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1、2011新课标高考数学(理)2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 第I卷 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 2，i1(复数的共轭复数是 12,i33 A(,i B( i55C( D( ,ii2(下列函数中，既是偶函数哦、又在(0，)单调递增的函数是 2yx, A( B( yx,，1,x2y,2yx,，1 C( D( 3(执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是 A(120 B(720 C(1440 D(5040 4(有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位
2、同学参加同一个兴趣小组的概率为 1123 A( B( C( D( 3234xyx,25(已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则= cos2,43 A(, B( ,5534 C( D( 556(在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的俯视图可以为 1 7(设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，为CAB的实轴长的2倍，则C的离心率为 3 A(2 B( C(2 D(3 5a1,8(的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 xx，,2,xx,A(-40 B(-20 C(20 D(40 yx,9(由曲线，直线yx
3、,2及轴所围成的图形的面积为 y1016 A( B(4 C( D(6 3310(已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题 ,2,2,，,，Pab:10,，,Pab:1,，, ,12,33，,，,，,，Pab:10,Pab:1, ,34,33，,，其中的真命题是 PP,PP,PP,PP, A( B( C( D( 13142324,11(设函数的最小正周期为，且fxfx()(),，fxxx()sin()cos()(0,),，,2则 ,3,0,fx()fx()A(在单调递减 B(在单调递减 ,442,3,0,fx()fx()C(在单调递增 D(在单调递增 ,442,1yxx,2sin(24)
4、,12(函数y,的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 x,1A(2 B(4 C(6 D(8 第?卷 2 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分。 329,，,xy,(若变量满足约束条件则的最小值为 。 13zxy,，2xy,69,xy,2FF,x14(在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在 轴上，离心率为。过xOyC122ABFF的直线交于C两点，且的周长为16，那么的方程为 。 AB,C12ABBC,6,2315(已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，
5、且,则棱锥ABCDO的体积为 。 OABCD,BAC,60,316(在中，则的最大值为 。 ABCABBC，2三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17(本小题满分12分) 2231,9.aaaaa，, 等比数列的各项均为正数，且 a,12326n求数列的通项公式. a,n,1baaa,，loglog.log, 设 求数列的前n项和. ,nn31323bn,18(本小题满分12分) 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四 边形，?DAB=60?,AB=2AD,PD?底面ABCD. (?)证明:PA?BD; (?)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 3 19(本
6、小题满分12分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果: A配方的频数分布表 指标值分组 90，94) 94，98) 98，102) 102，106) 106，110 频数 8 20 42 22 8 B配方的频数分布表 指标值分组 90，94) 94，98) 98，102) 102，106) 106，110 频数 4 12 42 32 10 (I)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率; (II)已知
7、用B配方生产的一种产品利润y(单位:元)与其质量指标值t的关系式为 ,2,94t, yt,2,94102,4,102t,从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X(单位:元)(求X的分布列及数学期望(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)( 20(本小题满分12分) 在平面直角坐标系xOy中， 已知点A(0y,3MBOA/，-1)，B点在直线上，M点满足，MAABMBBA,，M点的轨迹为曲线C( (I)求C的方程; (II)P为C上动点，为C在点P处的切线，求O点到距离的最小值( ll21(本小题满分12分) axblnyfx,()(1,(1)fxy，
8、,230已知函数，曲线在点处的切线方程为( fx(),，xx，1(I)求a，b的值; lnxk(II)如果当x0，且时，求k的取值范围( fx(),，x,1xx,1请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分(做答是用4 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑( 22(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图，D，E分别为的边AB，AC上的点，且不与的顶点重合(已知AE的长为,ABC,ABC2m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程的两个根( xxmn,，,140(I)证明:C，B，D，E四点共圆; (II)若，且求C，B，D，E所在圆
9、的半径( mn,4,6,，,:A9023(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 x,2cos,CC在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数)，M为上的动点，P(,11y,，22sin,C点满足OPOM,2，点P的轨迹为曲线( 2C(I)求的方程; 2,C(II)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点,13C为A，与的异于极点的交点为B，求|AB|. 224(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 fxxax()|3,，设函数，其中( a,0fxx()32,，(I)当a=1时，求不等式的解集( fx()0,x,1(II)若不等式的解集为,x|，求a的
10、值( 2011年普通高等学校招生全国统一考试 5 理科数学试卷参考答案 一、选择题 (1)C (2)B (3)B (4)A (5)B (6)D (7)B (8)D (9)C (10)A (11)A (12)D 二、填空题 22xy，,18327(13)-6 (14) (15) (16) 168三、解答题 (17)解: 12322aaa,9aa,9(?)设数列a的公比为q，由得所以。 q,n3432691。 由条件可知c0，故q,31231aa，,231aaq，,由得，所以。 a,1212131故数列a的通项式为a=。 nnn3baaa,，loglog.log(? ) n31323n,，(12.
11、)nnn(1)，,21211,2()故 bnnnn，(1)1n111111112n，,，,，,.2(1)().() bbbnnn22311，12n12n所以数列的前n项和为 ,bn，1n(18)解: BDAD,3，,:,DABABAD60,2(?)因为， 由余弦定理得 222从而BD+AD= AB，故BDAD ,又PD底面ABCD，可得BDPD ,所以BD平面PAD. 故 PABD ,x(?)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐6 标系D-，则 xyz，。 B03,0，C,1,3,0A1,0,0P0,0,1，uuuvuuvuuuvABPBBC,(1,3,0
12、),(0,3,1),(1,0,0) uuurnAB,0,uuur设平面PAB的法向量为n=(x，y，z)，则 nPB,0,，,xy30 即 30yz,(3,1,3)因此可取n= uuurm0,PBuuur设平面PBC的法向量为m，则 m0,BC,427,3可取m=(0，-1，) cos,mn,72727,故二面角A-PB-C的余弦值为 7(19)解 228，(?)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为，所以用A配方生产=0.3100的产品的优质品率的估计值为0.3。 3210，由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的,0.42100产品的优质品率的估计值为0
13、.42 (?)用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间的90,94,94,102,102,110，,频率分别为0.04，054，0.42，因此 P(X=-2)=0.04， P(X=2)=0.54， P(X=4)=0.42， 即X的分布列为 2 4 ,2 X0.04 0.54 0.42 PX的数学期望值EX=-20.04+20.54+40.42=2.68 (20)解: (?)设M(x，y)，由已知得B(x，-3)，A(0，-1). uuuruuuruuurMBABMA 所以=(-x，-1-y)， =(0，-3-y)， =(x，-2). 7 uuuruuuruuurMBABMA 再由题意
14、可知(+) =0， 即(-x，-4-2y) (x，-2)=0. 12 所以曲线C的方程式为y=x-2. 41112 (?)设P(x，y)为曲线C:y=x-2上一点，因为y=x，所以的斜率为x l00042212xxyyx,，,220的方程为，即。 因此直线yyxxx,()l00000022|2|yx,1200则O点到的距离.又，所以 d,yx,2l0024x，4012x，401422 dx,，,(4)2,0222xx，44002x 当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2. l0(21)解: x，1,(ln),xbx (?) fx(),22(1)xx，f(1)1,1, 由于直线xy，,230
15、的斜率为,，且过点(1,1)，故即 ,12f(1),2b,1, 解得，。 a,1b,1,a1,b,22ln1x (?)由(?)知，所以 f()x,，xx，12ln1(1)(1)xkkx, 。 fxx()()(2ln),，,，2xxxx,112(1)(1)kx,hxx()2ln,，(0)x,考虑函数，则 x2(1)(1)2kxx,，hx(), 。 2x22kxx(1)(1)，,hx(),hx()0,h(1)0, (i)设，由知，当时，。而，故 k,0x,12x8 1 当时，可得; x,(0,1)hx()0,hx()0,21,x1,当x(1，+)时，h(x)0 21,xlnxlnxkk,从而当x0
16、，且x1时，f(x)-(+)0，即f(x)+. x,1xx,1x12 ,(1，)时，(k-1)(x+1)+2x0，故 (x)0，而 (ii)设0k0，可得h(x)0，而h(1)=0，故当x(1，+)时，h(x)0，可得 hh,21,x(x)1与0x1时，需证 2x,11lnx,即 即需证( (1) lnxx,xx11设，则 gxxx()ln,，gx()1,xx1,由x1得gx()0,，所以在(1，+)上为减函数(又因g(1)=0 gxxx()ln,，x所以 当x1时 g(x)0 即(1)式成立( 1同理0x1时，需证 (2) lnxx,x1而由0x1得gx()0,，所以在(0，1)上为增函数(
17、又因g(1)=0 gxxx()ln,，x所以 当0x1时 g(x)0 即(2)式成立( 综上所证，知要证不等式成立( 点评:抓住基本思路，去分母化简问题，不可死算( (22)解: (I)连接DE，根据题意在?ADE和?ACB中， ADAB=mn=AEAC， ADAE, 即.又?DAE=?CAB，从而?ADE?ACB ACAB9 因此?ADE=?ACB 所以C，B，D，E四点共圆。 2 (?)m=4， n=6时，方程x-14x+mn=0的两根为x=2，x=12. 12故 AD=2，AB=12. 取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，
18、D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH. 10由于?A=90，故GH?AB， HF?AC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5. 2故C，B，D，E四点所在圆的半径为5 26.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30，南偏东45(东南方向)、南偏西为60，北偏西60。(23)解: 3、思想教育，转化观念端正学习态度。XY(I)设P(x，y)，则由条件知M().由于M点在C上，所以 ,122x,2cos,x,4cos,2 即 ,yy,4，4sin,2，2sin,2,如果圆的半
19、径为r，点到圆心的距离为d，则从而的参数方程为 C2x,4cos, (为参数) ,y,，44sin,4sin,8sin (?)曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。 C1C2抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x0)。,射线与的交点的极径为， ,1,4sinAC1,3353.264.1生活中的数3 P24-29, 射线,与的交点的极径为2,8sin。 BC2,33|23AB,21, 所以. (24)解: fxx()32,， (?)当时，可化为 a,1等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。|1|2x,。 6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的
20、水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30，南偏东45(东南方向)、南偏西为60，北偏西60。由此可得 或。 x,3x,1fxx()32,， 故不等式的解集为 10 或。 |3xx,x,1(?) 由 得 fx()0,(5）切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.xax,，,30此不等式化为不等式组 xa,xa, 或 ,xax,，,30axx,，,30,156.46.10总复习4 P84-90xa,xa,aa 即 或 x,a,4,2a 因为，所以不等式组的解集为 xx|,a,0,2a 由题设可得= ，故 ,1a,22等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。11