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1、2010年株洲地区数学科 湖南省醴陵五中2010届高三数学第一次模拟试题(理科)醴陵五中与长沙一中联合制卷 湖南省醴陵五中2010届高三数学第一次模拟试题(理科) ，一.选择题(105=50) b,1 设10，abab，,，集合，则（ ） ab，,Rba,a,A B C D ,1,212x2函数fxx()3(02),?的反函数的定义域为（ ） (0)，,(19，(01)，9)，,3. 已知a,10S,70是等差数列，其前10项和，则其公差ad,1010n（ ） 2112, ,3333平面平面,的一个充分条件是（ ） ,?存在一条直线aaa，?，?, 存在一条直线aaa，?, 存在两条平行直线a
2、babab，?，?, 存在两条异面直线ababab，?，?, x225.函数fxx()cos2cos,的一个单调增区间是（ ） 2,2,A，0， B C D ，,，,333,6266,6设函数fx()定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当x,1x,1xfx()31,时，则有（ ） 132231Afff()()(), Bfff()()(), 323323213321Cfff()()(),fff()()(), D 332233,|4,0,ABBDDCABBDBDDC，, 如图，在四边形ABCD中， 1 醴陵五中与长沙一中联合制卷 ,，则的值为（ ） |AB|,|BD|，|BD|,|DC|,4(
3、AB，DC),ACA.2 B. C.4 D. 2242xy,，20?，,y, 已知变量满足约束条件则的取值范围是（ ） x?，1xy，,x,xy，,70?，,99,，A,，,，66， B ，,55,，C D 36，,，,，36，,9.f(x)是定义在（0，+?）上的非负可导函数，且满足,xfxfx()()0，, 对任意正数a、b,若ab，则必有 A.af(b) ?bf(a) B.bf(a) ?af(b) C.af(a) ?f(b) D.bf(b) ?f(a) tt210不等式在t?(0，2上恒成立，则a的取值范围?a?t229t是( ) 12141A，1 B，1 C， D，22 6131613
4、6二.填空题 (55=25) 11.已知函数axxcos(0)?，,a,在点处连续，则 fx(),x,0,2xx,1(0),12.已知偶函数f(x)在0，?上为增函数，则不等式f(2x1)f(2x)的解集为 2213抛物线y(nn)x(2n1)x1(n?N)，交x轴于An，Bn两点，则|AB|AB|AB|的值为 1122200520052 醴陵五中与长沙一中联合制卷 n2,23x,14.如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为n,3x,_. x115设xx2x，log、x、x依次是方程log(x2)x，21232 2x2的实数根，则x、x、x的大小关系为 123三.解答题(共75分)
5、16.设锐角三角形的内角的对边分别为，ABCABC，abc， abA,2sin（?）求的大小； B（?）求的取值范围 cossinAC，17. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为432、，且各问题能否正确回答555互不影响. （?）求该选手被淘汰的概率； （?）该选手在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望.（注：本小题结果可用分数表示） 18.如图，正三棱柱ABCABC,的所有棱长 111A A1都为CC，为中点 D21 （?）求证：AB?ABD平面； 11C C1D （?）求
6、二面角AADB,的大小； 1B （?）求点ABD到平面的距离 C1B13 醴陵五中与长沙一中联合制卷 19如图，公园有一块边长为2a的等边?ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上 (1)设ADx(x?0)，EDy，求用x表示y的函数关系式； (2)如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明 A x E D C B 20.如图，已知点F(10)，直线，为平面上的动点， Plx:1,y 过QPQFFPFQ,作直线的垂线，垂足为点Q，且 Pll （?）求动点的轨迹的方
7、程； PCF O 1 x （?）过点的直线交轨迹于两点，交直线 FCAB， ,1,，于点，已知，求的值. MlMAAF,MBBF,121221.已知各项均为正数的数列S,1a的前n项和满足，且n1*6S,(a，1)(a，2),n,N nnn（1）求a的通项公式； nbn（2）设数列a(2,1),1bTb满足，并记为的前n项和， nnnn*求证：3T，1,log(a，3),n,N. nn24 醴陵五中与长沙一中联合制卷 参考答案 1.C 2.B 3.D 4.D x2225.解：函数=，从复合函数的角度看，fxx()cos2cos,coscos1xx,2122原函数看作gttt()1,gttt()
8、1,，对于，当时，t,1,tx,cos21,2t,1为减函数，当时，为增函数，当时，gt()gt()x,(,)tx,cos23311减函数，且，? 原函数此时是单调增函数，选A。 t,(,)226.解： 依题意，有，所以， f(1，x),f(1,x)f1，(1,x),f1,(1,x)即，当x1时，x1，即2x1，所以，f(2,x),f(x)5412,2,x2,x33f(2,x),3,1f(x),3,1，故（x1），f,3,1f,3,1,33,32313,2fff,，所以，选（B）。 f,3,1,323,2,2.7. 解：()()()(|).ABDCACABDCABBDDCABDC，,，,，,，
9、 ,，,|4,ABBDDC, ,，,|2.ABDC ,，,|(|)4,BDABDC, ？，,()4.ABDCAC 选C。 598.解： 画出可行域为一三角形，三顶点为（1，3）、（1，6）和（），,22y表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）x959=（1，6）时取最大值6，当（x，y）=（）时取最小值，选A. ,225xf(x),f(x)f(x)f(x)9.解： 设F（x）=F(x),0，则，故F（x）=为2xxxf(a)f(b)减函数，由a,af(b),bf(a)b有，选A ab10.B 5 醴陵五中与长沙一中联合制卷 axxcos(0)?，,11.解： 因为在
10、点处连续， fx(),x,0,2xx,1(0),所以，填-1 limf(x),limf(x),f(0),a,1x,0，x,0,112x|x3或x 解：依题得：f(|2x1|)f(|2x|) 312|2x1|2x| 平方得：3x8x30x3或x ,3111113令y0得x，x?|AnBn| 12nnn1n111111?|AB|AB|(1)()()112005200522320052006120051 20062006rnr,2r,14解：由展开式通项有rnrnr,252r,3,Cx32 TCx，n，1rn,3x,5 由题意得， 2500,1,2,1nrnrrn,，2故当n时，正整数的最小值为5，
11、 r,2115xxx 解：易知x0，x看作y和yx2的交点logx231212y 横坐标，?x?(1，2) 12 2 1 x O xx看作y2x和y2交点的横坐标 3O 1 2 且0x1故得xxx 323116.解：（?）由，根据正弦定理得，所以abA,2sinsin2sinsinABA,1sinB,，由为锐角三角形得B, ?ABC26,（?）cossincossinACAA，,，, ,6 醴陵五中与长沙一中联合制卷 ,13,，coscossinAAA,，3sinA,，cossinAA ,2236,由为锐角三角形知， ?ABC2,， ， ,AB,B,，,A22226333613,所以 sinA
12、，,232,33,由此有， ,，,，3sin3A,232,33所以，的取值范围为 cossinAC，,22,17.解法一：（?）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为iAi(123),， i432则， PA(),PA(),PA(),123555？该选手被淘汰的概率 PPAAAAAAPAPAPAPAPAPA,，,，()()()()()()()112223112123142433101,，, 5555551251（?）,的可能值为，PPA(1)(),， 123，15428， PPAAPAPA,(2)()()(),，,121255254312PPAAPAPA,(3)()()(),，, 121255
13、25？,的分布列为 , 1 2 3 1812 P52525181257？,，,E,123 525252518.（?）取中点，连结 BCOAO7 醴陵五中与长沙一中联合制卷 为正三角形， ?ABC？AOBC?在正三棱柱ABCABC,BCCB中，平面平面，平面？AD?ABC?11111BCCB 11取BCO中点，以为原点，的方向为轴的正方OBOAxyz，OOO1111向建立 空间直角坐标系，则A(003)，B(120)， B(100)，D(110),，A(023)，11BD,(210)， ？,AB(123)，BA,(123)，11， ABBD,，,2200ABBA,，,1430111z A， ？A
14、BBD?ABBA?1111A ？AB?ABD平面 11F （?）设平面AAD的法向量为n,()xyz， 1C C1D O AD,(113)， AA,(020)， y 1B B1n?AD， n?AA1x ,y,0，,nAD,0，,，,xyz30，,？ ,nAA,0，20y,，xz,3,1令n,(301)，AAD得为平面的一个法向量 z,11由（?）知AB?ABDABD平面，为平面的法向量 ？AB1111nAB,3361AB,cos,n， 14222nAB16arccos？AADB,二面角的大小为 14（?）由（?），ABD为平面法向量， ABBCAB,(200)(123)，111BCAB,212
15、 ？ABDd,点到平面的距离 C1222AB18 醴陵五中与长沙一中联合制卷 222219解：(1)在?ADE中，yxAE2x?AE?cos60?y,22xAEx?AE ? 13122又SSax?AE?sin60?x?AE2a ? ,?ADEABC22222a2222?代入?得：yx(2a(y0) )x44a22?yx2a(a?x?2a) 2x44a2222(2)如果DE是水管yx2a?2?2a2a2a， 2x44a2当且仅当x，即x2a时“”成立，故DE?BC，且2xDE2a 44a如果DE是参观线路，记f(x)x，可知函数在a，2a上22x2?，在2a，2a上?，故f(x)f(a)f(2a
16、)5a max22?y5a2a3a max即DE为AB中线或AC中线时，DE最长 20.解法一：（?）设点QPQFFPFQ,Pxy()，Qy(1),，则，由得： 2Cyx:4,(10)(2)(1)(2)xyxyy，,，化简得 y （?）设直线xmym,，,1(0)的方程为： ABP Q 2,B 设M,1，Axy()，Bxy()，又， ,1122m,O F x 2,yx,4，A 联立方程组x，消去得： ,xmy,，1，,M yym，,4，,1222ymy,440,，,(4)120m，故 ,yy,4,129 醴陵五中与长沙一中联合制卷 由，得： MAAF,MBBF,12222211，整理得：,，,
17、， yy，,yy，,12111222mymymm12,2yy，24m21112,2 ,2？，,，2,0,12myym,4myy12,12121.解：由a,1a,2，解得或， aSaa,，(1)(2)1111116由假设aS,1a,2，因此， 11111又由， aSSaaaa,，,，(1)(2)(1)(2)nnnnnnn，111166得()(3)0aaaa，,， nnnn，11即aa,30aa,a,0aa,或，因，故不成立，舍去 nn，1nn，1nnn，1因此aa,3，从而是公差为，首项为的等差数列， 2a3,nn，1n故an,31的通项为 a,nn,13nbn（II）证法一：由a(21)1,可
18、解得； b,，,log1logn,n22an31,2363n,从而Tbbb,，,log nn122,2531n,33632n,因此31log(3)logTa，,，, nn22,253132nn,，,(二)空间与图形33632n,令fn(),则,253132nn,，,扇形的面积S扇形=LR284.164.22有趣的图形1 整理复习232fnnnn(1)3233(33)，, ,2fnnnnn()3532(35)(32)，,的图象可以由yax2的图象平移得到：（利用顶点坐标）32因(33)(35)(32)970nnnn，,，,，,fnfn(1)()，,，故 27特别地31log(3)log()0Ta
19、fn，,，,fnf()(1)1?,，从而 nn2220(三)实践活动即31log(3)Ta，,， nn2证法二：同证法一求得bT及， nn(2)中心角、边心距：中心角是正多边形相邻两对角线所夹的角，边心距是正多边形的边到圆心的距离.10 醴陵五中与长沙一中联合制卷 3(1)13，,，cc由二项式定理知，当时，不等式成立 c,0333111,由此不等式有 31log2111T，,，n2,2531n,5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45、135、225。135.215.27加与减（三）4 P75-80333,，log21112,2531n,5832n， ,，,，log2log(32)log(3)?na222n2531n,证法三：同证法一求得bT及 nn(3)若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.（切点圆心要相连）3634731nn，5832n，令， AB,?，C,?nnn2531363nn,4731n，33132nnn，3+2n2因因此 ,AABC,nnnn31331nnn,，23363n,3从而 31log2log2TA，,nn22,2531n,，,，log2log(32)log(3)ABCna 222nnnn11