,5,1
5、分别是第三,四,一象限的角, 所以, 所以原式小于零. 【变式2】已知 【答案】? ，?， ，则，是第_象限角. ，则是第二象限角. 【变式3】若 ，判断的符号。 【答案】依题设有:， ?. 故在第二或第四象限. ? 若在第二象限，则0,sin,1, -1,cos,0. ? cos(sin),0, sin(cos),0. ? 原式,0。 ? 若在第四象限, 则-1,sin,0, 0,cos,1, ? cos(sin),0, sin(cos),0, ? 原式,0。 【变式4】已知点P(sin-cos,tan)在第一象限，则在0，2) D、 A、 C、 【答案】 由题设，有 在0，2)的范围 可知
6、? ? 时， ，选B. ， 3(已知角的终边上一点 思路点拨:根据三角函数定义列方程求出 解析:由题设知 ，所以 ，且，求的值，再求解. ，得 、的值。 ， 从而 当 当 当 举一反三: 【变式1】已知角 【答案】 时， 时，时， ， ，解得，?，?，? 或 ， ; ， ; . 的终边过点 ，求、的值 (2)当 (1)当时，时， ，?，? ， ， ，和 ; . 的值 【变式2】已知角终边在直线 【答案】 (1)当 (2)当 时， 时， ， 上，用三角函数定义求 ; . 类型三:诱导公式 4(已知 ，求的值. . 思路点拨:观察题目中各角关系，注意到 解析: . 总结升华:正确观察分析两个角之间
7、的关系，进而选择恰当的公式. 【变式1】计算: 【答案】原式= 举一反三: 【变式2】求值: 【答案】 原式: 【变式3】化简 【答案】原式 (1) 当n为奇数时，设n=2k+1, k?Z. 则原式 注意到 ?上式 当n为偶数时，设n=Z). 则原式 2k, (k?，求 、 的值( 类型四:同角三角函数关系式 5(已知 ， 思路点拨:利用公式: 角三角形求三角函数值的绝对值. 方法一:? ? ? 方法二:? ，?， ，? ， 求解;或者由角的范围确定三角函数值的符号后，构造直 ， . . 总结升华: 由图形可以知道: ?利用公式:求解时，要注意角的范围，从而确定三角函数值的符号; ?三角赋值法
8、多用于选择题和填空题，其理论基础源于“实数由符号和绝对值两部分组成”。 举一反三: 【变式1】已知 【答案】 ，; ，求( 、 . 】若 【答案】由 ? 【变式2，且 是第四象限角，求是第四象限角，得 、 的值( 【变式3】已知 【答案】? 代入 ? 当 当 6(已知 ; ， ，? ，求 、 ， ， 的值。 ，可得: 在第一、第四象限时，在第二、第三象限时， ， ; ( ，且(求、的值; ，然 思路点拨:利用隐含的条件后解出 、 ，得答案. 可得: ，?， 、 是方程 和已知联立方程组，直接变形求解 即 ? ? 方法一:由 ， 的两根， ? ? 或， ? ， ? ? 方法二:由 即 ? 由 ?
9、， 可得:， ， ，? ，?，?，? ，结合方程(组)，可以在 、 总结升华:利用隐含的条件、 举一反三: 【变式1】已知 【答案】由 于是 ? 【变式2】已知 (1) (2) 【答案】 (1)由已知得 ? ? ? (2), ?, ，的值 ; 的值. ，求可得:， 三者中知其一求余二. 的值. ; ( , ， 求: ,平方得, ，?， . 7(已知，求下列三角函数的值。 ;(2) . (1) 解析: (1)原式 =; (2)原式 = 总结升华: 1. 对于形如 为关于sin与cos的一次分式齐次式，处理的方法，就是将分子顶点坐标：（，）与 属于关于sin与cos的 一年级有学生 人，通过师生一
10、学期的共同努力，绝大部分部分上课能够专心听讲，积极思考并回答老师提出的问题，下课能够按要求完成作业，具有一定基础的学习习惯，但是也有一部分学生的学习习惯较差，学生上课纪律松懈，精力不集中，思想经常开小差，喜欢随意讲话，作业不能及时完成，经常拖拉作业，以致学习成绩较差，还需要在新学期里多和家长取得联系，共同做好这部分学生行为习惯的培养工作。22分母同除以cos，即可化为只含tan的式子;而对于二次齐次式,即. 此时156.46.10总复习4 P84-90若能将分母的“1”用sin+cos表示的话，这 2样就构成了关于sin与cos的二次分式齐次式，分子分母同除以cos 即可(5)直角三角形的内切
11、圆半径化为只含有tan的分式 1、第二单元“观察物体”。学生将通过观察身边的简单物体，初步体会从不同角度观察物体所看到的形状可能是不同的发展空间观念。形式。 举一反三: 【变式1】已知 115.75.13加与减（二）2 P61-63 数学好玩2 P64-67【答案】由已知得 2、加强基础知识的教学，使学生切实掌握好这些基础知识。特别是加强计算教学。计算是本册教材的重点，一方面引导学生探索并理解基本的计算方法，另一方面也通过相应的练习，帮助学生形成必要的计算技能，同时注意教材之间的衔接，对内容进行有机的整合，提高解决实际问题的能力。原式, 【变式2】已知,求值:， ，求下列三角函数的值。 ( (1) 1、开展一帮一活动，让优秀学生带动后进生，促使他们的转化。【答案】由已知有:;(2)，即. . 其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。(1)原式 = (3)边与角之间的关系：(2)原式 =.