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1、2016新课标创新人教A版数学选修2-2 1.5 定积分的概念2016新课标创新人教A版数学选修2-2 1.5 定积分的概念 核心必知 1(预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材P38,P47的内容，回答下列问题( 观察教材图1.5,2，阴影部分是由抛物线y,x2与直线x,1，y,0所围成的平面图形( (1)通常称这样的平面图形为什么图形, 提示:曲边梯形( (2)如何求出所给平面图形的面积近似值, 提示:把平面图形分成多个小曲边梯形，求这些小曲边梯形的面积和( (3)如何更精确地求出阴影部分的面积S? 提示:分割的曲边梯形数目越多，所求得面积越精确( 2(归纳总结，核心必记 (1)连续函
2、数 如果函数y,f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I上的连续函数( (2)曲边梯形的面积 ?曲边梯形:由直线x,a，x,b(a?b)，y,0和曲线y,f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图?)( ?求曲边梯形面积的方法与步骤: (?)分割:把区间a，b如图?); (?)的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图?); (?)求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和; (?)取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积( 版权所有:中国好课堂 (3)求变速直线运动的位移(路程) 如果物体做变速
3、直线运动，速度函数为v,v(t)，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a?t?b内所作的位移s. (4)定积分 ?定积分的概念 如果函数f(x)在某个区间a，b上连续，用分点a= 当n?时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫 做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作?af(x)dx，b 其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式( ?定积分的几何意义 如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)?0，那么定积 分?af(x)dx表示由直线?af(x)dx的几何意 义( ?定积分
4、的基本性质 (?)?akf(x)dx,k?af(x)dx(k为常数); (?)?f2(x)dx,?af1(x)?af1(x)dx?af2(x)dx; (?)?af(x)dx,?af(x)dx，?bf(x)dx(其中a,c,b)( ?c 问题思考 (1)曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么, 提示:前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段( (2)求曲边梯形面积时，能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢,怎样才能减小误差, 提示:不能直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”，否则误差太大，为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，
5、得到面积的误差越小( bcbbbbbbb 版权所有:中国好课堂 (3)在“近似代替”中，如果取任意i?i,1i?nn处的函数值f(i)作为近似值，求出的S有变化吗, 提示:没有变化( (4)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程有哪些共同点, 提示:求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法( (5)?af(x)dx是一个常数还是一个变量,?af(x)dx与积分变量有关系吗, 提示:由定义可得定积分?af(x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下 限，而与积分变量没有关系，即?af(x)dx,?af(t)dt,?af(u)du. (
6、6)在定积分的几何意义中f(x)?0，如果f(x)<0，?af(x)dx表示什么, 提示:如果在区间a，b上，函数f(x)<0，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图所示)， bbbbbbb 由于xi>0，f(i)<0， 故f(i)?xi<0，从而定积分?af(x)dx<0，这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反数， 即?af(x)dx,S或S,?af(x)dx. (7)?24,xdx的几何意义是什么, bbb?0提示:是由直线x,0，x,2，y,0和曲线y4,x所围成的曲边梯形面积，即以原 1点为圆心，2为半径的圆的面积即?24,xdx,. 4?0 课前反思 通过
7、以上预习，必须掌握的几个知识点( (1)连续函数的定义是什么, ; (2)求曲边梯形面积的方法和步骤是什么, ; (3)求变速直线运动的位移(路程)的方法和步骤是什么, 版权所有:中国好课堂 ; (4)定积分的概念、几何意义是什么,有哪些基本性质, ( . 讲一讲 1(如图所示，求直线x,0，x,3，y,0与二次函数f(x),x2，2x，3所围成的曲边梯形的面积( 1(提示:12，22，32，?，n2,n?(n，1)(2n，1) 6 尝试解答 (1)如图，分割，将区间0,3n等分，则每个小区间?3?i,1?3i?nn(i,1,2，?，n)的长度3为x,.分别过各分点作x轴的垂线，把原曲边梯形
8、分成n个小曲边梯形( n (2)近似代替 以每个小区间的左端点函数值为高作n个小矩形( 则当n很大时，用n个小矩形面积之和Sn近似代替曲边梯形的面积S. (3)求和 Sn,?f?3?i,1? x n?i,1?n 版权所有:中国好课堂 9?i,1?3?i,1?3,n?,，2?，3? nni,?1?n2 27182，22，?，(n,1)2，2，3，?，(n,1)，9 nn27118n?n,1?(n,1)n(2n,1)9 n6n2 1111,?1，9?1,，9. ,9?n?2n?n1111,?1,，9?1,，9. 所以S?Sn,9?n?2n?n(4)取极限 ,9(1,0)(1,0)，9(1,0)，
9、9 ,9， 即所求曲边梯形的面积为9. 求曲边梯形面积的思想和步骤 (1)求曲边梯形面积的思想是“以直代曲”，即用小矩形的面积来代替小曲边梯形的面积;“逐步逼近”，即用n个小矩形的面积的和Sn来逼近曲边梯形的面积S. (2)求曲边梯形面积的步骤:分割、近似代替、求和、取极限( 练一练 1(求由抛物线y,x2与直线y,4所围成的曲边梯形的面积( 解:因为y,x2为偶函数，图象关于y轴对称，所以所求曲边梯形的面积应为抛物线y,x2(x?0)与直线x,0，y,4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影( ?y,x2?x?0?，?由?得交点为(2,4)， ?y,4? 如图所示，先求由直线x,2，y,0和
10、曲线y,x2(x?0)围成的曲边梯形的面积( (1)分割 2?i,1?2将区间0,2n等分，则x,，取i,. nn (2)近似代替求和 版权所有:中国好课堂 112?i,1?2282281,?1,?. Sn,n?,1，2，32，?，(n,1)2,n?2n?3nnni,?1 (3)取极限 816所以所求平面图形的面积为S阴影,2?4. 33 32所以2S阴影,， 3 32即抛物线y,x2与直线y,4所围成的图形面积为. 3 思考 求变速直线运动的路程与求曲边梯形的面积有什么相似之处, 名师指津:与求曲边梯形面积类似，将变速直线运动的路程问题转化为小区间上近似做匀速直线运动的路程问题，求得各小区
11、间上路程和的极限即为变速直线运动的路程( 讲一讲 2(已知汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t),t2，2t(单位:km/h)，求它在1?t?2这段时间行驶的路程是多少, i,1i尝试解答 将时间区间1,2等分成n个小区间，则第i个小区间为?1，1， nn? iii11，t,?,?1，?2，2?1，?，i,1,2，?，在第i个时间段的路程近似为si,v?n?n?n?n n. 1?1，i?2，2?1i?所以sn,?si,n?,n?n?n i,1?i,1n 12,(n，1)2，(n，2)2，(n，3)2，?，(2n)2，1)，(n，2)，?，2n nn12n?2n，1?4n，1?n?n，1?
12、2n，1?2n?n，1，2n?,?n?266，n11111112，?4，?1，?2，3， n3n?n6?n?n 2所以这段时间行驶的路程为km. 3 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“ 以直代 版权所有:中国好课堂 曲”“逼近”的思想求解(求解过程为:分割、近似代替、求和、取极限(应特别注意变速直线运动的时间区间( 练一练 2(已知作自由落体运动的物体的运动速度v,gt，求在时间区间0，t内物体下落的距离( 解:?分割( 将时间区间0，t等分成n个小区间，其中第i个区间为?i,1it?nt， n?(i,1,2，?，n)，每 iti,1t个小区间所表示的时间段t,
13、t,，在各小区间内物体下落的距离，记作si. nnn ?近似代替( 在?i,1i,1i,1it，则v(i),t，因此在每个小区间内所经过的距离可近t，上取i,nnn?n i,1t似表示为si?,1,2，?，n)( nn ?求和( ?si?nni,1nni,1ti,1 1gt211,?. ,，1，2，?，(n,1),2?n2?n? ?取极限( 讲一讲 3(求下列定积分的值: (1)?2(x，1)dx; ?1 (2)?,39,xdx. 3 尝试解答 (1)法一:(定义法)f(x),x，1在区间1,2上连续，将区间1,2等分成n个 i,1i1小区间1，1，(i,1,2，?，n)，每个区间的长度为x,
14、， nnn i,1i,1i在?11，?上取i,1，n,1,2，?，n)， nn? i,1i,1?f(i),1，1,2， nn i,11 ?f(i)?x,n?2， ,nni?1?,i1n 版权所有:中国好课堂 2i,1,n? ni,?1n 21,?n，0，1，2，?，(n,1) nnn,11151,2，2，,， 2n22n22n 1法二:(几何意义)?2(x，1)dx表示如图所示阴影部分的面积(由于梯形的面积S,2?1 55，3)?1,，故?2(x，1)dx,22?1 (2)在平面上y,9,x表示的几何图形为以原点为圆心、以3为半径的上半圆如图所示， 31992?其面积为S?3,.由定积分的几
15、何意义知?,9,xdx,. 2223 (1)用定义求定积分?bf(x)dx的一般方法是: ?a ?分割:将区间a，bn等分，记第i个小区间为xi,1，xi，区间长度x,xi,xi,1; ?近似代替、求和:取点i?xi,1，xi，?f(x)dx?f(i)x; bn ?ai,1 (2)利用几何意义求定积分的方法 利用定积分所表示的几何意义求?bf(x)dx的值的关键是确定由曲线y,f(x)，直线x,a，?a 直线x,b及x 轴所围成的平面图形的形状(常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可 求面积的平面图形( 版权所有:中国好课堂 练一练 3(求下列定积分的值: (1)?2dx;(2)?xdx;
16、(3)?,11,xdx. ?0?112 1 解:(1)?12dx表示的是图?中阴影所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所?0 以?12dx,2. ?0 3(2)?2xdx表示的是图?中阴影所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为，所以?2xdx2?11 3,2 (3)? 11,xdx表示的是图?中阴影所示半径为1的半圆的面积，其值为 2?,1 ?,11,xdx,2. 讲一讲 1157?4x2dx5623224(已知?xdx?xdx?xdx,?,，求下列各式的值: 4?4?332?13 011 1 (1)?2(3x3)dx;(2)?4(6x2)dx;(3)?2(3x2,2x3)dx. ?0?
17、1 2 0?11xdx，?2xdx?115?,12. ?尝试解答 (1)?(3x)dx,3?xdx,3?,3?44?01?32333 xdx，?xdx?(2)?(6x)dx,6?xdx,6?2?1? ?4 1242102242 756?,6?33?,126. (3)?2(3x2,2x3)dx,?2(3x2)dx,?2(2x3)dx ?1?1?1 7151,3?2x2dx,2?2x3dx,3?,2?,342?11 (1) 定积分性质的推广 版权所有:中国好课堂 ?f2(x)?fn(x)dx,?a f1(x)?af1(x)dx?af2(x)dx?afn(x)dx; (2)奇、偶函数在区间,a，a
18、上的定积分 ?若奇函数y,f(x)在,a，a上连续， ?若偶函数y,g(x)在,a，a上连续， 练一练 4(已知?f(x)，g(x)dx,12，?g(x)dx,6，求?bbb abbbb?a?a3f?x?dx. 解:?bf(x)dx，?bg(x)dx,?bf(x)，g(x)dx， ?a?a?a ?bf(x)dx,12,6,6， ?a ?a?b3f(x)dx,3?bf(x)dx,3?6,18. ?a 课堂归纳?感悟提 升 1(本节课的重点是定积分的几何意义及定积分的性质，难点是定积分的概念( 2(本节课要重点掌握的规律方法 (1)会用定义或定积分的几何意义求定积分，见讲3; (2)会用定积分的性
19、质求定积分，见讲4. 3(在利用定积分的几何意义求定积分时，要注意积分上、下限及积分函数f(x)的符号，这是本节课的易错点( 课下能力提升(九) 学业水平达标练 题组1 求曲边梯形的面积 1(在求直线x,0，x,2，y,0与曲线y,x2所围成的曲边梯形的面积时，把区间 0,2 版权所有:中国好课堂 等分成n个小区间，则第i个小区间是( ) A.? C.?i,1i?ii，1?nn? B.?nn? 2?i,1?2i?2i2?i，1?nn? D.?nn 2解析:选C 将区间0,2等分为n个小区间后，每个小区间的长度为，第i个小区间n 为?2?i,1?2i?n，n?. 2(对于由直线x,1，y,0和
20、曲线y,x3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( ) 11B.925 112730 11220，?，?，1?，各小矩形的面积和为 解析:选A 将区间0,1三等分为?3?33?3? 1131?23191S,03，?，,3?33?33819 3(求由直线x,0，x,1，y,0和曲线y,x(x,1)围成的图形的面积( 解:(1)分割 将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，在区间0,1上等间隔地插入n,1个点，将区间0,1等分成n个小区间: ?0，1，?1，2?，?，?n,11?， ?n?nn?n? 记第i个区间为?i,1i?n，n(i,1,2，?，n)，其长度为
21、 i?i,1?1x,. nnn 把每个小曲边梯形的面积记为 S1，S2，?，Sn. (2)近似代替 根据题意可得第i个小曲边梯形的面积 Si,?f? ,? ,i,1?n?x? ?i,1?i,1?1? ?nn,1?n?i,1?i,1?(i,1,2，?，n)( n?1,n? (3)求和 把每个小曲边梯形近似地看作矩形，求出这n个小矩形的面积的和 版权所有:中国好课堂 i,1?Sn,n?f?x i,?1?n? ,i,1?i,1 1,ni,1n?11?1,?， ,?n?6? 11?1,. 从而得到所求图形面积的近似值S?6?n(4)取极限 1即直线x,0，x,1，y,0和曲线y,x(x,1)6 题组
22、2 求变速直线运动的路程 4(一物体沿直线运动，其速度v(t),t，这个物体在t,0到t,1这段时间内所走的路程为( ) 113C. 1 D. 322 1解析:选B 曲线v(t),t与直线t,0，t,1，横轴围成的三角形面积S,即为这段时2 间内物体所走的路程( 5(若做变速直线运动的物体v(t),t2在0?t?a内经过的路程为9，求a的值( a?i,1?aia解:将区间0，an等分，记第i，i,1,2，?，n)，此区间长为， nnn ai2aai?2aa322?用小矩形面积?n近似代替相应的小曲边梯形的面积，则n?n?,?(1，2，?，nnni,1 1a31?2n),1，n?1，2n近似地等
23、于速度曲线v(t),t与直线t,0，t,a，t轴围成的曲边梯形32 的面积( a?9，解得a,3. 3 题组3 定积分的计算及性质 6(下列等式不成立的是( ) 版权所有:中国好课堂 3 解析:选C 利用定积分的性质可判断A，B，D成立，C不成立( ?例如?xdx,2，?2dx,4，?2xdx,4，但?2xdx?xdx?02dx. ?0?0?0?0?0222222 7(图中阴影部分的面积用定积分表示为( ) A.?12xdxB.?1(2x,1)dx ?0?0 C.?1(2x，1)dxD.?1(1,2x)dx ?0?0 xx解析:选B 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为?02dx,?11d
24、x,?1(2,1)dx. ?0?01 8(S1,?1xdx与S2,?1x2dx的大小关系是( ) ?0?0 A(S1,S2B(S21,S2 C(S1>S2D(S1<S2 解析:选C ?1xdx表示由直线x,0，x,1，y,x及x轴所围成的图形的面积，而?1x2dx?00表示的是由曲线y,x2与直线x,0，x,1及x轴所围成的图形的面积，因为在x?0,1内直线y,x在曲线y,x2的上方，所以S1>S2. 179(已知?1x2dx?2x2dx?21dx,2，则?2(x2，1)dx,_. 3?3?0100 解析:由定积分的性质可知 (x，1)dx ?0 ,?2x2dx，?21dx
25、22?0 ?0?0?1,?1x2dx，?2x2dx，2 1714,2,. 333 14答案:3 10(用定积分的几何意义计算下列定积分: 版权所有:中国好课堂 55225而S, 24 (2)令y 4 , x ，2 ，则y4,x，2表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆的上半圆， 能力提升综合练 1(若?af(x)dx,1，?ag(x)dx,3，则?a2f(x)，g(x)dx,( ) A(2 B(,3 C(,1 D(4 解析:选C ?a2f(x)，g(x)dx,2?af(x)dx，?ag(x)dx,2?1,3,1. 2(若f(x)为偶函数，且?0f(x)dx,8，则6bbbbbb等于( ) A(
26、0 B(4 C(8 D(16 解析:选D ?被积函数f(x)为偶函数， ?在y轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等( 3(定积分?1(,3)dx等于( ) A(,6 B(6 C(,3 D(3 解析:选A 3 ?13dx表示图中阴影部分的面积S,3?2,6， 版权所有:中国好课堂 3 ?1(,3)dx,?13dx,6. 又y,sin x与y,2x都是奇函数，故所求定积分为0. 答案:0 33 解析:由y 4, (3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.x 145.286.3加与减（三）2 P81-83可知 x 在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，
27、则有2，y2,4(y?0)，其图象如图( 13.13.4入学教育1 加与减（一）1 P2-3等于圆心角为60?的弓形CD的面积与矩形ABCD的面积之和( 13、认真做好培优补差工作。 开展一帮一活动，与后进生家长经常联系，及时反映学校里的学习情况，促使其提高成绩，帮助他们树立学习的信心与决心。12S弓形,?22,2?2sin23233 S矩形,AB?BC,3. 一、指导思想：2答案:3 3 6(用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积( (1)y,|sin x|，y,0，x,2，x,5; 解:(1)曲线所围成的平面区域如图所示( 二次函数配方成则抛物线的设此面积为S， (2)曲线所围成的平面区域如图所示( 版权所有:中国好课堂 =0 抛物线与x轴有1个交点；解:如图， 版权所有:中国好课堂 tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。 7、课堂上多设计一些力所能及的问题，让他们回答，并逐步提高要求。