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1、江苏省南通市2013届高三第一次调研测试数学试题(考试时间:120分钟 满分:160分) 一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分(请把答案填写在答题卡相应的位置上( 1(已知全集U=R，集合，则 ? ( A,Axx,，,10,U答案:( (,1,32i,2(已知复数z=(i是虚数单位)，则复数z所对应的点位于复平面的第 ? 象限( i答案:三( 3(已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是 ? ( 7答案:48. x4(定义在R上的函数，对任意x?R都有，当 时，fx()4,， fxfx(2)()，,fx()x,(2,0)则 ? ( f(2013),1答案:( 4p
2、q5(已知命题:“正数a的平方不等于0”，命题:“若a不是正数，则它的平方等于0”， pq则是的 ? (从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空) 答案:否命题( 开始 22y22x,16(已知双曲线的一个焦点与圆x+y,10x=0的圆心重合， 22ab输入x 且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为 ? ( 5n?1 22n?n+1 yx,1答案:( 520x?2x+1 7(若S为等差数列a的前n项和，S=,36，S=,104， 13nn9Y 则a与a的等比中项为 ? ( n?3 57N 答案:( ,42输出x 8(已知实数x?1，9，执行如右图所示的流程图， (第8题) 结束
3、则输出的x不小于55的概率为 ? ( 3答案:( 8BABC,|ABACBC，,9(在?ABC中，若AB=1，AC=，则= ? ( 3|BC1答案:( 201,a,10(已知，若，且，则的最大值为 log(21)log(32)xyyx,，,，,，xyaa? ( 答案:,2( ,f(1)1x211(曲线在点(1，f(1)处的切线方程为 ? ( fxfxx()e(0),，e21 答案:( yx,e212(如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅O 为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时(则该(第12题) 物体5s时刻的位移为 ? cm( 答案:,
4、1.5( 2213(已知直线y=ax+3与圆xyx，,280相交于A，B两点，点在直线y=2x上，Pxy(,)00且PA=PB,则的取值范围为 ? ( x0答案:( (1,0)(0,2),3537xyxy，,，,2m,，(3)x,yx,114(设P(x，y)为函数图象上一动点，记，则当xy,12m最小时，点 P的坐标为 ? ( 答案:(2，3)( 二、解答题:本大题共6小题，共计90分(请把答案写在答题卡相应的位置上(解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤(15(本题满分14分) 如图，在正三棱柱ABC,ABC中，E是侧面AABB对角线的交点，F是侧面AACC1111111A对角线的交点，D
5、是棱BC的中点(求证: 1 EF/(1)平面ABC; CB1 1 (2)平面AEF?平面AAD( 1E F A B C 解:(1)连结ABAC和( D 11(第15题) EF、因为分别是侧面AABB和侧面AACC的对角线的交点， A1 1111EF、所以分别是ABAC和的中点( 11CB1 1 EFBC/所以( 3分 E F EFBCABCABC又平面中，平面中， ,A EF/ABC故平面( 6分 B C D (第15题) (2)因为三棱柱为正三棱柱， ABCABC,111ABC所以平面，所以( AA,BCAA,11EFBC/故由，得( 8分 EFAA,1DBC,ABCBCAD,又因为是棱的中
6、点，且为正三角形，所以( EFBC/故由，得EFAD,( 10分 EF,而，平面，所以平面AAADA,AAAD,AAD111(12分 AAD1EF,AEFAEF,又平面，故平面平面(14分 AAD116.(本题满分14分) sinsinAB，在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，( tanC,coscosAB，(1)求角C的大小; 22(2)若?ABC的外接圆直径为1，求的取值范围( ab，sinsinAB，sinsinsinCAB，解:(1)因为，即， tanC,coscosAB，coscoscosCAB，sincossincoscossincossinCACBCACB，,，所以
7、， sincoscossincossinsincosCACACBCB,即 ， 得 ( sin()sin()CABC,4分 CABC,所以，或(不成立)( CABC,()2CAB,，即 , 得 ,( 7分 C,32(2)由( ,，,设,知-,CAB,0,AB333333因， aRAAbRBB,2sinsin,2sinsin8分 22221cos21cos2,ABabAB，,，,，sinsin故 221221，,=1cos(2)cos(2)1cos2,，,，( ,2332，11分 122,cos21,?，故由-,知-,2,233332233,，ab?(14分 4217.(本题满分14分) 某公司为
8、一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用(如图所示，为长方形薄板，沿AC折ABCDABAD(),B ,AB叠后，交DC于点P(当?ADP的面积最大时最节能，凹多边形P ,D ACBPD的面积最大时制冷效果最好( C (1)设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围; (2)若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽, A B (3)若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽, (第17题) ABx,BCx,2xx,2解:(1)由题意，(因，故12,x( 2分 设，则( DPy,PCxy,ADPCBP因?，故( PAPCxy,2222221由 ，
9、得 ，PAADDP,，()(2)2(1)xyxyy,，,x12,x(5分 ADP(2)记?的面积为，则 S11 Sx,(1)(2)1x6分 2， ,，,3()222xx当且仅当?(1，2)时，S取得最大x,21值(8分 故当薄板长为米，宽为米时，节能效果最222,好( 9分 ADP(3)记?的面积为S，则 221114，Sxxxx,，,，(2)(1)(2)3()222xx12,x(10分 于是，3142,，x3,(11Sxx,(2)022222xx分 33(2,2)(1,2)关于的函数在上递增，在上递减( Sx23所以当时，取得最大Sx,22值( 13分 33薄板长为米，宽为米时，制冷效果最故
10、当222,好( 14分 18.(本题满分16分) naa(),n1已知数列a中，a=1，前n项和为S，且( S,n2nn2(1)求a; 1(2)证明数列a为等差数列，并写出其通项公式; nan，1lg,(3)设b，试问是否存在正整数p，q(其中1pq)，使b，b，b成等比数列,1pqnn3若存在，求出所有满足条件的数组(p，q);若不存在，说明理由( 解:(1)令n=1，则1()aa,11a=S=0( 3分 112naa(),nan1n(2)由，即， ? S,S,nn22(1)na，n，1得 ( ? S,n，12?,?，得 (1)nana,( ? nn，1nana,，(1)于是，( ? nn，
11、21?+?，得nanana，,2，即nnn，21aaa，,2( 7分 nnn，21又a=0，a=1，a,a=1， 1221所以，数列a是以0为首项，1为公差的等差数列( n所以，a=n,n1( 9分 (3)假设存在正整数数组(p，q)，使b，b，b成等比数列，则lgb，lgb，lgb成等差数1pq1pq列， 于是，2pq1( 11,，pq333分 2pq1所以，(?)( q,3()p33易知(p，q)=(2，3)为方程(?)的一组解( 13分 2(1)224ppp，,2p当p?3，且p?N*时，0，故数列(p?3)为递减数列， ,ppp，11p33332p1231，于是,?,于是，fx()=，
12、不min4合( 12分 1,a00,a(ii)若，即，由的单调性和值域知， fx()42,，x,(e,e)唯一，使fx()0,，且满足: 002,xx,(,e)当xx,(e,)时，为减函数;当时，为增函fx()0,fx()fx()0,fx()00数; x120fxax(),x,(e,e)所以，fx()=，( 00min0ln4x011111111所以，与矛盾，不0,aa,24ln44e244xxlne00合( 15分 综上，得11( 16分 a,224e南通市2013届高三第一次调研测试数学附加题 参考答案与评分标准 (考试时间:30分钟 满分:40分) 21(【选做题】本题包括ABCD共4小
13、题请从这4题中选做2小题每小题10分共20分(请在答题卡上准确填涂题目标记解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤( A(选修4,1:几何证明选讲 如图，?ABC是?O的内接三角形，若AD是?ABC的高，AE是?O的直径，F是BCA 的中点(求证: ABACAEAD,(1); ，,，FAEFAD (2)( O C B D E F BE，,，EC，,，,，ABEADCRt证明:(1)连，则，又， (第21A题) ABAE所以?ABE?ADC，所以( ,ADAC?ABACAEAD,( 5分 FOF，,，BAFCAF(2)连，?是的中点，?( BC，,，BAECAD由(1)，得，?，,，FAEFAD
14、( 10分 B(选修4,2:矩阵与变换 10，2,Cyx:2 ,已知曲线，在矩阵M对应的变换作用下得到曲线C，C在矩阵11,02，01,，,N对应的变换作用下得到曲线C，求曲线C的方程( 22,10，解:设A=NM，则011002,，,A， 3分 ,100210，Pxy, Pxy, 设是曲线C上任一点，在两次变换下，在曲线C上的对应的点为， ，2xxy022,xy,2,，,，则 ,， 即?,yx,10yyx,，xy, 7分 ,1yx.,2221又点Pxy, 在曲线上，? ()2,xy，即Cyx:2 ,，221(10分 yx,8C(选修4,4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原
15、点，极轴与x轴的正半轴重合(曲线C的极坐,xt,3,2222标方程为,cos3sin3，,，直线l的参数方程为(t为参数，t?R)(试,yt,，1,在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大( 解:曲线C的普通方程是2x2，,y1( 2分 3直线l的普通方程是xy，,330( 4分 (3cos,sin),设点M的直角坐标是，则点M到直线l的距离是 ,，,32sin()13cos3sin3,，,4d,( ,227分 ,，,22sin()2因为，所以 ,43,，,，,sin()12kk(2kk(当，即Z)，即Z)时，d取得最大值( 442462此时( ,3cos,sin,227(2,)综上，点M的
16、极坐标为时，该点到直线l的距离最6大( 10分 62注 凡给出点M的直角坐标为，不扣分( (,),22D(选修4,5:不等式选讲 22已知且21ab，,，求的最大值( Sabab,24ab,0,0,解: abab,，,0,0,21,?2224(2)414abababab，,，, 2分 2且，即，1222,，,ababab,41, 5分 ab,821,22,2(14)abab?, Sabab,24,，,241abab,211当且仅当ab,时，等号成42立( 10分 y M 22(本小题满分10分)(解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 如图，已知定点R(0，,3)，动点P，Q分别在x轴和y
17、轴上移动，延长PQQ 1PQQM,至点M，使，且( PRPM,02x O P (1)求动点M的轨迹C; 1R 22(第22题) xy，,(1)1(2)圆C: ，过点(0，1)的直线l依次交C于A，D两点21(从左到右)，交C于B，C两点(从左到右)，求证:为定值( ABCD,21解:(1)法一:设M(x，y)，P(x，0PRPMPQQM,0,)，Q(0，y)，则由及R(0，,3)，122得 ,，,xxxy()(3)0,11,1,化简，得,xx,12,11,yyy,.22,222xy,4( 4分 所以，动点M的轨迹C是顶点在原点，开口向上的抛物1线( 5分 法二:设M(x，y)( 1xyPQ(,
18、0),(0,),PQQM,由，得 ( 232xx3所以，( PRPMy,(,3),(,)22x332由，得 ，即(化简得 xy,30(,3)(,)0,xyPRPM,04222( 4分 xy,4所以，动点M的轨迹C是顶点在原点，开口向上的抛物1线( 5分 (2)证明:由题意，得 ，?C的圆心即为抛物线C的焦点F( ABCDABCD,21设，则Axy(,)Dxy(,)1122( 7分 ABFAFByy,，,1111同理 ( CDy,2l设直线的方程为 ( xky,(1)xky,(1),1,222222kykyk,，,(24)0由得，即( yky,(1),12yx,4,4所以，ABCDABCDyy,
19、1( 1012分 23(本小题满分10分)(解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤( a,1*naaaan,，,22,1()N已知数列a满足:( n11n，a,1(1)若，求数列a的通项公式; n*a,3(2)若，试证明:对，a是4的倍数( ,nNna,1na,1aa,，4,(1)1解:(1)当时，( 11n，bnbb,5,(1)令ba,1，则( 11，nnn,1因b,5为奇数，b也是奇数且只能为， 1n,5,1,n,b,所以，即,n,1,2,n,4,1,n,a, 3分 ,n0,2.n,a,3 (2)当时，a,1naa,，4,31( 4分 11n，下面利用数学归纳法来证明:a是4的倍数( n
20、n,1当时，命题成立; a,，4411*设当时，命题成立，则存在N*，使得， nkk,()Nt,at,4ka,1414(1)tt,k， ？,，,，,，a313127(41)1,，,，27(41)14(277)mmk，14(1)1454443ttrrtrt,其中， 44C4(1)C4C4m,，,，,4(1)4(1)4(1)ttt,？,mZnk,，1，当时，命题成立( ？*由数学归纳法原理知命题对成？,nN立( 10分 南通市2013届高三第一次调研测试 数学?讲评建议 第1题 考查集合运算(注意集合的规范表示法，重视集合的交并补的运算( 第2题 考查复数的基本概念及几何意义(对复数的概念宜适当疏
21、理，防止出现知识盲点( 第3题 考查常见几何体的表面积与体积的计算(应熟练掌握常见几何体的表面积的计算，灵活应用等体积法计算点面距( 第4题 本题考查一般函数的性质周期性在解题中的应用( 第5题 本题考查简易逻辑的知识(应注意四种命题及其关系，注意全称命题与特称性命题的转换( 第6题 本题考查双曲线的标准方程、简单性质与圆的有关知识(对双曲线的讲评不宜过分引申( 第7题 本题主要考查等差数列的基本概念及其简单运算( 法一 用性质(S=9a= -36，S= 13a= -104，于是a= -4，a= -8，等比中项为9513757( ,42法二 用基本量(S=9a+36d= -36，S=13a+7
22、8d= -104，解得a=4，d= -2(下同911311法一( 第8题 本题主要考查算法及几何概型等知识( 法一 当输入x=1时，可输出x=15;当输入x=9时，可输出y=79(于是当输入x79553,的取值范围为1，9时，输出x的取值范围为15，79，所求概率为( 79158,87x，8755x，?69?x 法二 输出值为(由题意:，故( 第9题 本题主要考查向量与解三角形的有关知识( |ABACBC，, 满足的A，B，C构成直角三角形的三个顶点，且?A为直角，于2BA是=1( BABC,第10题 本题主要考查对数与线性规划的基础知识及简单运算(讲评时应强调对数的真数应大于0(强调对数函数
23、的单调性与底数a之间的关系( 第11题 本题主要考查基本初等函数的求导公式及其导数的几何意义( ,f(1)f(1)x1, ( fxfx()e(0),，,，ff(1)e(0)1,f(0)1ee,f(1)1x2, 在方程中，令x=0，则得( fxfxx()e(0),，f(1)e,e2讲评时应注意强调“在某点处的切线”与“过某点处的切线”的区别( 第12题 本题主要考查三角函数及其应用(考题取自教材的例题(教学中应关注课本，以及有关重要数学模型的应用，讲评时还要强调单位书写等问题( 10,3sin(),，t S(t)=，求S(5)= -1.5即可( 32第13题 本题主要考查直线与圆的有关知识( 3
24、|3|,a, 圆心C(-1，0)到直线l:y=ax+3的距离为，解得a0或a0且k?1)为等比数列;反之knloga若数列a为等比数列，则数列(a0且a?1)为等差数列( nan(其中mpq)，使b，b， 第(3)问中，如果将问题改为“是否存在正整数m，p，qmpb成等比数列,若存在，求出所有满足条件的数组(m，p，q);若不存在，说明理q由(”那么，答案仍然只有唯一组解(此时，在解题时，只须添加当m?2时，说明方程组无解即可，其说明思路与原题的解题思路基本相同( ann，1,(1)nana, 对于第(2)问，在得到关系式:后，亦可将其变形为，nn，11,ann并进而使用累乘法(迭乘法)，先行
25、得到数列a的通项公式，最后使用等差数列的n定义证明其为等差数列亦可(但需要说明n?2( 考虑到这是全市的第一次大考，又是考生进入高三一轮复习将近完成后所进行的第一次大规模的检测，因而在评分标准的制定上，始终本着让学生多得分的原则，例如本题中的第(1)问4分，不设置任何的障碍，基本让学生能得分( 第19题 本题主要考查直线与椭圆的基础知识，考查计算能力与独立分析问题与解决问题的能力(讲评本题时，要注意对学生耐挫能力的培养( 函数的取值范围是全体实数；第(2)问，亦可设所求直线方程为y-1=k(x-1)，与椭圆方程联立，消去一个变1（1）二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是
26、对应一量或x或y，然后利用根与系数的关系，求出中点坐标与k的关系，进而求出k11的值( 对称轴：x=第(3)问，可有一般的情形:过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦，则145.286.3加与减（三）2 P81-83两动弦的中点所在直线过定值(此结论在抛物线中也成立(另外，也可以求过两中点所在直线的斜率的最值( 2、会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势:多考一点“算”，少考一点“想”( 第20题 本题主要考查函数与导数的知识，考查运用所学数学知识分析问题与解决问题的能力(
27、（4）二次函数的图象：是以直线为对称轴，顶点坐标为（，）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）第(2)可另解为: 2,，,xx,e,e,fxfxa()?， 命题“若使成立”等价于 ，1212(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.2,fxfxa()?，,xe,e“，使”( ，11max211,fxa，,x,e,efxa(),由(1)，当时，于是( ，maxmax441、20以内退位减法。x221111fxax(),?，,xe,e，,xe,e故，使，即，使a?,( 1111ln4xln4xx111211x,e,e所以当时，a?,( ，ln4xxmin2、第三
28、单元“生活中的数”。通过数铅笔等活动，经历从具体情境中抽象出数的模型的过程，会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。2,，4(ln)xx2,1111,记，则( gx(),，,gxx(),e,e,2222ln4xxxxxxx(ln)44(ln),一年级数学下册教材共六个单元和一个总复习，分别从数与代数、空间图形、实践活动等方面对学生进行教育。2222,x,e,e44e,4e,(ln)1,4xx,gxx()0,e,e,因，故，于是恒成立( 211e,e所以，在上为减函数， gx(),ln4xx1111所以，( gx(),min2222lne4e4e11所以，( a?,224e