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1、线性代数综合练习题（三）一、 选择题1. 设是矩阵，是阶可逆矩阵，矩阵的秩为，矩阵的秩为，则（ ）. （A） （B） （C） （D）的关系依而定2. 若为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）. （A） （B） （C） （D） 3. 值不为零的阶行列式，经过若干次矩阵的初等变换，则行列式的值（ ）. （A） 保持不变 （B） 保持不为零 （C） 保持有相同的正负号 （D） 可以变为任何值4. 设和都是阶方阵，下列各项中，只有（ ）正确.（A） 若和都是对称阵，则也是对称阵（B） 若，且，则（C） 若是奇异阵，则和都是奇异阵（D） 若是可逆阵，则和都是可逆阵5. 向量组线性相关的充要条件是（
2、）. （A）中有一个零向量 （B）中任意向量的分量成比例 （C）中有一个向量是其余向量的线性组合 （D）中任意一个向量是其余向量的线性组合6. 设方阵的秩分别为，则分块矩阵的秩与的关系是（ ）. （A） （B） （C） （D）不能确定二、 填空题1. 设三阶方阵的特征值为1，2，3，则 .2. 设为正定二次型，则的取值范围为 .3. 设，则 .4. 阶行列式 .5. 设阶方阵的元素全为1，则的个特征值为 .6. 设是非齐次线性方程组的个解，若也是它的解，则 .三、计算题1. 解矩阵方程，其中，.2. 求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其他向量用最大无关组线性表示：3. 已知矩阵，求.4
3、. 向量组讨论取何值时，（1）能由线性表示，且表示式唯一，（2）能由线性表示，且表示式不唯一，（3）不能由线性表示.四、证明题1. 设是阶方阵的两个特征值，是对应的特征向量，证明不是的特征向量.2. 设是阶方阵，若存在正整数，使线性方程组有解向量，且，证明向量组是线性无关的.线性代数综合练习题（三）参考答案一、选择题1. C 2. B 3. B 4. D 5. C 6. A二、填空题1. 6 ； 2. ； 3. ； 4. ；5. （个），； 6. 1 .三、 计算题1. 解：由，得， 为此对矩阵施行初等行变换化为行最简形矩阵， 所以 . 2. 解：对施行初等行变换变成行最简形， 所以，的前三列
4、是的列向量组的最大无关组，且， . 3. 解：先求的特征值，= ， 当时，由得，的对应于2的特征向量是， 当时，有得，的对应于的特征向量是，当时，有得，的对应于的特征向量是， 取. 令 ，则，所以. 4. 解： （1）当时，可由线性表示，且表示式不唯一； （2）当，且，即时，不能由线性表示； （3）当且时，能由线性表示，但表示式唯一. 四、证明题1. 证：假设是的对应于的特征向量，则因为, 所以， 由于是对应于不同特征值的特征向量，所以它们线性无关，从而，矛盾！2. 证：因为是线性方程组的解向量，所以.从而（），又由知（）.设， （1）以左乘上式两边，得，因而必有，以左乘（1）式两边，得，因而必有，类似地，可以证明必有，故是线性无关的.