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1、第三部分 多元函数微分学一、多元函数的概念、极限与连续性 内容要点一、多元函数的概念二、二元函数的极限三、二元函数的连续性1二元函数连续的概念2闭区域上连续函数的性质定理1 （有界性定理）设在闭区域D上连续，则在D上一定有界定理2 （最大值最小值定理）设在闭区域D上连续，则在D上一定有最大值和最小值定理3 （介值定理）设在闭区域D上连续，M为最大值，m为最小值，若则存在 典型例题一、求二元函数的定义域例1 求函数的定义域例2. 求函数二、有关二元复合函数例1 设例2 设解： 由条件可知 三、有关二元函数的极限1 / 9例1 讨论解：原式=而又例2 讨论解：沿原式 沿例3 讨论解： 而 用夹逼定
2、理可知 原式=0二、偏导数与全微分 内容要点一、偏导数与全微分的概念二、复合函数微分法锁链公式三、隐函数微分法 典型例题例1 设有连续的一阶偏导数，又函数分别由下列两式确定 解 由解出 由 解出 所以 例2 设 解一：令, 例3 已知 均有连续编导数，求证 证：根据隐函数求导公式 则得 u 例4 设 ，f,g具有二姐连续偏导数，且不恒为0.，若，求常数k的值（2005）u 例5 设二元函数有一阶连续的偏导数，且。证明：单位圆周上至少存在两点满足方程。(2002)u 例6 曲面z =x2/2+y2-2平行平面2 x +2 y -z=0的切平面方程是_2x+2y-z-5=0_.（首届中国大学生数学
3、竞赛2009）三、多元函数的极值和最值 典型例题一、普通极值、最值例1 求函数的极值解 要求 故知 由此解得三个驻点 又 在点（1，1）处极小值 在点（-1，-1）处极小值 在点（0，0）处这时 取而 取不是极值点 u 例2 求函数的极值 （2008）u 例3 求函数在上的最大、小值。（2004）u 例4 求函数在上的最大、小值。（2007）二、条件极值问题例1 在椭球面第一卦限上P点处作切平面，使与三个坐标平面所围四面体的体积最小，求P点坐标。解：设P点坐标(x,y,z)，则椭球面在P点的切平面的法向量为切平面：约束条件 用x乘（1）+y乘（2）+z乘（3）得则 将（5）分别找代入（1），（
4、2），（3）得所以 P点坐标为（）而最小体积例2 求坐标原点到曲线C：的最短距离。解：设曲线C上点（x, y, z）到坐标原点的距离为d，令约束条件用拉格朗日乘子法，令首先，由（1），（2）可见，如果取解得这样得到两个驻点再由（1）（2）得是矛盾的，所以这种情形设有驻点。最后，讨论情形，由（1）（2），（3）可得此方程无解，所以这种情形也没有驻点。综合上面讨论可知只有两个驻点，它们到坐标原点的距离都是1，由实际问题一定有最短距离，可知最短距离为1。另外， 由于C为双曲线，所以坐标原点到C的最大距离不存在。例3 已知函数在椭圆域解法1 由再由令在椭圆其最大值为再与比较，可知在椭圆域D上的最大值为3，最小值为-2。解法2 同解法1，得驻点(0,0).用拉格朗日乘数法求此函数在椭圆上的极值。设 解得4个可能的极值点(0,2),(0,-2),(1,0)和(-1,0).又f (0,2)=-2, f (0,-2)=-2, f (1,0)=3, f (-1,0)=3,再与f (0,0)=2比较，得在D上的最大值为3，最小值为-2。 友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。