概率统计考点总结与06-08试题.doc

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1、第一章 随机事件及其概率考点:概率的计算公式加法公式:减法公式:条件概率公式:乘法公式:全概率公式:独立:若相互独立,则1. 设三台机器相互独立运转，第一、第二、第三台机器不发生故障的概率依次为0.9, 0.8和0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为 。（2006）解：设第台机器不发生故障为，则“三台机器中至少有一台发生故障”可表示为，则2. 设为任意两个事件且，则下列选项必然成立的是（ ）。（2006）. . . . 解：，选B3.某库内有同型产品1000件，其中500件是甲厂生产的，300件是乙厂生产的，200件是丙厂生产的。甲厂生产的次品率为1，乙厂生产的次品率为2，丙厂生产的

2、次品率为4. 各厂生产的产品堆放在一起，现从中任取一件，(1) 求“取得次品”的概率；(5分)(2) 若已知取得的是次品，求它是甲厂生产的概率。(3分)（2006）解：设分别是甲、乙和丙厂生产的产品，并设为事件“取得次品”。则4 A、B中只有一个发生的概率为 （ ）（2007）AP(A)+P(B) BP(A)-P(B) CP(A)+P(B)-P(AB) DP(A)+P(B)-2P(AB)解：“A、B中只有一个发生”可以表示为，因此，选D5 设有二个随机事件A，B，则事件A发生，B不发生的对立事件为（ ）（2007）A B C D 解：“A发生，B不发生”可表示为，其对立为，选C6.（10分）设

3、甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区的总人数比为2：5：3，而三个地区感染此病的比例分别为6%，4%，3%.现从这三个地区任意抽取一个人，问（1）此人感染此病的概率是多少？（2）如果此人感染此病，此人选自甲地区的概率是多少？（2007）解:设B此人感染此病，A1，A2，A3分别表示此人选自甲、乙、丙三地区由已知，有，（1）由全概率公式有（2）由贝叶斯公式有答：从三个地区任意抽取一人，感染此流行病的概率为0.041；若已知此人染病，此人来自甲地区的概率约为0.2927.7.甲、乙、丙三人在同一时间内分别破译某个密码，设甲、乙、丙三人能单独译出的概率分别为0.8，0.7和0.6，则密码能被

4、译出的概率为_.(2008)解1:用分别表示甲、乙、丙译出密码，由题目条件，相互独立，。事件“密码能被译出”表示为，故=0.976解2：用分别表示甲、乙、丙译出密码，由题目条件，相互独立，。事件“密码能被译出”表示为，则8. 设且A与B独立，则_。（2008）解1：，故，从而解2：，故，从而9. 对于任意两事件A和B，与不等价的是 （ ）（2008） (A) (B) (C) (D) 解：，选D10、（10分）某保险公司的调查表明，新保险的汽车司机中可划为两类：第一类人易出事故，在一年内出事故的概率为0.05，第二类人为谨慎的人，在一年内出事故的概率为0.01. 假设第一类人占新保险司机的30%

5、，现从新入保险的汽车司机中任抽取一人，求（1）此人一年内出事故的概率是多大？（2）如果此人出了事故，此人来自第一类人的概率多大？（2008）解：设B此人出事故，A1，A2分别表示此人来自第一类人和第二类人，则（1）由全概率公式有（2）由贝叶斯公式有 第二章 随机变量及其概率分布考点：离散型：已知分布律计算概率已知分布律计算分布函数已知分布函数计算分布律已知分布函数计算概率分布律的规范性：（离散型分布一定要注意随机变量的取值范围）由分布律容易计算概率和分布函数，所以对离散型随机变量分布律是最重要的，在已知分布函数计算概率时可以考虑先计算分布律再计算概率连续型：，这是离散型没有的性质已知概率密度计

6、算概率已知概率密度计算分布函数（密度为分段函数时注意讨论的取值）已知分布函数计算概率密度已知分布函数计算概率概率密度的规范性分布函数的性质：单调非减，左连续，常见六种分布两点分布，分布律二项分布，分布律（二项分布可以看做是个独立的两点分布的和，根据这个关系可以由两点分布的结论推出二项分布的结论，如期望，方差等）（当比较大比较小时，可以用泊松分布近似二项分布，也可以用正态分布近似二项分布）泊松分布，分布律（一段时间内呼叫次数）均匀分布，概率密度指数分布，概率密度（寿命）正态分布，概率密度正态分布的概率计算：随机变量函数的分布：离散型：在分布律下方加一行，计算对应取值，合并相等取值和概率即可连续型

7、：先得到分布函数的关系，再得到概率密度的关系（分布函数不要化为积分，否则会使计算更麻烦，只要找到分布函数的关系就可以了）两边同时对求导，得到概率密度关系，再代入的密度即可（一般的密度为分段函数，注意讨论推导过程中的取值范围，代入的密度同样需要转换的取值范围）1. 设在一次试验中事件发生的概率为，现进行次重复独立试验，则事件至多发生一次的概率为 （2006）解：设为事件发生的次数，则，从而2. 设，则为（ ）。（2006）. 0.5 . 0.25 . 0.2 . 0.4解：，选B3.设随机变量的密度函数为求随机变量的密度函数。(2006)解:设的分布函数为，则依定义有 其中是的分布函数。于是的密

8、度函数为 4.设随机变量的概率密度，则T=（ ）（2007）A1/2 B1 C-1 D3/2解：由密度函数的规范性知，选B5设随机变量X服从泊松分布，且，则_（2007）解：，因此，解得所以6设，则 （）(2007)解：7.（12分）设随机变量的分布密度为：求：（1）；（2）分布函数（2007）解: (1) =（2）当x-1时,当时,当x时,故X分布函数为8.(8分)设随机变量X的分布函数为求：（1）常数A与B的值；（2）X的概率密度函数（2007）解：由可得和解得，即X的分布函数为从而9. 设随机变量服从参数的泊松分布，则= _。（2008）解：，因此10. 设随机变量的概率密度为，则的概率

9、密度为（ ）（2008） (A) (B) (C) (D) 解：因此，选B11. 设随机变量的分布函数为，则的值为（ ）（2008） （A）. （B）. （C）. （D）解：，选A12、（5分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数，求的分布列、数学期望和方差.（2008）解：，其分布律为，即 因此13、（10分）设随机变量的概率密度为 求（1）常数； （2）的分布函数； （3）（2008）解：（1） （2）的分布函数为 （3）第三章 二维随机变量及其分布考点：二维随机变量的联合分布的规范性：，常见二维分布

10、：均匀分布，联合密度为离散型边缘分布：在联合分布律下面加一行，右面加一列，表中数据相加填入相应位置，就得到边缘分布连续型边缘密度：联合密度为分段函数时必须讨论与的取值以确定积分函数解析式，得到的边缘密度一般也是分段函数；独立性：离散型：连续型：或1. 若二维随机变量的联合分布律为0 1 2 则 ，又设的分布函数为，则 。（2006）解：,2. 设二维随机变量的联合分布律为0 1 2 1 0.1 0.2 00.3 0.1 0.10.1 0 0.1则（ ）。（2006）. 0.3 . 0.5 . 0.7 . 0.8解：，选C3.设随机变量在区域G内服从均匀分布，G由直线及轴轴围成，求：(1) 的联

11、合密度； (3分)(2) 分别求的边缘密度和的边缘密度；(6分)(3) 判断和是否独立。 (2分)(2006)解：(1) G的面积，故(2)的边缘密度的边缘密度(3) 由于,故与不独立。注：判断独立时，直接说从而不独立或从而独立，不要写出乘积以免写错扣分4.（12分）设随机变量的联合分布密度函数是，求：（1）k的值；（2）判断X和Y是否独立；（3）.（2007）解（1）由可得（2）当时，从而当时,因此，同理由此可知，对于一切x，y，有，即X与Y相互独立.（3）5、（14分）设在由直线及曲线所围成的区域上服从均匀分布， （1）求边缘密度和，并说明与是否独立.y01e2xy=1/xD （2）求.（

12、2008）解：区域的面积 的概率密度为 （1） 因，所以不独立. （2） 第四章 随机变量的数字特征考点：期望的定义：一维，二维函数的期望：一维，二维，期望的性质：，相互独立时方差的定义与计算：，由于方差的计算全部都是转化为期望，因此期望的计算方法必须掌握方差的性质：，相互独立时常见分布的期望和方差：两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布1. 设随机变量在区间上服从均匀分布，随机变量 则方差 。（2006）解：,从而2. 设表示连续抛掷两次硬币中出现正面的次数，则（ ）。（2006）. 0.5 . 1 . 1.5 . 2解：，从而，选C3对随机变量X，关于，EX2合适的值为 （ ）（

13、2007） A3，8 B3， 10 C3，-8 D3，-10解：由于，所以，选B4.（8分）设有十只同种电器元件，其中有两只废品，装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品，则重新任取一只；若仍是废品，则仍再任取一只. 求在取到正品之前，已取出的废品数的期望和方差.（2007）解 令X表示取到正品之前已经取出的废品的数，则X的可能取值为0，1，2X的分布律为，所以5. 设随机变量、相互独立，且，则_。（2008）解：第五章 样本与统计量考点：“是的一个样本”意味着相互独立且与有同样的分布常用统计量的分布：1.样本均值，则2.样本方差，则统计中常用的分布：设总体1.2. ，3.4.1. 设总体服

14、从正态分布为未知参数，是来自总体的一个样本，分别是样本均值和样本方差，则下列结论正确的是（ ）（2006）. , . ,. , . .解：，因此，A错，故，从而，而因此，B对，选B，C错，故，而因此，D错2. 设，为样本容量的样本均值，则为（ ）。（2006）. . . . 解：由于，所以，因此选C3设总体，为该总体的一个样本，则统计量服从 分布.（2007）解：，所以，从而，所以，从而因此4. 设是总体的样本，是样本方差，若，则_. （注：）（2008）解：由于，因此，故，从而，即5.设总体均值为，方差为，为样本容量，下式中错误的是（ ）（2008）(A) (B) (C) (D) 解：,故，

15、A正确，B正确，则，从而，C正确总体未必是正态分布，因此也未必是正态分布，从而未必是正态分布，D错误选D6. 设随机变量和相互独立，且都服从正态分布，设和分别是来自两个总体的简单随机样本,则统计量服从的分布是 （ ）（2008）（A） （B） （C） （D）解：由题目条件，因此，从而，因此故，即，选A第六章 参数估计考点：点估计：数字特征法：总体均值的估计为样本均值总体方差的估计为样本方差矩法估计：用样本原点矩估计总体原点矩，用样本中心矩估计总体中心矩，样本各阶矩根据样本值都可以计算出来，是已知的，总体的各阶矩可以用未知参数表示出来，从而得到关于未知参数的方程或方程组，解出各参数（用样本矩表示

16、出来），就得到未知参数的矩法估计。用不同的矩有可能得到同一个参数的不同估计。矩法估计的结论：极大似然估计：参数取何值能使得到本组样本数据的概率最大。适用于连续型随机变量的参数估计。步骤：1.由总体密度写出似然函数；2.写出对数；3.对未知参数求导数（一个未知参数）或偏导数（多个未知参数），令导数或偏导数等于0，得到未知参数的方程或方程组，解出未知参数就是极大似然估计。极大似然估计的结论：估计的评选标准：无偏性：是的无偏估计量，是的无偏估计量，不是的无偏估计量有效性：若都是的无偏估计，则比有效正态总体的区间估计：1.方差已知，估计均值。用统计量，估计区间2.方差未知，估计均值，用统计量，估计区间

17、3.均值已知，估计方差，用统计量，估计区间4.均值未知，估计方差，用统计量，估计区间1. 设正态总体的均方差，该总体的一个容量为的样本均值，则总体均值的置信水平为95%的置信区间是 。()（2006）解：考虑统计量，由知，总体均值的置信水平为95%的置信区间为，即2.设为总体的样本，的密度函数为其中为未知参数。试求 (1) 的矩法估计；(5分)(2) 的极(最)大似然估计。(5分)(2006)解:(1)设的样本均值为 。由的密度函数得 由,得的矩法估计(2)似然函数为令，即得的极大似然估计3设正态总体，未知，则的置信度的置信区间的长度L为 .（2007）解：统计量，由知的置信度的置信区间为，因

18、此区间长度就是4.是来自总体的样本，若统计量是总体均值的无偏估计量，则_。（2008）解：根据无偏估计量的定义，即，因为与同分布，所以，从而有5、（10分）设为取自总体的一个样本，的密度函数为，其中，求参数的矩估计以及极大似然估计.（2008）解： 矩估计：，由（一阶原点矩）得矩估计量为极大似然函数为 两边同时取对数，得令得极大似然估计量为第七章 假设检验考点：正态总体的假设检验1.方差已知，检验均值。用统计量，拒绝域若考虑单边检验，备择假设为时拒绝域为，备择假设为时拒绝域为2.方差未知，检验均值，用统计量，拒绝域3.均值已知，检验方差，用统计量，拒绝域4.均值未知，估计方差，用统计量，估计区

19、间1.某装置的平均工作温度据制造厂家称不高于190，今从一个由16台装置构成的随机样测得工作温度的平均值和标准差分别为195和8。根据这些数据能否说明平均工作温度比制造厂所说的要高？设，并假定工作温度近似服从正态分布。（提示：）。（2006）解：设工作温度，其中未知，假设检验问题为检验统计量为拒绝域为由于，故应拒绝原假设，即平均工作温度比制造厂所说的要高。2.(10分)设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取26位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分.问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程.（2007）解:设该次考试的考

20、生成绩为X，则，把从X中抽取的容量为n=26的样本均值记为，样本标准差为S.本题是在显著水平下检验假设 由于未知，用t检验法.当H0为真时，拒绝域为由算得，所以接受H0，即在显著水平0.05下，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.3、（10分）已知多名实习生相互独立地测量同一块土地的面积，设每名实习生得到的测量数据平方米服从正态分布，从这些测量数据中随机抽取7个，经计算，其平均面积为125平方米，标准差为2.71平方米，（1）求：的置信度为90%的置信区间；（2）检验这块土地的面积为124平方米是否成立（显著性水平为0.1）.（注：）（2008）解：（1）方差未知，估计均值。的置信度为

21、下的置信区间为 因为 所以的置信度为90%的置信区间为（123，127）（2）本问题是在下检验假设 方差未知，所以选择统计量，拒绝域为这里显然，从而接受原假设，即在显著性水平0.10下，可认为这块土地的平均面积为124平方米。第八章 方差分析考点：方差分析表1.以下是某农作物对五种土壤，每一个处理作四次重复试验(即)后所得产量的方差分析表的部分数据，完成方差分析表并写出分析结果。方差来源平方和自由度均方和值临界值土壤因素误差总和(参考临界值：，)(2006)解：，方差来源平方和自由度均方和值临界值土壤因素411.563.593.06误差153.22总和94.6119因为，所以土壤对农作物的产量

22、的影响有统计意义。2某单因素方差分析表的结果如下表：方差来源平方和自由度组间9.266组内4总和10.812则F值为 .（2007）解：，故3、（5分）某粮食加工厂用4种不同的方法贮藏粮食，一段时间后，分别抽样化验其含水率，每种方法重复试验次数均为5次，所得粮食含水率的方差分析表的部分数据如下，试完成方差分析表并给出分析结果。（2008）方差来源平方和自由度值临界值组间（贮藏方法）4.8106组内（误差）4.5263总和(参考临界值：，)解：方差总和9.3369，组间自由度3，组内自由度16，自由度总和19，F值5.6683，F临界值5.29由于，所以在水平下，拒绝，即认为不同的贮藏方法对粮食

23、含水率有影响。第九章 回归分析考点:回归方程系数的确定，回归方程的F检验：方差分析表方差来源平方和自由度均方和F值临界值回归1剩余n-2总和n-1结果分析：若，则拒绝原假设，即认为线性方程有统计意义；否则接受原假设，即认为线性方程没有统计意义。1.对某地区生产同一产品的8个不同规模的乡镇企业进行生产费用调查，得产量(万件)和生产费用(万元)的数据资料如下：，试据此建立关于的回归方程. （2006）解：，故；因此回归直线方程为 2给10只大白鼠注射类毒素后，测得每只大鼠的红细胞数(x)与血红蛋白含量(Y)数据，并计算获得如下中间结果：X=6550，Y =136，X2 =，Y2 =1886，XY=90340这里x是一般变量，Y是随机变量，则变量Y关于x的回归方程的截距和斜率分别为 （ ）（2007）A -1.89859和0.02366 B 2.81408和0.90503C -3.85575和0.02665 D 0.02366和9.81408 解：因此，选A5. 下列统计量中哪个是回归统计检验的统计量（ ）（2008）(A) (B) (C) (D) 解：回归分析的检测中，F检测中，R检验中R分布未知，T检验中，因此选D29 / 29文档可自由编辑打印