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1、北京市朝阳区2019届高三数学第二次（5月）综合练习（二模）试题 文（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 已知集合，则（A） （B） （C） （D）且2. 复数的虚部为（A） （B） （C） （D）3. 已知，则，的大小关系是（A） （B） （C） （D） 开始结束输出 是否4. 在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率进行了估算.根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求的方法绘制的程序框图如图所示.执
2、行该程序框图，输出的值为（A） （B）（C） （D）5. 已知平面向量的夹角为，且，则 （A） （B） （C） （D）6. 已知等差数列首项为，公差. 则“成等比数列” 是“”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件7. 已知函数若函数存在零点，则实数的取值范围是（A） （B） （C） （D）8. 在棱长为1的正方体中，分别为线段和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和A. 有最小值 B.有最大值 C. 为定值 D. 为定值第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大
3、题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题卡上 9. 函数的最小正周期为 .10. 已知点在抛物线上，则 ；点到抛物线的焦点的距离是 .11. 圆上的点到直线的距离的最小值是 . 12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .正视图侧视图俯视图13.实数满足能说明“若的最大值是，则”为假命题的一组值是 .14. 设全集，非空集合，满足以下条件：，； 若，则且.当时，_（填或），此时中元素个数为_.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.（本小题满分13分）在等差数列中，已知,.（I）求数列的通项公式；（II）求.16. （本小题满分13分）
4、如图，在四边形中，已知， ADCB（）求的值；（）若，且，求的长17. （本小题满分13分）0.5a0.278910评分O频率组距某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场由5名专家组成评委给每位参赛选手评分，场外观众也可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分需要综合考虑专家评分和观众评分.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表.另有约数万名场外观众参与评分，将观众评分按照分组，绘成频率分布直方图如下图. 专家ABCDE评分10108.88.99.7 （）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；（）从现场专家中随机抽取2人，求其中评分高于9分的至
5、少有1人的概率；（）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分.方案一：计算所有专家与观众评分的平均数作为该选手的最终得分；Z&X&X&K方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分.请直接写出与的大小关系.18.（本小题满分13分）如图1，在直角梯形中，, ，,点在上，且，将沿折起，使得平面平面（如图2）. 为中点.（）求证:平面；（）求四棱锥的体积；（）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.图1图219. （本小题满分14分）已知椭圆的离心率为.（）求椭圆的方程；（）设直线过点且与椭圆相交于两点.过点作直线的垂线，垂足为.证明直线过轴上
6、的定点.20. （本小题满分14分）已知函数.（）当时，求曲线在处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若函数在区间内有且只有一个极值点，求的取值范围. 北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学（文）答案 2019.5一、选择题（40分）题号12345678答案AC DCBC BD二、填空题（30分）题号91011121314答案；Z&X&X&K(答案不唯一)；18三、解答题（80分）15 （本小题满分13分）解：（I）因为是等差数列，,所以 解得.则,. .7分（II） 构成首项为,公差为的等差数列.则. .13分16 （本小题满分13分）解：（）在中，由正弦定理，得因为，所以.6分（）由（
7、）可知，因为，所以在中，由余弦定理，得因为，所以，即 ，解得或又，则 .13分17 （本小题满分13分）解：（），某场外观众评分不小于9的概率是 .3分（）设“从现场专家中随机抽取2人，其中评分高于9分的至少有1人”为事件Q因为基本事件有，,， 共10种，事件Q的对立事件只有1种，所以. .9分（） .13分18 （本小题满分13分）解： （）证明：因为为中点， 所以.因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面 .4分（）在直角三角形中，易求,则所以四棱锥的体积的体积为 8分 （） 过点作交于点，则 过点作交于点，连接,则又因为， 平面,平面,PFEDCBA所以平面同理平面又因为，所以平面平面因
8、为平面 ， 所以平面所以在上存在点，使得平面，且 .13分 19 （本小题满分14分）（）由题意可得 解得 所以椭圆的方程为. .4分（）直线恒过轴上的定点.证明如下（1） 当直线斜率不存在时，直线的方程为,不妨设，.此时，直线的方程为：，所以直线过点.（2）当直线的斜率存在时，设，,.由得.所以.直线，令，得，所以.由于，所以.故直线过点.综上所述，直线恒过轴上的定点. .14分 20 （本小题满分14分）解：（）当时， 所以， 又，所以曲线在处的切线方程为.4分 （）函数的定义域为 ，（1） 当即时，因为时，所以的单调增区间为（2） 当，即时，令，得当时，；当时，；所以的单调增区间为，减区间为综上，当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为，减区间为 .9分 （）因为，所以.令，.若函数在区间内有且只有一个极值点,则函数在区间内存在零点.又，所以在内有唯一零点.且时，时，则在内为减函数，在内为增函数.又因为且在内存在零点,所以解得.显然在内有唯一零点，记为.当时，时，所以在点两侧异号，即在点两侧异号，为函数在区间内唯一极值点.当时，又在内成立,所以在内单调递增，故无极值点.当时，易得时,故无极值点.所以当且仅当时，函数在区间内有且只有一个极值点. .14分