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1、新课标高考总复习数学（文）教师用书：第九章解析几何Word版含答案第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 考纲要求:1.理解直线的倾斜角和斜率的概念掌握过两点的直线斜率的计算公式( 2(掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)了解斜截式与一次函数的关系( 1(直线的倾斜角 (1)定义:当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角(当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0?. (2)范围:直线l倾斜角的范围是0，)( 2(直线的斜率 (1)定义:若直线的倾斜角不是90?，则斜率k,tan_. ,yy21(
2、2)计算公式:若由A(x，y)，B(x，y)确定的直线不垂直于x轴，则k,. 1122x,x213(直线方程的五种形式 名称 条件 方程 适用范围 点斜式 斜率k与点(x，y) y,y,k(x,x) 不含直线x,x 00000不含垂直于x轴的直斜截式 斜率k与截距b y,kx，b 线 y,y1不含直线x,x(x,11,y,y21两点式 两点(x，y)，(x，y) x)和直线y,y(y,1122211x,x1y) x,x221不含垂直于坐标轴和xy截距式 截距a与b ，,1 ab过原点的直线 2Ax，By，C,0(A，平面直角坐标系内的一般式 2B?0) 直线都适用 自我查验 1(判断下列结论的
3、正误(正确的打“?”，错误的打“”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率( ) (2)过点M(a，b)，N(b，a)(a?b)的直线的倾斜角是45?.( ) (3)倾斜角越大，斜率越大( ) (4)经过点P(x，y)的直线都可以用方程y,y,k?(x,x)表示( ) 0000(5)经过任意两个不同的点P(x，y)，P(x，y)的直线都可以用方程(y,y)(x,x),(x111222121,x)(y,y)表示( ) 121(6)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离( ) xy(7)若直线在x轴，y轴上的截距分别为m，n，则方程可记为，,1.( ) mn答案:(1) (2) (
4、3) (4) (5)? (6) (7) 2(若过两点A(,m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12，则m,_. 答案:,2 3(直线3x,y，a,0的倾斜角为_( 答案:60? 4(已知三角形的三个顶点A(,5,0)，B(3，,3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为_( 答案:x，13y，5,0 35(直线l经过点P(,2,5)，且斜率为,，则直线l的方程为_( 4答案:3x，4y,14,0 典题1 (1)直线2xcos ,y,3,0?，的倾斜角的取值范围是( ) 63，A.， B.， ，63432，C.， D.， ，4243(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(
5、0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_( 1，听前试做 (1)直线2xcos ,y,3,0的斜率k,2cos 因为?所以? ，6323cos ?因此k,2?cos ?13 (设直线的倾斜角为则有tan ?13 (又2，?0)所以?即倾斜角的取值范围是. ，4343(2)如图 1,0?k,1 AP2,13,0k,3 BP0,1?k?(,?,3 ?1，?)( 答案:(1)B (2)(,?,3 ?1，?) 探究1 若将题(2)中P(1,0)改为P(,1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围( 解:?P(,1,0)A(2,1)B(03) 1,01?k, AP2,，,1，33,0
6、k,3. BP0,，,1，1，如图可知直线l斜率的取值范围为3. ，3探究2 若将题(2)条件改为“经过P(0，,1)作直线l，若直线l与连接A(1，,2)，B(2,1)的线段总有公共点”，求直线l的倾斜角的范围( ,2,，,1，1,，,1，解:法一:如图所示k,1k,1由图可观察出:直线PAPB1,02,03，,l倾斜角的范围是0?. ，,44法二:由题意知直线l存在斜率(设直线l的斜率为k 则直线l的方程为y，1,kx即kx,y,1,0. ?AB两点在直线的两侧或其中一点在直线l上( ?(k，2,1)(2k,1,1)?0即2(k，1)(k,1)?0. ?,1?k?1. 3，,?直线l的倾斜
7、角的范围是0?. ，,44直线倾斜角的范围是0)而这个区间不是正切函数的单调区间因此根据斜率求倾，,，,斜角的范围时要分0与两种情况讨论(由正切函数图象可以看出当?0，,，,222,时斜率k?0，?),当,时斜率不存在,当?时斜率k?(,?0)( ,22典题2 根据所给条件求直线的方程: 10(1)直线过点(,4,0)，倾斜角的正弦值为; 10(2)直线过点(,3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12; (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5. 听前试做 (1)由题设知该直线的斜率存在故可采用点斜式( 10设倾斜角为则sin ,(0) 103101从而cos ,?则k,tan ,?.
8、1031故所求直线方程为y,?(x，4)( 3即x，3y，4,0或x,3y，4,0. xy(2)由题设知截距不为0设直线方程为，,1 a12,a,34又直线过点(,3,4)从而，,1解得a,4或a,9. a12,a故所求直线方程为4x,y，16,0或x，3y,9,0. (3)当斜率不存在时所求直线方程为x,5,0, 当斜率存在时设其为k则所求直线方程为y,10,k(x,5)即kx,y，(10,5k),0. |10,5k|3由点线距离公式得,5解得k,. 24k，1故所求直线方程为3x,4y，25,0. 综上知所求直线方程为x,5,0或3x,4y，25,0. 求直线方程的注意点 (1)用斜截式及
9、点斜式时直线的斜率必须存在, (2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线故在解题时若采用截距式注意分类讨论判断截距是否为零( 已知点A(3,4)，求满足下列条件的直线方程: (1)经过点A且在两坐标轴上截距相等; (2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形( 解:(1)设直线在xy轴上的截距均为a. ?若a,0即直线过点(0,0)及(3,4)( 4?直线的方程为y,x即4x,3y,0. 3xy?若a?0设所求直线的方程为，,1 aa又点(3,4)在直线上 34?，,1 aa?a,7. ?直线的方程为x，y,7,0. x,3y,0或x，y,7,0. 综
10、合?可知所求直线的方程为4(2)由题意可知所求直线的斜率为?1. 又过点(3,4)由点斜式得y,4,?(x,3)( 所求直线的方程为x,y，1,0或x，y,7,0. 典题3 已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求?ABO的面积的最小值及此时直线l的方程( 听前试做 依题意知直线l的斜率k存在且k0. 则直线l的方程为y,2,k(x,3)(k0, , ,1，2k?1,当k,0时直线为y,1符合题意故k?0. ，?)( 即k的取值范围是01，2k,(3)由l的方程得A,0B(0,1，2k)( ,k1，2k,0. , ,1，2k01?S,?|OA|?|OB
11、| 21，2k1,?|1，2k| ,2k2，1，2k，111,?4k，4 ,2k2k1?(22，4),4 211“,”成立的条件是k0且4k,即k, k2?S,4此时直线l的方程为x,2y，4,0. min课堂归纳感悟提升 方法技巧 1(直线的斜率k与倾斜角之间的关系 0? 0?90? 90? 90?0 k1或,0即可解得,1a,或a0. a，1a，1a，121,综上可知实数a的取值范围是,?,?(0，?)( ,21,答案:,?，,?(0，?) ,2三、解答题 9(已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程: (1)过定点A(,3,4); 1(2)斜率为. 6
12、4解:(1)设直线l的方程为y,k(x，3)，4它在x轴y轴上的截距分别是,3,3k，4 k4,由已知得(3k，4)，3,?6 ,k28解得k,或k,. 1233故直线l的方程为2x，3y,6,0或8x，3y，12,0. 1(2)设直线l在y轴上的截距为b则直线l的方程是y,x，b它在x轴上的截距是,66b 由已知得|,6b?b|,6?b,?1. ?直线l的方程为x,6y，6,0或x,6y,6,0. 10.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45?和30?角，过点P(1，0)作直线AB分别1交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y,x上时，求直线AB的方程( 2解:由题意可得k
13、,tan 45?,1 OA3k,tan(180?,30?), OB33所以直线l:y,xl:y,x. OAOB3设A(mm)B(,3nn) m,3nm，n,所以AB的中点C ,221由点C在直线y,x上且APB三点共线得 2m，nm,3n1,?,222 ,m,0n,0, ,m,1,3n,1解得m,3所以A(33)( 3，33又P(1,0)所以k,k, ABAP23,13，3所以l:y,(x,1) AB2即直线AB的方程为(3，3)x,2y,3,3,0. 冲击名校 1(在等腰三角形AOB中，AO,AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( ) A(y,1,3(
14、x,3) B(y,1,3(x,3) y,3,3(x,1) D(y,3,3(x,1) C(解析:选D 因为AO,AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以k,k,3，所以直线AB的点斜式方程为:y,3,3(x,1)( ABOA2(若直线ax，by,ab(a0，b0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为( ) A(1 B(2 C(4 D(8 解析:选C ?直线ax，by,ab(a0b0)过点(1,1) 11?a，b,ab即，,1 ab11,?a，b,(a，b)， ,abbaba,2，?2，2?,4 abab当且仅当a,b,2时上式等号成立( ?直线在x轴y轴上的
15、截距之和的最小值为4. 3(若ab0，且A(a,0)，B(0，b)，C(,2，,2)三点共线，则ab的最小值为_( xy解析:根据A(a,0)B(0b)确定直线的方程为，,1又C(,2,2)在该直线上ab,2,2故，,1所以,2(a，b),ab.又ab0故a0b0)与直线l:x，ny,3,0之间的距离是5，则m，n,12( ) A(0 B(1 C(,1 D(2 解析:选A ?直线l:x,2y，m,0(m0)与直线l:x，ny,3,0之间的距离为5 12n,2,?|m，3| ,5 ,5?n,2m,2(负值舍去)( ?m，n,0. 4(已知直线l:y,2x，3，直线l与l关于直线y,x对称，则直线l的斜率为( ) 121211A. B(, C(2 D(,2 22解析:选A 因为ll关于直线y,x对称所以l的方程为,x,2y，3即y, 122131x，即直线l的斜率为. 22225(已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x,y,0和x，ay,0上，