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1、课时达标检测（二十三） 正弦定理和余弦定理 小题对点练点点落实 对点练(一) 利用正、余弦定理解三角形 7 1(2018安徽合肥一模)ABC 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos A ，c 8 a2，b3，则 a( ) 5 A2 B. 2 7 C3 D. 2 7 解 析 ： 选 A 由 题 意 可 得 c a 2， b 3， cos A ， 由 余 弦 定 理 ， 得 cos A 8 1 b2c2a2 7 9a22a2 ，代入数据，得 ，解方程可得 a2. 2 bc 8 2 3a2 5 2(2018湖北黄冈质检)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a
2、b，A 2 2B，则 cos B( ) 5 A. B. 3 5 4 5 C. D. 5 5 6 5 解 析： 选 B 由正弦定理，得 sin A sin B，又 A2B，所以 sin Asin 2B2sin Bcos 2 5 B，所以 cos B . 4 3(2018包头学业水平测试)已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2B2sin 1 a Asin C，且 ac，cos B ，则 ( ) 4 c 3 A2 B. 2 C3 D4 a2c2b2 a2c22ac 1 解 析： 选 A 由正弦定理可得 b22ac，故 cos B ，化简得(2a 2ac 2ac 4 a c
3、)(a2c)0，又 ac，故 a2c， 2，故选 A. c 4(2018湖南长郡中学模拟)若ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 2bsin a 2Aasin B，且 c2b，则 ( ) b A2 B3 1 C. 2 D. 3 解析：选 A 由 2bsin 2Aasin B，得 4bsin Acos Aasin B，由正弦定理得 4sin 1 Bsin Acos Asin Asin B，sin A0，且 sin B0，cos A ，由余弦定理得 a2 4 a b24b2b2，a24b2， 2.故选 A. b 5(2018兰州一模)ABC 中，内角 A，B，C 对应的边分
4、别为 a，b，c，c2a，bsin B 1 asin A asin C，则 sin B 的值为( ) 2 2 2 3 A. B. 3 4 7 1 C. D. 4 3 1 a2c2b2 解 析： 选 C 由正弦定理，得 b2a2 ac，又 c2a，所以 b22a2，所以 cos B 2 2ac 3 7 ，所以 sin B . 4 4 对点练(二) 正、余弦定理的综合应用 c 1(2018武汉调研)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 0，cos B0， B.ABC 为钝角三角形 2 2(2018湖南邵阳一模)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知三个
5、向量 m A B C (a，cos 2)，n(b，cos 2)，p(c，cos 2)共线，则ABC 的形状为( ) A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 A B 解析： 选 A 向量 m(a，cos 2)，n(b，cos 2)共线， B A B A acos bcos .由正弦定理得 sin Acos sin Bcos . 2 2 2 2 A A B B B A A B 2sin cos cos 2sin cos cos ，sin sin . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B A B 0 ，0 ， ，AB.同理可得 BC，ABC 为等边三角形故选 A. 2 2
6、2 2 2 2 3(2018福建八校联考)我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积 的“三斜公式”，设ABC 三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，面积为 S，则“三斜求 1 a2c2b2 4a 2c2( 2 )2 积”公式为 S .若 a2sin C4sin A，(ac)212b2，则用“三斜求 积”公式求得ABC 的面积为( ) A. 3 B2 C3 D. 6 解 析：选 A 由正弦定理得 a2c4a，所以 ac4，且 a2c2b2122ac4，代入面积 1 公式得 1622 3. 4 b 4.在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 bc
7、， a 1cos B .若点 O 是ABC 外一点，AOB(0)，OA2，OB cos A 1，如图所示，则四边形 OACB 面积的最大值是( ) 45 3 85 3 A. B. 4 4 4 5 C3 D. 2 b 1cos B 解析：选 B 由 及正弦定理得 sin Bcos Asin Asin Acos B，所以 sin(A a cos A B)sin A，所以 sin Csin A，因为 A，C(0，)，所以 CA，又 bc，所以 AB C，ABC 为等边三角形设ABC 的边长为 k，则 k21222212cos54cos， 1 3 3 5 3 5 3 则 S 四边形 OACB 12si
8、n k2sin 4 (54cos )2sin( 3) 2 2 4 4 4 85 3 5 ，所以当 ，即 时，四边形 OACB 的面积取得最大值，且最大值为 4 3 2 6 85 3 . 4 3 5(2018广东揭阳模拟)已知ABC 中，角 A， B，C 成等差数列，且ABC 的面积为 1 2 2，则 AC 边的长的最小值是_ 3 解析：A， B，C 成等差数列，AC3B，又 ABC，B .设角 A，B，C 所 2 4 1 对的边分别为 a，b，c，由 SABC acsin B1 得 ac2(2 )，由余弦定理及 a2 2 2 2 c22ac，得 b2(2 2)ac，即 b2(2 2)2(2 2
9、)，b2(当且仅当 ac 时等号成立)， 3 AC 边的长的最小值为 2. 答案：2 6已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 的面积 Sa2(bc)2， 且 bc8，则 S 的最大值为_ 1 解析：由题意知 bcsin Aa2b22bcc2，由余弦定理 a2b2c22bccos A，得 2 1 2 bcsin A2bc2bccos A，因为bc0，所以sin A44cos A，则1cos2A16(1cos A)2， 15 8 得 cos A ，sin A ，bc82 bc，当且仅当 bc 时取等号，因而 bc16，那么 S 17 17 1 64 bcsin A .
10、 2 17 64 答案： 17 对点练(三) 解三角形应用举例 1(2018山西康杰中学月考)海上有三个小岛 A，B，C，测得BAC135，AB6，AC 3 2，若在 B，C 两岛的连线段之间建一座灯塔 D，使得灯塔 D 到 A，B 两岛距离相等，则 B，D 间的距离为( ) A3 10 B. 10 C. 13 D3 2 解析：选 B 由题意可知，D 为线段 AB 的垂直平分线与 BC 的交点，设 BDt.由余弦定理 3 可 得 BC2 62 (3 2)2 263 2cos BAC 90， 解 得 BC 3 10.由 cos ABC t 623 1023 22 ，解得 t 10.故选 B. 2
11、 6 3 10 2(2018河北唐山摸底)一艘海监船在某海域实施巡航监视，由 A 岛向正北方向行驶 80 海里至 M 处，然后沿东偏南 30方向行驶 50海里至 N 处，再沿南偏东 30方向行驶 30 3 海 里至 B 岛，则 A，B 两岛之间的距离是_海里 502802AN2 解析：连接 AN，则在AMN 中，应用余弦定理可得 cos 60 ，即 AN70. 2 50 80 502702802 1 应用余弦定理可得 cosANM ， 2 50 70 7 4 3 所以 sinANM . 7 30 32702AB2 在ANB 中，应用余弦定理可得 cosANB ，而 cosANBcos(150
12、2 30 3 70 3 3 ANM)cos 150cosANMsin 150sinANM ， 14 4 3 3 30 32702AB2 所以 ， 14 2 30 3 70 解得 AB70. 答案：70 3(2018贵州遵义第一次联考)某中学举行升旗仪式，在坡度为 15的看台 E 点和看台 的坡脚 A 点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为 30和 60，量得看台坡脚 A 点到 E 点在水平 线上的射影 B 点的距离为 10 m，则旗杆的高是_m. AB 解析：由题意得DEA45，ADE30，AE ， cos 15 AEsin 45 2AB 所以 AD ， sin 30 cos 15 2 10 因此
13、CDADsin 60 sin 6010(3 3) cos4530 答案：10(3 3) 大题综合练 1(2018湖北部分重点中学适应性训练)在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对 边，且满足 cos(AB)2sin Asin B. (1)判断ABC 的形状； (2)若 a3，c6，CD 为角 C 的平分线，求 CD 的长 解：(1)由 cos(AB)2sin Asin B，得 cos Acos Bsin Asin B2sin Asin B， cos Acos Bsin Asin B0， cos(AB)0，C90. 故ABC 为直角三角形 (2)由(1)知 C90，又 a3，c6， b c2a23 3，A30， ADC1803045105. CD AC 由正弦定理得 ， sin A sinADC 3 3 3 3 1 9 23 6 CD sin 30 . sin 105 6 2 2 2 4 2(2017云南昆明二模)如图，在ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，满足 ADAC，cosBAC 5