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1、江苏省苏州中学、常州中学精品备课高二数学组合一 人教版doc下载江苏省苏州中学、常州中学精品备课高二数学组合一【教学内容】 第十章 排列 组合 和概率 10.1 组合 要求:1、学习掌握组合、组合数概念和组合数的两个性质。熟练运用这些基本概念和性质解题;2、掌握解排列组合题的思想方法，适当地分类，分步，构造恰当的解法解决问题;3、灵活运用有关概念;开拓解题思路，力争做到一题多解。 【学习指导】 1、掌握组合的概念: 定义:从n个不同元素中，取出m(m?n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 排列与组合的共同点，就是要“从n个不同元素中，任取m个元素”，而不同的是，对于
2、所取出的m个元素，前者要“按照一定的顺序排成一列”，而后者却是“不管怎样的顺序并成一组”，即排列是有序的，而组合是无序的。 2、掌握组合数公式: mAn,(n,1),(n,2),(n,m，1)n!mmnC,C, 另一个公式此公式的作用:当对nnmm!(n,m)!m,(m,1),(m,2),3，2，1Am含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常写成这种形式去沟通。 mn,mC,C3、组合数性质1: nn,1mmmC，C,C 组合数性质2: ，1nnn通过本节的学习，要理解组合的意义，弄清排列与组合的联系与区别，掌握组合数的计算公式，并能解决相关的数学问题。 组合的应用题是本节教材的难点，它可分
3、为无限制条件的组合、有限制条件的组合以及组合与排列的综合应用题三大类。 mC 对于无限制条件的组合应用题，可应用组合数公式来计算;对于有限制条件的组合应用n题及排列与组合的综合应用题，一般有正向思考与逆向思考两种思路，正向思考时常采用分步及乘法原理的方法或分类及加法原理的方法，逆向思考时常采用求补集的方法解决。【典型例题分析】 例1、某班有45名同学，在毕业典礼会上，每两人握一次手，总共能握多少次手,45，442C,解:因为每两人握一次手是无序的，所以总共能握:=990(次)452，1例2、从5名男生4名女生中选出4人去参加数学竞赛。 (1)如果4人中男生与女生各选2人有多少种不同的选法, (
4、2)如果男生中的甲与女生中的乙都必须在内，有多少种不同的选法, (3)如果男生中的甲与女生中的乙都不在内，有多少种不同的选法, (4)如果男生中的甲与女生中的乙有且只有1人在内有多少种不同的选法,(5)如果男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内有多少种不同的选法,2C)分两步完成，第一步先从5名男生中任选2名有种不同的选法;第二步从4名女生解:(15222CN,C,C,10，6,60中任选2名有种不同的选法，由乘法原理:(种)。454?4人中男生与女生各选2人有60种不同的选法。 (2)由于男甲与女乙都必须在内，则从剩余的7名同学中任选2人即可完成这件事，则有7，62N,C,21(种) 72，1
5、?男甲与女乙都必须在内的选法有21种。 (3)由于男甲与女乙都不在内，则从剩余的7名同学选出4人，其选法种数有7，6，5，44N,C,35(种) 74，3，2，1?男甲与女乙都不在内的选法有35种。 1C(4)分两步完成，第一步从男甲与女乙中任选1人有种不同的选法，第二步再从剩余的727，6，5133C名同学中任选3人有种不同的选法，由乘法原理:N,C,C,2，,70(种)7273，2，112C,C(5)解法一:分两类，第一类男甲与女乙只有1人在内的选法有种，第二类男甲与女272132CN,C,C，C,70，21,91(种)乙都在内的选法有种，由加法原理得:7277?男甲与女乙至少有1人在内的
6、选法有91种。 4C解法二:先求出男甲与女乙都不在内的选法有种，再从5名男生4名女生中选出4人的不同7444C:N,C,C,126,35,91(种)选法中减去，有 997例3、设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球投放入这五个盒子内，要求每个盒子内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投入方法的总数有多少种, 2C解:因为恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的两个球有种不同的投入方法，还5剩3个球与3个盒子，而这三个球的编号与盒子的编号不同，则第一个球投放入与它编号不同的盒子有2种不同的投放方法，最后两个球只有一种投放
7、方法，则有乘法原理得总的投放方法5，42有: N,2,C,2，,2，10,20(种)52，1?这样的投入方法总数有20种。 2x,x5x,5C,C例4、方程的解为( ) 1616A、1 B、3 C、1或3 D、1或5 mn,mC,C分析:这个方程的特点是:两个组合的下标相同，上标含有未知数，由组合数性质:nn求之，因此求解时要讨论上标的两种可能情况。 2,x,x,5x,5时，即x,6x，5,0,x,5或x,1解:当 2,x,x,16,(5x,5)时，即x，4x,21,0,x,3或x,7当 2x,x5x,5C与C因为当x=5，x=-7时，组合均无意义，故舍去。 1616所以原方程的解为x=1或x
8、=3，选C。 例5、有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有( ) A、1260种 B、2021种 C、2520种 D、5040种 分析:从10人中任派4人去承担任务，并未限定哪个人承担哪一项不同的任务，所以为无限制的组合问题。 2C解法一:分三步完成，先由10人中任选派2人承担甲项任务有种不同的选法;再从剩余的101C8人中任选1人承担乙项任务有种不同的选法;最后从剩余的7人中任选1人承担丙项任务81211CC,C,C,2520有种不同的选法，由乘法原理，共有种不同的选法，故选C。710874C解法二:先10中任选4人承担任务有
9、种不同的选法，选出的4人，从中任选2人承担甲项102C任务有种不同的选法;再由剩余的2人中任选1人承担乙项任务，最后1人自然承担丙项任41421CC,C,C,2520务，因此有种不同的选法，由乘法原理得:(种) 21042例6、四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 种。 分析:因为三点确定一个平面，取4个不共面的点，相当于从这10个点中取4个点，组成多少个四面体的问题，本题宜采用逆向思考方法。 4C,210解:不考虑顺序，从10个点中任取4个点，总数为，其中四点共面的有三类:四个104C点在同一侧面的有4=60种;在6个中点中，四点共面的情况有3种;而每个棱
10、中点与它所6对棱的棱上的三个点也共面，共有6种。 所以，不同的取法有210-(60+6+3)=141(种) 注:本题涉及选取方法中有重复计算的问题，一般选择减的方法，去掉不合理的情况，但要做到不重复，不遗漏，需要认真思考体会。 例7、有编号为1，2，3，9，10的十只灯，为了节约用电，可以将其中三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的二只或三只，也不能关掉两端的灯，则满足条件的关灯方法有多少种,分析:由于这10只灯是无区别的10只灯，在满足题设的条件下，关掉的三只灯也是无序的，因此这是一个有限制条件的组合问题，一般常用插位法。 解:从10只灯中关掉3只还余7只，把这7只灯排成一列，由于无序所以只有一种
11、排法。又因为关掉的三只灯不能相邻且不 能在两端，所以只能在7个灯之间的6个方位任选三个如图: 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 3C?满足条件的关灯方式有=20(种) 6注:此题首先要弄清是排列问题还是组合问题，另外此题涉及到不相邻的问题，一般采用插位法。 例8、从1，3，5，7，9中取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数。 分析:此题是一个组合与排列的综合应用题。可分三步完成:第一步从1，3，5，7，9中取3个数字以及第二步从2，4，6，8中任取2个数字为组合问题，而第三步由前两步取出的5个数字组成五重复的五位数是排列问题，可采用
12、分步方法及乘法原理来解决。 解:分三步完成: 3C第一步从1，3，5，7，9这五个数字中任取3个有种不同的取法;52C第二步从2，4，6，8这四个数字中任取2个有种不同的取法; 45A第三步由前两步取出的5个数全排列有种不同的排法。 5325C,C,A,10，6，120由乘法原理共有:=7200(个) 545?一共可以组成没有重复数字的五位数有7200个。 注:这是一个排列与组合的综合应用题，解题应分清哪一步是排列，哪一步是组合，一般采用分步方法、乘法原理解决。 例9、6本不同的书分成三堆:(1)若平均分给甲、乙、丙三人，有多少种不同的分法,(2)若平均分成三堆，有多少种不同的分法,(3)若有
13、一堆一本，一堆二本，一堆3本，有多少种不同的分法,(4)若有一堆4本，另两堆各1本的不同分法有多少种, 分析:6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人是有顺序的，而平均分成三堆是无顺序的，所以4223411C,C,CAC,C,C此题的第(2)问在一般分法种重复次，第(4)问在一般分法中重36426212A复次。 2解:(1)6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人可分三步完成:第一步从6本不同的书中任取222CC本给甲有种不同的分法。第二从剩余的4本不同的书中任取2本给乙有种不同的分法，462C最后把剩余的2本不同的书给丙有种不同 的分法，根据乘法原理总共有:26，54，3222(种) N,C,C,C,1
14、,15，6，1,906422，12，1?6本不同的书，平均分给甲、乙、丙三人总共有90种不同的分法。 (2)假设将6本不同的书分成三堆有x种方法。在每一种分法中，再把这三堆分别分给甲、乙、33Ax,A丙三人有种分法，根据乘法原理将6本不同的书平均分给3个人的不同分法有，从而:333222x,A,C,C,C 3642222C,C,C15，6，1642?(种) x,1533，2，1A31C(3)从6本不同的书中任取1本放一堆，有种取法;再从剩下的5本书中任取2本放成一62C堆，有种不同的取法; 53C最后余下的3本书放成一堆，有种不同的取法，因为各堆书的数目互不相同，所以这种分堆3方法与6本不同的
15、书分给甲一本，乙二本，丙三本完全相同，所以这样的分堆方法总数为:123N,C,C,C,6，10，1=60(种) 653?一堆1本，一堆2本，一堆3本，有60种不同的分法。 411C,C,C(4)如果将6本不同的书分给甲4本，乙1本，丙1本，共有种不同的分法。这621里给乙第一本，丙第二本与给乙第二本，丙第一本是不同的分法。但作为分堆第一本书一堆、411C,C,C621第二书一堆与第二本书一堆、第一本书一堆是相同的分法，所以分堆方法是:,152A24C,15(种)或(种) 6?一堆4本，另两堆各1本的不同分法有15种。 nA注:这是一个偶数个元素平均分成几组，且各组之间是无序的组合问题，一般重复
16、次，解题n时应审清题意，弄清平均分组组数n，谨防重复而使解题出错。 【同步练习】 1、在所有的三位数中，如果它的百位数字比十位数字大，十位数字比个位数字大，这样的三位数共有( ) A、240个 B、210个 C、120个 D、108个 2、2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士的不同分配方法共有( ) A、6种 B、12种 C、18种 D、24种 3、有15个队参加篮球赛，首轮平均分成三组进行单循环赛，然后由各组前2名共6个队进行单循环决赛，且规定同组的两个队不再赛第二场，则所进行的比赛共有( )A、42场 B、45场 C、22场 D、25场 4、圆周上有八个
17、等分圆周点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是( ) A、16 B、24 C、32 D、48 5、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在内的12条直线中，异面直线共有() A、12对 B、24对 C、36对 D、48对 6、某年级有6个班，分别派3名语文教师任教，每个教师教2个班，不同的任课方法的种数为( ) 222CCC2222222223642AAACCCCCCA A、 B、 C、 D、64261236423A37、假设在200件产品中有3件是次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件是次品的抽法有( ) 232332CC种CC，CC种 A、 B、 319731
18、97319755514C,C种C,CC种 C、 D、 20019720031978、从某班学生中，选出四个组长的不同选法有x种，选出正副班长各一名的不同选法有y种，若x:y=13:2，则该班学生人数是( ) A、22 B、20 C、15 D、10 9、四不同的小球全部随意放入三个不同的盒子，使每个盒子都不空的放法为( )223213132C,AC,C,CC,AC,A A、 B、 C、 D、43344244210、5项不同的工程由3个工程队全部承包下来，每队至少承包一项，则不同的承包方案有()A、420种 B、240种 C、150种 D、90种 11、整数360的正约数(包括1和360)共有 个
19、。 12、以正方体的顶点为棱锥的顶点，可作 个棱锥。 13、要从8名男医生和7名女医生中选出5人组成一个医疗小组，如果医疗小组中要求至少有2名男医生和至少有2名女医生，则有 种不同的选法。 14、圆周上有20个点，过任意两点连结一条弦，这些弦在圆内的交点最多只能有 个。15、某电子器件的电路中有6个焊接点，只要有一个焊接点脱落，整个电路就不通，今发现电路不通，求焊接点脱落的可能性有多少, 16、晚会由3个歌曲，2个舞蹈和4个曲艺节目组成，要求第一个节目为歌曲，结尾是曲艺，且每两个曲艺节目不相邻，问能安排多少种不同的节目顺序表, 17、9名同学分成三组: ?每组3人，有多少种不同的分组方法, ?
20、每组3人，且这三组同学分别参加文艺、体育和科技活动小组，有多少种不同的分组方法, ?若第一组5人，其余两组各2人有多少种不同的分组方法, 012mm(1)C，C，C，,，C,C18、求证: ，1，2，1nnnnmnmmm，1m，2m，3m，3(2)C，3C，3C，Cn,C nnnn，3参考答案 1、C 2、B 3、A 4、C 5、B 6、B 7、B 8、C 9、A 10、C 提示: 2C,361、有“0”的三位数: 93C,84 无“0”的三位数: 923C，C,120(个) 故共有9912CA99错误解法: 主要对有“0”无“0”的情况不同没有深刻理解。 ,1082A212CC,122、 2
21、4223CC,33、首轮比赛场，第二轮比赛场，故共有42场比赛。 563C,4，6,324、(采用“逆向思维法”，若两等分点连线是)直径，则所对圆周角是直角不符。84，6,245、每一条侧棱与底面4条边组成“4对”，共六条侧棱，故共有: 222C,C,C6、 6427、有两种情况:3件正品，2件次品;2件正品，3件次品。注意分类的不重不漏。 8、设共有学生n人。 1342422 x,C,y,A？C/A,n,5n,150,0,n,N*,n,15nnnn223C,A9、注意三个盒子内的球数只有分别有2，1，1个这一种情况故共有(种)不同放法。43213C,CA错误解法:，见例9第(4)问已有详细分
22、析解答。 42310、工程队承包项目分别为2，2，1项和3，1，1项两种情况。 22C,C33353故共有方案:(种) ,A，C,A,90，60,1503532A232？360,2，3，511、 3、思想教育，转化观念端正学习态度。故约数中对2，3，5的取法个数分别讨论如下: 对2可取0，1，2，3个4种情况;对3可取0，1，2个3种情况;对5可取0，1个2种情况;1、在现实的情境中理解数学内容，利用学到的数学知识解决自己身边的实际问题，获得成功的体验，增强学好数学的信心。4，3，2,24由乘法原理，故有正约数(包括1和360)共有:(个) 12、可构成三棱锥或四棱锥。 4C?从正方体的顶点中
23、任取4个有种，其中表面和对角面上4点共面，不构成三棱锥，这样的4点组共1284C,12,58组，故可构成个三棱锥。 82、第三单元“生活中的数”。通过数铅笔等活动，经历从具体情境中抽象出数的模型的过程，会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。11C,C,48?先定底面，再定顶点，共有个四棱锥，故共可构成58+48=106个棱锥。124八、教学进度表2323CCCC13、分2名男医生，3名女医生:与3名男医生，2名女医生:两种情况。87872332221CC，CC,2156C,C,C?共有(种)不同的选法。错误答案:
24、产生了不少重复计数。871187874C,484514、运用“对应思想”，一个交点对应着一个圆内接四边形，当这些交点均不重合时，最多有(个)201234566C，C，C，C，C，C,2,1,6315、共有(种)可能。 6666661C16、第一个节目有种排法; 31C结尾节目有种排法; 44A还剩下的2个歌曲和2个舞蹈有种排法; 4还有3个曲艺节目要求不相邻，用“插空法”排，把它们插在第一，第二，第三，第四，第五这五个节目点在圆内 dr;31143AC,C,A,A之间的空挡中，有种插法，由乘法原理共有=6912(种)。 4344433322C,C,CC,C333596342C,C,C,1680
25、17、?(种)?(种)?(种),280C,378963932AA32最大值或最小值：当a0，且x0时函数有最小值，最小值是0；当a0，且x0时函数有最大值，最大值是0。00？C,C18、证明:(1) nn，1（6）二次函数的图象：是以直线x=h为对称轴，顶点坐标为（h，k）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）012m？C，C，C，,，Cnn，1n，2n，m012m,C，C，C，,，Cn，1n，1n，2n，m12m,C，C，,，Cn，2n，2n，m经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.23m,C，C，,，Cn，3n，3n，mm,1mm ,C，C,Cn，mn，mn，mmm，1m，2m，3(
26、2)33C，C，C，Cnnnn，m，1mm，1m，1m，2m，2m，3()2()(),C，C，C，C，C，Cnnnnnn1、第一单元“加与减(一)”。是学习20以内的退位减法，降低了一年级上学期孩子们学习数学的难度。退位减法是一个难点，学生掌握比较慢，但同时也是今后竖式减法的重点所在。所以在介绍的：数小棒、倒着数数、凑十法、看减法想加法、借助计数器这些方法中，孩子们喜欢用什么方法不统一要求，自己怎么快怎么算，但是要介绍这些方法。m，1m，2m，32,C，C，Cn，1n，1n，1一年级数学下册教材共六个单元和一个总复习，分别从数与代数、空间图形、实践活动等方面对学生进行教育。m，1m，2m，2m，3()(),C，C，C，Cn，1n，1n，1n，1m，2m，3m，3,C，C,Cn，2n，2n，3