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1、求实系数一元三次方程根的实用公式 在数学书籍或数学手册中，对一元三次方程求根公式的叙述都是沿用“卡丹公式”，即：对于一元三次方程： 设， 则它的三个根的表达式如下： 其中， 我们先用该公式解一个一元三次方程：。解：Q p=- 9，q=6， T=- 3，D=- 18， 原方程的三个根为 这样求出的三个根的表达式有两个不妥之处： 其一、当时，方程有三个实根（下文给出证明），但这里的、表达式不明确。 其二、当时，以及（如此例中的）违背了现行中等数学的表示规范，也不能具体地求出其值。 因此，用“卡丹公式”解出的一元三次方程的根，往往是不实用、不直观、不严密的。 下面我们推导一个实用的改进型求根公式。
2、实系数一元三次方程可写为 （1）令 ，代入（1）得 （2）其中，不失一般性，我们只要讨论实系数一元三次方程的求根公式即可。不妨设p、q均不为零，令y=u+v （3）代入（2）得， （4）选择u、v，使得，即 （5）代入（4）得， （6）将（5）式两边立方得， （7）联立（6）、（7）两式，得关于的方程组：， 且问题归结于上述方程组的求解。即求关于t的一元二次方程的两根、，设，又记的一个立方根为，则另两个立方根为，其中，为1的两个立方虚根。以下分三种情形讨论：1）若，即D0，则、均为实数，可求得，取，在，组成的九个数中，有且只有下面三组满足，即、；、；、，也就是满足， 方程（2）的根为，这是方程（2）有一个实根，两个共轭虚根，其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式，这里的根式及都是在实数意义下的。2）若，即时，可求得，取同理，可求得 方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。3）若，即D0时，Q ， p0， 原方程有一个实根和两个共轭虚根：例三、解方程。解：Q p=- 9，q=6， D=- 180， 原方程有三个实根：通过差表或计算器、计算机可计算得：这在工程技术上是极其有用的。 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）