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1、2016新课标创新人教A版数学选修2-2 2.2 直接证明与间接证明2016新课标创新人教A版数学选修2-2 2.2 直接证明与间接证明 第1课时 综合法和分析法 核心必知 1(预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材P85,P89的内容，回答下列问题( (1)阅读教材P85“已知a，b,0，求证a(b2，c2)，b(c2，a2)?4abc.”的证明过程(思考下列问题: ?该题的条件和结论各是什么, 提示:条件:a，b,0;结论:a(b2，c22，a2. ?本题的证明过程是从“已知条件”出发，还是从“要证明的结论”出发,即证明该题的顺序是什么, 提示:本题是从已知条件a，b,0出发，借助基本
2、不等式证明待证结论的( a，b(2)阅读教材P87?ab(a,0，b,0)”的过程，回答下列问2题: ?该证明过程是从“条件”还是从“结论”开始证明的, 提示:从结论开始证明( ?该证明过程是综合法吗, 提示:不是( ?该证明过程的实质是寻找使结论成立的什么条件, 提示:充分条件( 2(归纳总结，核心必记 (1)综合法 ?综合法的定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法( ?综合法的框图表示 P?Q1?Q1?Q2?Q2?Q3?Qn?Q (PQ(2)分析法 ?分析法的定义 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分
3、条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法( ?分析法的框图表示 Q?P1?P1?P2?P2?P3 ? ?得到一个明显 成立的条件 版权所有:中国好课堂 问题思考 (1)综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理, 提示:综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”( (2)综合法与分析法有什么区别, 提示:综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果;分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因( 1?
4、1?1?(3)已知a，b，c为正实数，且a，b，c,1，求证:?a1?b,1?c,1?8. 证明过程如下: ?a，b，c为正实数，且a，b，c,1. b，ca，ca，b111?,1,0，,101,0， aabbcc 1?1?1?b，ca，ca，bbc?2ac?2,1,11,?8， ?a?b?c?abcabc 当且仅当a,b,c时取等号，?不等式成立( 这种证明方法是综合法还是分析法, 提示:综合法( 课前反思 通过以上预习，必须掌握的几个知识点( (1)综合法的定义是什么,如何用框图表示综合法, ; (2)分析法的定义是什么,如何用框图表示分析法, . 讲一讲 1(设a，b，c均为正数，且a，
5、b，c,1.证明: 1(1)ab，bc，ac?; 3222abc(2)，1. bca 尝试解答 (1)由a2，b2?2ab，b2，c2?2bc，c2，a2?2ca， 得a2，b2，c2?ab，bc，ca. 由题设得(a，b，c)2,1， 即a2，b2，c2 ， 2ab，2bc，2ca,1. 所以3(ab，bc，ca)?1， 1即ab，bc，ca?32ab2c2 (2)因为b?2a，c?2b，a?2c， bca 版权所有:中国好课堂 a2b2c2故，(a，b，c)?2(a，b，c)， bca a2b2c2a2b2c2即，?a，b，c.所以1. bcabca 利用综合法证明问题的步骤 (1)分析
6、条件选择方向:仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法( (2)转化条件组织过程:把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的相互转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路( (3)适当调整回顾反思:解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取( 练一练 2222m1(已知x，y，z,m.求证:x，y，z?. 3 证明:?x，y，z,m， ?(x，y，z)2,x2，y2，z2，2(xy，yz，zx),m2. 又?x2，
7、y2?2xy，y2，z2?2yz，z2，x2?2xz， ?2(x2，y2，z2)?2(xy，yz，zx)， 即x2，y2，z2?xy，yz，zx， ?m2,x2，y2，z2，2(xy，yz，zx)?3(x2，y2，z2)( 2222m?x，y，z?3 思考1 分析法的证明过程是什么, 名师指津:从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理的过程，实际上是寻找使结论成立的充分条件( 思考2 分析法的书写格式是什么, 名师指津:分析法的书写格式是: “要证?， 只需证?， 只需证?， ? 由于?显然成立(已知，已证?)， 所以原结论成立(”其中的关联词语不能省略( 讲一讲 112(链接教材P
8、87,例2)已知a,0，求证: a2，2?a，,2. aa 1尝试解答 要证a2，2?a，2. aa 11a2，2?a，2. aa 因为a,0，故只需证 ? a2，1，2?2?a，1 2?2， ?a?a 版权所有:中国好课堂 11a，?，2， a24?a2，2，22?a?aa 1a， 从而只需证a2，2?aa 11a2，?2?a2，2， 只需证4?a?a? 1即a2，?2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立( a1即a2，a (1)当问题的证明用综合法不易寻找思路时，可从待证的结论或需求问题出发，一步一 步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件，从而得原问题成立( (2)含有根号、绝对值的
9、等式或不等式的证明，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法( (3)书写形式:要证?，只需证?，即证?，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立( 练一练 2(当a?2a，1aa,1a,2. 证明:要证a，1aa,1a,2， a，1，a,2<a，a,1， 只需证a，1a,2)2<(，a,1)2， 只需证a，1，a,2，?a，1?a,2?<a，a,1，2a?a,1?， ?a，1?a,2?<a?a,1?， 只需证(a，1)(a,2)<a(a,1)， 即证,2<0，而,2<0显然成立， a，1,aa,1a,2成立( 讲一讲 abc3(已知a，b，c表示?ABC
10、的三边长，m,0,.先用分析法a，mb，mc，m 将要证明的不等式进行转化，然后利用综合法证明( abc尝试解答 . a，mb，mc，m abc只需证明，,0即可( a，mb，mc，m abc而a，mb，mc，m a?b，m?c，m?，b?a，m?c，m?,c?a，m?b，m?,?a，m?b，m?c，m? 因为a,0，b,0，c,0，m,0，所以(a，m)(b，m)(c，m),0. 因为a(b ， m)(c，m)，b(a，m)(c，m),c(a，m)(b，m),abc，abm，acm，am2，abc，abm，bcm，bm2,abc,bcm,acm,cm2,2abm，am2，abc，bm2,cm
11、2,2abm，abc，(a，b,c)m2. 因为?ABC中任意两边之和大于第三边， 所以a，b,c,0， 所以(a，b,c)m2,0， 所以2abm，abc，(a，b,c)m2,0， abc所以. a，mb，mc，m 版权所有:中国好课堂 对于比较复杂的证明题，常用分析综合法，即先从结论进行分析，寻求结论与条件之间 的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或在证明过程中将两种方法交叉使用( 练一练 3(已知a、b、c是不全相等的正数，且0<x<1. a，bb，ca，c求证:logx，logx，logxxa，logxb，logxc. 222 a，bb，ca，c证明:要证log
12、logxlogxxa，logxb，logxc， 222 a，bb，ca，c?只需要证明logx?222?<logx(abc)， a，bb，ca，c由0<x<1知，只需证明abc. 222 a，bb，c由基本不等式得ab>0bc>0， 22a，c?ac>0，又?a，b，c是不全相等的正数， 2a，bb，ca，c?abc,abc. 222a，bb，ca，c即abc成立( 222 a，bb，ca，c?logxlogxlogxxa，logxb，logxc成立( 222 课堂归纳感悟提 升 1(本节课的重点是综合法和分析法的应用，难点是分析综合法 的应用( 2(本节课
13、要重点掌握的规律方法 (1)利用综合法解决问题，见讲1; (2)利用分析法解决问题，见讲2; (3)利用分析综合法解决问题，见讲3. 3(在利用分析法证明问题时，一定要恰当使用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语，这也是本节课的易错点( 课下能力提升(十四) 学业水平达标练 题组1 综合法的应用 版权所有:中国好课堂 1(在?ABC中，若sin Asin B,cos Acos B，则?ABC一定是( ) A(直角三角形 B(锐角三角形 C(钝角三角形 D(等边三角形 解析:选C 由sin Asin B,cos Acos B得cos Acos B,sin Asin B,0，即cos(A，B)
14、,0，,cos C,0，cos C,0，从而角C必为钝角，?ABC一定为钝角三角形( 238,1a成立的正整数a的最大值是( ) A(13 B(12 C(11 D(10 解析:选B 由a,3，8,1得a,3，8,1)2. 而(3，8,1)2,3，8，1，224,23,8,12，46,23,42?12.68. 因此使不等式成立的正整数a的最大值为12. 3(在锐角?ABC中，已知3b,23asin B，且cos B,cos C，求证:?ABC是等边三角形( 证明:?ABC为锐角三角形， 0， ?A，B，C?2由正弦定理及条件，可得3sin B,Asin B. 0，?， ?B?2? 3?sin B
15、?0.?3,3sin A(?sin A,2 0，?，?A,?A?2?3 0，. 又cos B,cos C，且B，C?2?B,C. 2又B，C,A,B,C,. 33 从而?ABC是等边三角形( 题组2 分析法的应用 3334. a,b<a,b成立的充要条件是( ) A(ab(b,a)>0 B(ab>0且a>b C(ab<0且a<b D(ab(b,a)<0 解析:选D 333a,b<a,b， 3?(a,b)3<(a,b)3， 33?a,b,3ab，3ab<a,b， 33?ab<ab， ?ab2<a2b， ?ab(b,a)<
16、;0. a2，b2a2，b2 5(将下面用分析法证明?ab的步骤补充完整:要证?ab，只需证a2，22 b2?2ab，也就是证_，即证_，由于_显然成立，因此原不等式成立( 22a，ba2，b2 解析:用分析法证明ab的步骤为:要证ab成立，只需证a2，b2?2ab，22 222也就是证a，b,2ab?0，即证(a,b)?0. 由于(a,b)2?0显然成立，所以原不等式成立( 版权所有:中国好课堂 答案:a2，b2,2ab?0 (a,b)2?0 (a,b)2?0 116(已知aba，b,12a，1，2b，1?2. 22 证明:要证2a，12b，1?22，只需证2(a，b)，2，2a，2b，1
17、?8. 因为a，b,1， 2a，2b，1?2. 11 因为a?,b?,2a，1?0,2b，1?0， 22 ?2a，1?，?2b，1?2a，2b，12 2?a，b，1?,2. 2 即2a，2b，1?2成立，因此原不等式成立( 题组3 综合法与分析法的综合应用 7(设a，b?(0，?)，且a?b，求证:a3，b3,a2b，ab2. 证明:法一:要证a3，b3,a2b，ab2成立， 只需证(a，b)(a2,ab，b2),ab(a，b)成立( 又因为a，b,0， 所以只需证a2,ab，b2,ab成立( 即需证a2,2ab，b2,0成立， 即需证(a,b)2,0成立( 而依题设a?b，则(a,b)2,0
18、显然成立( 由此命题得证( 法二:a?b?a,b?0?(a,b)2,0?a2,2ab，b2,0?a2,ab，b2,ab. 因为a,0，b,0， 所以a，b,0， (a，b)(a2,ab，b2),ab(a，b)( 所以a3，b3,a2b，ab2. 8(已知?ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对 ,边，求证:(a，b)1，(b，c)1,3(a，b，c)1. 证明:法一:(分析法) ,要证(a，b)1，(b，c)1,3(a，b，c)1， 113即证 a，bb，ca，b，c a，b，ca，b，c，3， a，bb，c ca化简，得，1， a，bb，c 即c(b，c)，
19、(a，b)a,(a，b)(b，c)， 所以只需证c2，a2,b2，ac. 因为?ABC的三个内角A，B，C成等差数列， 所以B,60?， a2，c2,b21所以cos B,， 2ac2 222即a，c,b,ac成立( ,所以(a，b)1，(b，c)1,3(a，b，c)1成立( 法二:(综合法) 因为?ABC的三内角A，B，C成等差数列， 所以B,60?. 由余弦定理，有b2,c2，a2,2accos 60?. 222所以c，a,ac，b， 版权所有:中国好课堂 两边加ab，bc，得 c(b，c)，a(a，b),(a，b)(b，c)， 两边同时除以(a，b)(b，c)，得 ca，1， a，bb
20、，c ca?1所以a，b，b，c1?,3， ? 113即,， a，bb，ca，b，c ,所以(a，b)1，(b，c)1,3(a，b，c)1. 能力提升综合练 1(下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2?(0，?)，当x1,x2时，都有f(x1),f(x2)”的是( ) 1A(f(x), B(f(x),(x,1)2 x C(f(x),ex D(f(x),ln(x，1) 1解析:选A 本题就是找哪一个函数在(0，?)上是减函数，A项中，f(x),?x, 11,0，?f(x),(0，?)上为减函数( xx a，ba，b2(已知a,0，b,0，m,lgn,lg，则m与n的大小关系为( ) 22 A
21、(m,n B(m,n C(m,n D(不能确定 解析:选A 由a,0，b,0，得ab,0， 所以a，b，ab,a，b， 所以a，b)2,a，b)2， a，ba，b， 22 aba，b所以lg,lg， 22 即m,n，故选A. 3a,43(设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1),1，f(2),a的a，1 取值范围是( ) 33A(a, B(aa?,1 44 33C(a,或a,1 D(,1,a, 44 解析:选D ?f(x)以3为周期， ?f(2),f(,1)( 又f(x)是R上的奇函数， ?f(,1),f(1)， 则f(2),f(,1),f(1)( 再由f(1),1，可得f(
22、2),1， 3a,43即1，解得,1,a,4a，1 ac4(已知a，b，c，d为正实数，且( ) bd 版权所有:中国好课堂 a，cacaa，cc, ,bb，ddb，dbd aca，c D(以上均可能 bdb，d ac解析:选A 先取特殊值检验，?,， bd 可取a,1，b,3，c,1，d,2， a，c2aa，cc则，满足bb，ddb，d5 aa，c， bb，d ?a，b，c，d为正实数， ?只需证a(b，d),b(a，c)，即证ad,bc. acac只需证. bdbd a，ccaa，c?.同理可证故A正确( bb，db，dd x5(若lg x，lg y,2lg(x,2y)，则log2_.
23、y 2解析:由条件知lg xy,lg(x,2y)， 所以xy,(x,2y)2，即x2,5xy，4y2,0， x?2?xxx即?,5，4,0，所以,4或1. ?y?yyy xx又x,2y，故,4，所以log2log24,4. yy 答案:4 136(已知sin ，cos ,?cos 2,_. 524 11243解析:因为sin ，cos ,，所以1，sin 2,，所以sin 2,.?5252524 37以?2?所以cos 21,sin2,225 7答案:, 25 2S127(设数列an的前n项和为Sn，已知a1,1an，1,n2,n,，n?N*. n33 (1)求a2的值; ?a?(2)证明数列
24、?n是等差数列; ? ?1?7(3)若Tn是数列?a?的前n项和，求证:Tn,. 4?n? 2S12解:(1)当n,1,2a1,a2,1,2， 133 解得a2,4. 12证明:(2)2Sn,nan，1,n3,n2,n.? 33 12当n?2时，2Sn,1,(n,1)an,(n,1)3,(n,1)2,(n,1)(? 33 2?,?，得2an,nan，1,(n,1)an,n,n. 整理得nan，1,(n，1)an，n(n，1)， an，1aan，1a即1，,1， n，1nn，1n 版权所有:中国好课堂 aa当n,1时，,2,1,1. 21 ?a?所以数列?n?是以1为首项，1为公差的等差数列(
25、 ? a(3)由(2)可知n，即an,n2. n 11111?,n?2)， annn?n,1?n,1n 111111111111?11?,，,，?，?Tn,，?，,，?，,1，?a1a2an123n4?23?34?n,1n? 111717,1，,. 42n4n4 1x，?8(设f(x),ax2，bx，c(a?0)，若函数f(x，1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证:f?2? 为偶函数( 1x，?为偶函数， 证明:要证f?2? 只需证明其对称轴为直线x,0， b1即只需证,0， 2a2 只需证a,b(中间结果)， bb由已知，抛物线f(x，1)的对称轴x1与抛物线f(x)的对称轴x,关于y轴对
26、2a2a 称( bb,?. 所以,1,?2a?2a 1x，为偶函数( 于是得a,b(中间结果)(所以f?2 第2课时 反 证 法 核心必知 1(预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材P89,P91的内容，回答下列问题( 著名的“道旁苦李”的故事:王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍(一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动(等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的(他们都问王戎:“你怎么知道李子是苦的呢,”王戎说:“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的(” 王戎的论述运用了什么推理思想, 提示:反证法思想( 2(归纳总结，核
27、心必记 (1)反证法 假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法( 版权所有:中国好课堂 (2)反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等( 问题思考 (1)反证法解题的实质是什么, 提示:反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而证明原命题结论正确( (2)用反证法证明命题时，“a、b、c都是偶数”的否定是什么, 提示:a、b、c不都是偶数( 课前反思 通过以上预习，必须掌握的几个知识点( (1
28、)反证法的定义是什么, ; (2)反证法常见的矛盾类型有哪些, . 讲一讲 x,21(已知f(x),ax，(a>1)，证明方程f(x),0没有负实根( x，1 尝试解答 假设方程f(x),0有负实根x0， x0,2则x0<0且x0?,1且ax0, x0，1 x0,2由0<ax0<1?0<， x0，1 1x0<2，这与x0<0矛盾(故方程f(x),0没有负实根( 2 (1)用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法( (2)用反证法证明数
29、学命题的步骤 版权所有:中国好课堂 练一练 1(设函数f(x),ax2，bx，c(a?0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数(求证:f(x),0无整数根( 证明:假设f(x),0有整数根n，则an2，bn，c,0(n?Z)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a，b为偶数，则an2，bn,c为奇数，即n(an，b)为奇数( ?n，an，b均为奇数，又?a，b为偶数， ?an,a为奇数，即a(n,1)为奇数， ?n,1为奇数，这与n为奇数矛盾( ?f(x),0无整数根( 讲一讲 12(已知a，b，c?(0,1)，求证:(1,a)b，(1,b)c，(1,c)a不能都大于4
30、 1尝试解答 假设(1,a)b，(1,b)c，(1,c)a4 因为a，b，c?(0,1)， 所以1,a,0,1,b,0,1,c,0. ?1,a?，b1?1,a?b,242 ?1,b?，c1?1,c?，a1，,2222 三式相加得 ?1,a?，b?1,b?，c?1,c?，a3,， 2222 33即矛盾( 22 1所以(1,a)b，(1,b)c，(1,c)a不能都大于. 4 练一练 2(已知函数y,f(x)在区间(a，b)上是增函数(求证:函数y,f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点( 证明:假设函数y,f(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，设x1，x2(x1?x2)为函数y,f(x)在区
31、间(a，b)上的两个零点，且x1,x2，则f(x1),f(x2),0. 因为函数y,f(x)在区间(a，b)上为增函数， x1，x2?(a，b)且x1,x2， ?f(x1),f(x2)，与f(x1),f(x2),0矛盾，假设不成立，故原命题正确( 版权所有:中国好课堂 讲一讲 3(已知:一点A和平面.求证:经过点A只能有一条直线和平面垂直( 尝试解答 根据点A和平面的位置关系，分两种情况证明( (1)如图，点A在平面内，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB，AC，那么AB， AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相 交于经过点A的一条直线a.因为AB?平面，AC?平面，a?，所以A
32、B?a，AC?a，在平面内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾( (2)如图，点A在平面外，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB，AC(B，C为垂 足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于直线BC，因为AB?平面，AC?平面，BC?，所以AB?BC，AC?BC.在平面内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几 何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾( 综上，经过一点A只能有平面的一条垂线( 证明“唯一性”问题的方法 “唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思(证明后一层意思时，采用
33、直接证明往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证明，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便( 提醒:证明“有且只有”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性( 练一练 3(用反证法证明:过已知直线a外一点A有且只有一条直线b 与已知直线a平行( 证明:由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行( 假设过点A还有一条直线b与已知直线a平行，即b?b,A，b?a. 因为b?a，由平行公理知b?b.这与假设b?b,A矛盾，所以假设错误，原命题成立( 课堂归纳感悟提 升 1(本节课的重点
34、是反证法及其应用，难点是用反证法证明相关问题( 2(本节课要重点掌握的规律方法 (1)用反证法证明“否定性”命题，见讲1; (2)用反证法证明“至多”、“至少”型命题，见讲2; (3)用反证法证明“唯一性”命题，见讲3. 3(要正确掌握常见“结论词”的“反设词”，这是本节课的易错点( 版权所有:中国好课堂 课下能力提升(十五) 学业水平达标练 题组1 用反证法证明“否定性”命题 1(应用反证法推出矛盾的推理过程中，可作为条件使用的是( ) ?结论的否定;?已知条件;?公理、定理、定义等;?原结论( A(?B(? C(?D(? 解析:选C 根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可
35、把“结论的 否定”、“已知条件”、“公理、定理、定义”等作为条件使用( 2(用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤: ?A，?B，?C,90?，90?，?C>180?，这与三角形内角和为180?矛盾，故假设错误( ?所以一个三角形不能有两个直角( ?假设?ABC中有两个直角，不妨设?A,90?，?B,90?. 上述步骤的正确顺序为_( 答案:? 3(等差数列an的前n项和为Sn，a1,12，S3,9，32. (1)求数列an的通项an与前n项和Sn; S(2)设bn,n?N*)，求证:数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列( n ?a1,2，1，解:(1)设公差为d，由
36、已知得? ?3a1，3d,9，32， 解得d,2，故an,2n,12，Sn,n(n，2)( S(2)证明:由(1)得bn,n，2. n 2假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bq,bpbr， 2即(q2),(p，2)(r2)， 所以(q2,pr)，(2q,p,r2,0. 2?q,pr,0，*又p，q，r?N，所以? ?2q,p,r,0.? p ，r2所以?2,pr. (p,r)2,0，所以p,r，这与p?r矛盾( 所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列( 题组2 用反证法证明“至多”、“至少”型命题 4(用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一
37、个不大于60?”时，假设正确的是 ( ) A(假设三内角都不大于60? B(假设三内角都大于60? C(假设三内角至少有一个大于60? 版权所有:中国好课堂 D(假设三内角至多有两个大于60? 解析:选B “至少有一个”即“全部中最少有一个”( 5(设实数a、b、c满足a，b，c,1，则a、b、c中至少有一个数不小于_( 1解析:假设a、b、c都小于a，b，c,1与a，b，c,1矛盾(故a、b、c中至少3 1有一个不小于. 3 1答案:3 1，x1，y6(若x>0，y>0，且x，y>2，求证:2. yx 1，x1，y证明:假设都不小于2， yx 1，x1，y即2，2. yx
38、 又?x>0，y>0， ?1，x?2y,1，y?2x. 两式相加得2，x，y?2(x，y)， 即x，y?2. 这与已知x，y>2矛盾( 所以假设不成立， 1，x1，y所以中至少有一个小于2. yx 题组3 用反证法证明“唯一性”命题 7(用反证法证明命题“关于x的方程ax,b(a?0)有且只有一个解”时，反设是关于x的方程ax,b(a?0)( ) A(无解 B(有两解 C(至少有两解 D(无解或至少有两解 解析:选D “唯一”的否定上“至少两解或无解”( 8(“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为( ) A(a，b，c都是奇数 B(a，b，c都是偶数 C(a，b，c
39、中至少有两个偶数 D(a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数 解析:选D 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形:(1)3个都是奇数;(2)2个奇数，1个偶数;(3)1个奇数，2个偶数;(4)3个都是偶数(所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数( 9(求证:两条相交直线有且只有一个交点( 证明:因为两直线为相交直线，故至少有一个交点，假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾( 综上所述，两条相交直线有且只有一个交点( 能力提升综合练 1(用反证法证明命题“a，b?N，如果ab可被5整除，那么a
40、，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是( ) A(a，b都能被5整除 B(a，b都不能被5整除 C(a不能被5整除 D(a，b有1个不能被5整除 解析:选B 用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B正确( 2(有以下结论: 版权所有:中国好课堂 ?已知p3，q3,2，求证p，q?2，用反证法证明时，可假设p，q?2;?已知a，b?R，|a|，|b|<1，求证方程x2，ax，b,0 的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|?1.下列说法中正确的是( ) A(?与?的假设都错误 B(?与?的假设都正确 C(?的假设正确;?的假设错误 D(?的假设错误;?的假设正确 解析:选D 用反证法证题时一定要将对立面找准(在?中应假设p，q>2.故?的假设是错误的，而?的假设是正确的( 1113(设a、b、c都是正数，则三个数a，b，c，( ) bca A(都大于2 B(至少有一个大于2 C(至少有一个不大于2 D(至少有一个不小于2 11111a，?b，?，?c，?,