数字信号处理课后答案-史林版-科学出版社.doc

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1、第一章作业题 答案#1.2一个采样周期为T的采样器，开关导通时间为，若采样器的输入信号为，求采样器的输出信号的频谱结构。式中解：实际的采样脉冲信号为：其傅里叶级数表达式为：采样后的信号可以表示为：因此，对采样后的信号频谱有如下推导：%1.5有一个理想采样系统，对连续时间信号进行等间隔T采样，采样频率rad/s，采样后所得采样信号经理想低通滤波器进行恢复，已知今有两个输入信号，对应的输出信号分别为，如题1.5图所示，问有没有失真，为什么？题1.5图 理想采样系统与恢复理想低通滤波器解：因为是理想采样系统，因此采样后的信号频谱可以表示为：，折叠频率为，而滤波器对的信号通过，因此有如下图：结论：1）

2、不失真、失真。2）输出信号中存在两种频率：、%1.6已知连续时间信号是频率为300Hz、400Hz、1.3KHz和4.3KHz的正弦信号的线性组合。现以2KHz的采样频率对进行采样。若恢复滤波器是一截止频率为900Hz的理想低通滤波器，试确定通过恢复滤波器后的输出信号中的各频率分量。解：因为是理想采样系统，因此采样后的信号频谱可以表示为：滤波后信号中的频率分量为：300Hz、400Hz、700Hz。%1.7已知一模拟恢复信号的频谱如题1.7图所示。对其等间隔T采样所得离散时间信号（序列）为。(1)当采样间隔时，画出序列的频谱图形。(2)试确定采样信号频谱不混叠的最低采样频率，并画出此时的频谱图

3、形。(3)画出由(3)中的序列恢复的框图（可用复理想低通滤波器）。题1.7图 的频谱图形解：采样间隔为，因此采样频率为。%第二章作业题 答案%2.1将序列表示为及延迟的和。解：首先将表示为单位脉冲序列的形式：对于单位脉冲函数，用单位阶跃序列表示，可得：将上式带入到的单位脉冲序列表达式中，可得：%2.5判断下列序列中，哪一个是周期序列，如果是周期序列，求出它的周期。(1)(2)(5)解：理论分析详见P18性质7）周期序列题中设计到的是正弦信号，对于正弦信号，分析其周期性，则需判断：1）为整数，则周期；2）为有理数，则周期；3）为无理数则非周期。观察（1）、（2）、（5），依次为：、，从而可知（1

4、）为非周期，（2）、（5）为周期序列。（2）中，因此周期。（5）中，第一部分周期为，第二部分周期为，因此序列周期为。%2.9试确定下列系统是否为线性时不变系统？(1) 。(2) ， m为正整数。解：利用线性时不变系统定义、性质分析。（1）线性分析：因此为线性系统。时不变分析：而系统输入为时，得：，因此为时变系统。综上，为线性时变系统。（2）线性分析：因此为线性系统。时不变分析：而系统输入为时，得：，因此为时变系统。综上，为线性时变系统。%2.11试求题2.11图所示线性时不变系统的单位脉冲响应，图中题2.11图 线性时不变系统如果输入序列，求该系统的输出序列。解：此题涉及到了线性时不变系统的输

5、入、输出关系，即：以及线性卷积的性质：交换律、结合律、分配律。系统的输入输出关系可表示为：将进行变形，尽量表示为单位脉冲序列的形式，以方便运算，则： 此时注意：，与之卷积实质是序列本身与序列右移一个单位所得新序列的差。与不宜合并一起然后与求线性卷积，应该分别与求线性卷积，从而：因此，%2.15设系统的差分方程为试分析该系统是否为线性、时不变系统。解：1、根据条件可知：2、根据上式判断：=系统为线性系统时变性分析与2.9（2）题相同，为时变系统。%2.18线性时不变系统的差分方程为若系统是因果的，试用递推法求系统的单位脉冲响应。解：令，则得：因为系统为因果系统，因此：故：以此为契机，依次递推可得

6、：%2.19如果线性时不变系统的单位脉冲响应为求系统的单位阶跃响应。解：将用表示，则：由于系统具有线性时不变性，因此当系统输入为时，根据线性时不变性的性质，系统输出为：因此输入为单位阶跃序列时，系统的输出为：%第三章作业题 答案%3.2设是序列的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义及性质，求下列各序列的离散时间傅里叶变换。（4）解：利用DFT的定义进行求解。（这是一种错误的解法，正确的如下所示。）（注意，此处n为奇数的项为零。）%3.3试求以下各序列的离散时间傅里叶变换。解：利用DTFT的定义和性质进行求解。%3.4设是一有限长序列，已知它的离散时间傅里叶变换为。不具体计算，试直接

7、确定下列表达式的值。（3）解：不计算，解法如下：令n=0，则：因此,%3.11证明:（1）若序列是实偶函数，则其离散时间傅里叶变换是的实偶函数。（2）若序列是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换是纯虚数，且是的奇函数。解：此题求解需要利用DTFT的性质和首先，（1）当为实偶序列时：根据DTFT的性质，可知：因此：因此，为的偶函数。此外，DTFT性质，因此，为实函数。综上，为的实偶函数。（2）利用同样的性质可以证明若序列是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换是纯虚数，且是的奇函数。%3.16若序列是因果序列，已知其离散时间傅里叶变换的实部为求序列及其离散时间傅里叶变换。解：此处的条件为：是因果序列。因此

8、此题的求解必然使用因果序列的对称性。注意：此处并没有提及为实序列，因此，此题需加如条件为实序列。注意，在常见序列DTFT中，。根据位移特性，。因此，因此可得：%3.17若序列是实因果序列，已知其离散时间傅里叶变换的虚部为求序列及其离散时间傅里叶变换。解：%3.21 试计算下列各序列的z变换和相应的收敛域，并画出各自相应的零极点分布图。（5）解：其中，零点为；极点为：，。以，为例，则，。%3.22 试计算下列各序列的Z变换及其收敛域。（7）解：此处注意： 左边序列。Z变换的性质：因此：%3.28 已知序列的Z变换为：（1） 试确定所有可能的收敛域；（2） 求（1）中所有不同收敛域时所对应的序列。

9、解：（1）极点有两个：，因此收敛域有三种可能：，（2）%3.43 设两个线性时不变系统的差分方程和初始条件分别为：（1）（2）若输入序列，分别求两个系统的全响应。解：即本章3.5.4的内容。全响应有稳态相应和暂态相应构成。由上式可知，求解的单边Z变换，则：因此，对于有：（1），在此情况下，有：令，则由于输入，因此。（2）输入，因此。%3.44讨论一个具有下列系统函数的线性时不变因果系统（1） 令系统因果稳定的a值范围是多少？（2） 如果0a1画出的零极点分布图，并标出收敛域；（3） 在z平面上用图解法证明系统是一个全通系统，及系统的频率响应为以常数。解：（1），其中，极点为，零点为。因果系统其

10、系统函数的极点分布在某个圆内，收敛域是这个圆的外部。稳定系统的系统函数的收敛域包含单位圆，而收敛域中没有极点。因果稳定系统的系统函数的所有极点一定分布在单位圆内。因此，的范围为：。（2）以为例，则零极点分布为：（3）公用，且，因此。%3.45若序列是因果序列，其离散时间傅里叶变换的实部为求序列及其离散时间傅里叶变换。解： T实部对应的偶对称序列对上式求解的反变换，即，由于为因果序列，因此为双边序列，收敛域取。通过留数法求解，则：，在c内有极点a，则：，则：，在c内有极点a、0。又有，因此：同时，得到第四章练习题答案%4.3 周期序的共轭对称序列和共轭反对称序列分别表示为 试证明 证明：利用DF

11、S的共轭对称性 因为所以同理%4.6 设序列的N点离散傅里叶变换为。现已知下列各分别求其离散傅里叶逆变换。（3） （4）解：离散傅里叶逆变换定义（3）（4）上式中的结果来于：%4.9已知是长度为N的有限长度序列，其N点离散傅里叶变换为。现将序列的长度添零扩大m倍，得长度mN的有限长序列，即其中，m为正整数。试求用表示的序列的mN点离散傅里叶变换。解：所以:整数时，注意：整数时，是的加权和，即%4.10 已知是长度为N的有限长序列，其N点离散傅里叶变换为。现将序列的每二点之间补进m-1个0值，得长度为mN的有限长序列，即其中，m为正整数。试求用表示的序列的mN点离散傅里叶变换。解：注意：，所以，

12、不正确。%4.13证明：若序列实偶对称，即，则也实偶对称。若序列实奇对称，即，则是纯虚数，并奇对称。解：令进行变量替换，则又因为为实偶函数，所以,所以可将上式写成所以：%4.24 设长度为和的两个序列分别为 （1） 求线形卷积（2） 求循环卷积（3） 试用循环卷积的方法计算出线形卷积的结果。解：（3）补9个零，补4个零，用循环卷积求解%第五章练习题答案%5.8 已知复序列的8点DFT为，其值为不计算的离散傅里叶逆变换（IFFT），试求实序列和的8点DFT和。解：利用DFT的共轭对称性所以%5.9 设和是长度为N的两个实序列。已知，。现在希望根据和求和，为了提高运算效率，试设计一种算法，用一次N

13、点IFFT来完成。解：利用DFT的线性，课堂中讲过的构造序列对作一次N点IDFT可得序列，又根据DFT的线性性质：线性组合的反变换等于反变换的线性组合而,都是实序列第六章练习题答案%6.3 设计一个满足下列指标要求的模拟低通巴特沃斯滤波器，并求出其系统函数的极点。通带截止频率，阻带截止频率，通带最大衰减，阻带最小衰减。解：巴特沃斯模拟低通滤波器的设计步骤为：（1）根据模拟滤波器的设计指标,和,，由(6.3.16)式确定滤波器的阶数N。（2）由(6.3.17)式确定滤波器的3dB截止频率。（3）按照(6.3.13)式，求出N个极点，将极点代入(6.3.14)式得滤波器的系统函数。* 取3dB截止

14、频率：去归一化%6.10 利用二阶模拟低通巴特沃斯滤波器，设计一个中心频率为，通带3dB带宽为的模拟带通滤波器。解: 根据滤波器的阶数N，直接查表6.3.1，得到归一化（）的极点和归一化的系统函数然后利用(6.3.9)式，得到3dB截止频率为的巴特沃斯模拟低通滤波器的系统函数。 (6.3.9)*%6.12 设模拟滤波器的系统函数为：用脉冲响应不变法将转换成数字滤波器的系统函数，并确定数字滤波器在处的频谱混叠失真幅度与采样间隔T的关系。解：模拟滤波器的系统函数与数字滤波器的系统函数的转换关系*求%6.25 利用模拟低通巴特沃斯滤波器，分别采用脉冲响应不变法和双线性变换法设计数字低通滤波器，要求，

15、。采样间隔。解：用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器的设计步骤为：(1)确定采样间隔T。为方便常取T=1。(2)利用模拟频率与数字频率之间的关系 （6.5.13）按给定的数字滤波器频率指标，确定模拟滤波器的频率指标：，(3)根据指标，设计模拟滤波器。(4)用脉冲响应不变法，将模拟滤波器变换成数字滤波器。双线性变换法设计IIR数字滤波器的设计步骤为：(1)确定参数T。使左右比较适当，不宜取太大或太小的数值。(2)将数字滤波器的边界频率，转换为模拟滤波器的边界频率，转换公式为 (3)按照模拟滤波器技术指标， ，和 设计模拟滤波器。(4)用双线性变换法将模拟滤波器变换为数字滤波器，即*脉冲响应不变法

16、：（1）T=1s（2），（3）巴特沃斯滤波器 确定阶数，取8 确定3dB截止频率 k=1,2,N 求出极点 模拟滤波器系统响应函数（4） T=1s双线性变换法：（1） T=1s（2） (3) ,取N=7(4) T=1s%6.27 三阶数字低通切比雪夫滤波器的系统函数为通带截止频率，通带最大衰减。要求将其变换成通带截止频率的数字低通滤波器。解：(1) 确定，（2）计算（3）即可第八章练习题答案%8.1 设线性时不变系统的输入序列为，输出序列为，其差分方程为 求其系统函数，并分别画出该系统的直接型、级联型和并联型算法结构。解：移项 Z变换 （1） 直接型 （2） 级联型（3） 并联型，将进行部分分式展开%8.6 题8.6图画出了10中不同的系统算法结构流图，试分别求出它们的系统函数。 直接1型 直接2型 直接1型 并联型，内直接1型 转置型 级联型 直接1型 直接2型 直接分析图 级联型 直接2型，右边分子项 常数项不加负号 直接1型 右边分母项 常数项加负号 并联型 直接2型 题8.6图 10种不同系统的算法结构 %8.14 已知FIR数字滤波器的系统函数为 试画出该滤波器的直接型算法结构和线性相位算法结构。 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）